2.9二次函数与一元二次方程同步练习（含解析）

2.9二次函数与一元二次方程
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019?碑林区校级模拟）下列关于二次函数y＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0）的图象经判断正确的是（　　）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
2．（2019秋?天等县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x=12
C．当x＝﹣1或x＝2时，y＝0
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
3．（2020春?越秀区校级月考）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．﹣1≤t＜3 B．3＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t＜4
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（　　）
①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线
②当x＞1时，y随x的增大而减小
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
④当﹣1＜x＜3时，y＜0
A．①② B．①②④ C．①②③ D．④
5．（2020?碑林区校级模拟）如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t＜3 B．﹣12＜t≤4 C．3＜t≤4 D．t＞﹣12
6．（2020秋?开福区校级月考）已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（　　）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0； ③a=-1b；④8a+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020?毕节市）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
8．（2020?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜2时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020秋?椒江区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2020?思明区校级模拟）二次函数y＝x2+mx﹣n的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，则n的取值范围是（　　）
A．﹣4≤n＜5 B．n≥﹣4 C．﹣4≤n＜12 D．5＜n＜12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?宁夏）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　 　．
12．（2020春?岳麓区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为　 　．
13．（2019秋?西城区校级月考）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是　 　．
14．（2020?朝阳）抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是　 　．
15．（2020?东莞市校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　．
16．（2020?武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为　 　．
17．（2019秋?长春月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x=12，抛物线与x轴的交点分别为A、B，则A、B两点间的距离是　 　．
18．（2018秋?安陆市期中）如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?庆阳期中）已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若P（m，﹣4）为二次函数y＝x2﹣x﹣6图象上一点，求m的值．
20．（2020秋?南开区期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝1，请你解答下列问题：
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求出抛物线与x轴的交点；
（Ⅲ）当y随x的增大而减小时x的取值范围是　 　．
（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是　 　．
21．（2019秋?龙湾区期中）已知函数y＝x2+（m+3）x+2m+2
（1）判断该函数的图象与x轴的交点个数．
（2）若m＝﹣5，求出函数值y在0＜x＜5时的取值范围．
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，直接写出k的范围．
22．（2020?岳麓区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若b＝1，a=-12c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若a＜0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求4a+b2的取值范围；
（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．
23．（2020?南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
24．（2020秋?海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+m的图象过点A（1，3），且与x轴交于点B．
（1）求m的值和点B的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+bx图象过A，B两点，直接写出关于x的不等式ax2+bx＞﹣x+m的解集．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】A．∵a＞0，
∴对称轴为x=-a+12a＜0，
∴对称轴位于y轴左边，
故A错误，不符合题意；
B．∵△＝（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝（a﹣1）2，
∴当a＝1时，△＝0，
∴当a＝1时，抛物线与x轴只一个交点，
故B错误，不符合题意；
C．由A知，对称轴位于y轴左边，抛物线开口向上，
则函数对称轴右侧y随x的增大而增大，
故当x＞0时，y随x的增大而增大，正确，符合题意；
D．由B知，当a＝1时，抛物线与x轴只一个交点，此时抛物线与坐标轴就没有三个交点，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
2．【解析】由函数图象可得，
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值，故选项A正确；
对称轴是直线x=-1+22=12，故选项B正确；
当x＝﹣1或x＝2时，y＝0，故选项C正确；
当0＜x＜12时，y随x的增大而减小，故选项D错误；
故选：D．
3．【解析】∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．
∴-b2=2，解得：b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t有交点，
∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内只有一个实数根，
当x＝﹣1时，y＝8；
当x＝4时，y＝3；
当x＝2时，y＝﹣1；
∴t的取值范围是﹣1≤t＜8．
故选：C．
4．【解析】二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
抛物线的对称轴直线为：x=3-12=1，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴一元二次方程的两个根是﹣1，3，故③正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故④错误．
综上，正确的选项有①②③．
故选：C．
5．【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=-m2×(-1)=2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜6时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，
故选：B．
6．【解析】①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误；
②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
③函数的对称轴为x=-b2a=1，即a=-12b，故③错误；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故选：A．
