辽宁省沈阳实中2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

沈阳市实验中学2021届高三上学期期末考试数学科试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．复数false满足：false，则false的虚部等于（ ）
A．false B．false C．0 D．1
3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．

甲地区 乙地区
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为false，false；标准差分别为false，false，则下面正确的是（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
4．设false，false，false，则false，false，false的大小关系是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知false是第二象限角，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（ ）种不同的排班方式．
A．240 B．480 C．420 D．360
7．已知抛物线false：false（false），过焦点false的直线false交抛物线false于false、false两点，交false轴于点false，若点false为线段false的中点，且false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在底面边长为1的正四棱柱false中，侧棱长等于2，则（ ）
A．在正四棱柱的棱上到异面直线false和false距离相等的点有且只有一个
B．在正四棱柱的棱上到异面直线false和false距离相等的点有且只有两个
C．在正四棱柱的棱上到异面直线false和false距离相等的点有且只有三个
D．在正四棱柱的棱上到异面直线false和false距离相等的点有且只有四个
二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分．
9．已知等比数列false的前false项和为false，公比false，false，则（ ）
A．false一定是递增数列 B．false可能是递增数列也可能是递减数列
C．false、false、false仍成等比 D．false，false
10．定义在实数集false上的函数false满足false，且false时函数false单调递增则（ ）
A．false B．false是周期函数
C．方程false有唯一实数解 D．函数false在false内单调递减
11．为了得到false的图像只需把函数false的图像（ ）
A．向右平移false B．向左平移false
C．关于直线false轴对称 D．关于直线false轴对称
12．方程false的根为false，false的根为false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
三、填空题
13．已知false，false为双曲线false的左、右焦点，则false______．
14．已知正实数false、false满足false，则false的最小值为______．
15．某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加．现有false，false，false，false四位同学，已知false与false没有选择相同的兴趣小组，false与false没有选择相同的兴趣小组，false与false选择的兴趣小组恰有一个相同，且false选择了足球兴趣小组．给出如下四个判断：
①false可能没有选择足球兴趣小组；
②false、false选择的两个兴趣小组可能都相同；
③false可能没有选择篮球兴趣小组；
④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；
其中正确判断是______．
16．已知false，false，false是平面向量，false，false是单位向量，且false，若false，则false最大值是______．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①false②false③false这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求false值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在false，它的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，且false，false的面积是false，______？
18．某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为false，求false的分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
19．在四棱锥false中，false底面false，底面false是菱形，false，false，点false在棱false上．
（1）若false，在棱false上是否存在一点false，使得false平面false，并说明理由；
（2）若直线false与平面false所成的角的正弦值是false，求二面角false的余弦值．
20．已知数列false前false项和为false，且false，false，数列false为等差数列，false，且false，
（Ⅰ）求数列false和false的通项公式；
（Ⅱ）若false，求false的前false项和false．
21．已知椭圆false中心在坐标原点，焦点false、false在false轴上，离心率false，经过点false（false为椭圆的半焦距）．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）false的平分线false与椭圆的另一个交点为false，false为坐标原点，求直线false与直线false斜率的比值．
22．设函数false，曲线false在false处的切线方程为false．
（1）求实数false的值．
（2）求证：当false时，false．
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A
7．B 8．D 9．BCD 10．AC 11．ABD 12．BD
二、填空题
13．10 14．8 15．①③④ 16．false
17．解：由false知false，
false，则false，即false．
由false得，false．
选①：false，又false，则false，false，
代入false，则false，
整理得，false，
则false或false（舍），即false，由false知false．
选②：false，则false，则false，false．
由余弦定理知，false．所以，false．
选③：false，由正弦定理得，false，所以false．
由false，知false．由余弦定理知，false．所以，false．
18．解：（1）在有放回方式下，记“他能中奖”为事件false，则false．
（2）由题意，随机变量false的可能值为0，1，2，3；
false，false，
false，false；
所以false的分布列为
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false的数学期望false．
（3）由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为
false；
由false，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．
19．解：（1）存在，点false为false中点．
取false，false中点false，false，连接false，false，false，false，
所以四边形false为平行四边形，
则false，又false面false，false面false，所以，false面false．
（2）取false中点false，连false，又false，底面false是菱形，则false，
由题，false，false，false两两垂直．以false为坐标原点，
以false，false，false的方向为false轴，false轴，false轴建立空间直角坐标系false．
则false，false，false，
设false，（false），false，false，
设面false的法向量为false，
false，false，取false，
又false，记直线false与平面false所成的角是false，
false，
整理得，false，即false，则false或false（舍）．
则面false的法向量为false，同理求得面false法向量false．
false，则二面角false的余弦值是false．
20．解：（Ⅰ）当false时，false．因为false，所以false，
当false时，false，false，
两式相减得falsefalsefalse（false），
又因为false，数列false是从第二项起，是公比为3的等比数列，
所以false．
又因为false，且false，解得false，false，所以false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得false，
所以false，false，
得false．
21．解（1）∵false，false，false，设椭圆方程：false，
代入点false椭圆方程：false，
则false，false，椭圆false的方程为false．
（2）false、false，角分线false的方向向量：false，
false的斜率为false，false方程：false联立椭圆方程得到false点坐标false．
（注：还可以利用到角的两边距离相等求出false的方程）
所以false．
22．解（1）false．
由曲线false在false处的切线方程为false知，false，则false．
（2）先证false，false恒成立，即证明：false，false．
令false，则false，
注意到当false时，false，所以false，false，
即false在false上递增，所以false，false．
故false，false恒成立．则false，false．
下证当false时，false，
只需证：当false时，false，
令false，false，false，false，
令false，false，false，false，
所以，false在false递减，false，false，
故false在false递减，则false，false，
即当false时，false．
故当false时，false．