7．【解析】∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴x1+x22=2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，故选项B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴-b2a=2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
8．【解析】根据题意：将点（﹣1，﹣3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
a-b+c=-3c=1a+b+c=3，
解得a=-1b=3c=1，
所以二次函数y＝﹣x2+3x+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，
所以①正确；
∵y＝﹣x2+3x+1＝﹣（x-32）2+134，
则图象的对称轴为直线x=32，
所以②错误；
∵图象的对称轴为直线x=32，
∴当x＜32时，函数值y随x的增大而增大，
所以③错误；
当y＝0时，﹣（x-32）2+134=0，
解得x1=3-132，x2=3+132，
∵3＜13＜4，
∴3＜3+132＜72，
所以方程ax2+bx+c＝0有一个根小于4，
所以④错误．
综上所述：其中正确的结论有①．
故选：A．
9．【解析】①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵-b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x=-b2a=1，
即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故②④⑤正确．
故选：B．
10．【解析】∵抛物线的对称轴x=-m2=2，
∴m＝﹣4，
则方程x2+mx﹣n＝0，即x2﹣4x﹣n＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝n的交点的横坐标，
∵方程x2+mx﹣n＝0在﹣1＜x＜6的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝6时，y＝36﹣24＝12，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤n＜12时，在﹣1＜x＜6的范围内有解．
∴n的取值范围是﹣4≤n＜12，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）?k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
12．【解析】如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为﹣3，纵坐标为0，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）．
故答案是：（﹣3，0）．
13．【解析】∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，
∴m≥﹣4．
故答案为：m≥﹣4．
14．【解析】∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤54，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤54且k≠1；
故答案为：k≤54且k≠1．
15．【解析】由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
16．【解答】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
17．【解析】由图象可知，
该抛物线的对称轴是直线x=12，与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
设点A（﹣1，0），则点B为（2，0），
故AB＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
故答案为：3．
18．【解析】当﹣x2+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2，则A0（﹣2，0），A1（2，0），
抛物线y＝﹣x2+4的顶点为D1的坐标为（0，4），
∵将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；
∴D2的坐标为（4，﹣4），
抛物线C2的对称轴为直线x＝4，
∵x2﹣4＝4﹣x1，
∴x1+x2＝8，
∵点P3（x3，y3）在线段A1D2上，x1，x2，x3均为正数，
∴2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，即10≤t≤12．
故答案为10≤t≤12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）对于y＝x2﹣x﹣6，令y＝x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或﹣2，令x＝0，则y＝﹣6，
故点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0）、（0，﹣6）
（2）将点P的坐标代入y＝x2﹣x﹣6得，﹣4＝m2﹣m﹣6，解得m＝2或﹣1．
20．【解析】（Ⅰ）抛物线的对称轴为直线x=-m-12×(-1)=1，
∴m＝3；
（Ⅱ）∵m＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；
（Ⅲ）∵a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，
故答案为x＞1；
（Ⅳ）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
21．【解析】（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴当m＝1时，图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点；
（2）m＝﹣5时，y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
当x＝1时，函数有最小值﹣9，
当x＝5时，y＝7，
故：﹣9≤y＜7；
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，
即为y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝k只有一个交点，
函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），函数的顶点坐标为：（1，﹣9），
故在0＜x＜5时，
y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝k只有一个交点时，k＝﹣9或﹣8≤k＜7．
22．【解析】（1）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0
∵b＝1，a=-12c，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（-12c）c＝1+2c2，
∵2c2≥0，
∴1+2c2＞0，即△＞0，
∴二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）∵a＜0，c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，其图象开口向下，
又∵对于任意的实数x，都有y≤1，
∴顶点纵坐标-b24a≤1，
∴﹣b2≥4a，
∴4a+b2≤0；
（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），
∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1?y2＞0，
∴c（a+b+c）＞0，
∴6c（6a+6b+6c）＞0，
∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0，
∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，
∵a≠0，则9a2＞0，
∴两边同除以9a2得，
（ba+23）（ba+43）＜0，
∴ba+23＜0ba+43＞0或ba+23＞0ba+43＜0，
∴-43＜ba＜-23，
∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是13＜-b2a＜23．
23．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴-b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=-12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y=-12x2+x，
∴-12＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n-4＜15n+6＞11-(3n-4)＜5n+6-1，
∴0＜n＜53，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：3n-4＞15n+6＜13n-4-1＜1-(5n+6)，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜53．
24．【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+m的图象过点A（1，3），
∴3＝﹣1+m，
∴m＝4，
∴一次函数为y＝﹣x+4，
令y＝0，得x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx图象过A，B两点，
∴a+b=316a+b=0，解得a=-13，
∴抛物线开口向下，
∴不等式ax2+bx＞﹣x+m的解集为1＜x＜4．