【课时作业】3.6.2 切线的判定及三角形的内切圆(含答案)
文档属性
| 名称 | 【课时作业】3.6.2 切线的判定及三角形的内切圆(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 292.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-16 17:11:30 | ||
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文档简介
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2020-2021学年九年级数学下册课时作业(北师版)
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
一、选择题
1．下列直线中，能判定为圆的切线的是( )
A．过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
B．点A在直线l上，⊙O的半径R，若OA＞R，则l是⊙O的切线
C．若OC是半径，OC⊥l，则直线l是⊙O的切线
D．若直线l与⊙O有唯一的公共点，则l是⊙O的切线
2．若一个三角形的内心和外心都在三角形内，则这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．下列说法中，不正确的是( )
A．三角形只有一个内切圆
B．三角形的内心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三个顶点的距离相等
D．三角形的内心到这个三角形的三边距离相等
4．如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．2
5．等边三角形外接圆的半径是内切圆半径的( )
A．1.5倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．现有下列四个结论：(1)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；(2)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；(3)任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；(4)任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的结论共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
二、填空题
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_________.
10．△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝45°，∠B＝75°，则圆心角∠EOF＝_________.
三、解答题
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.
求证：EF与⊙O相切．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，AC＝CD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OA＝2，求AC的长．
13．如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE.
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．
14．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心作圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE下方的圆弧的中点，连接AD，交线段OE于是点F，AB＝BF.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB．
15．联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：如图①所示，若PD⊥AB，PE⊥BC，PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．
(1)应用：如图②所示，BF为等边△ABC的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB，PE⊥BC，且PF＝BP，求证：点P是△ABC的内心．
(2)探究：如图③所示，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，准内心P在AC上，PD⊥AB．若PC＝AP，求∠A的度数．
图① 图② 图③
参 考 答 案
1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8. C
9. 122°
10. 120°
11. 证明：连接OD，∵∠FOD＝2∠BAD，AD平分∠CAB，∴∠EAF＝2∠BAD，∴∠EAF＝∠FOD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＋∠EFA＝90°，∴∠DFO＋∠DOF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥EF, 即EF与圆O相切．
12. (1)证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝60°.又∵AC＝CD，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠OCD＝180°－60°－30°＝90°.∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝4×＝2.
13. 解：(1)FD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD．∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3＋∠A＝90°.∵FE＝FD，∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.∴∠1＋∠4＝90°，即∠FDO＝90°，∴FD与⊙O相切．
(2)∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO，∴＝，即＝，∴BC＝.
14. (1)证明：连接OA，OD．∵点D为CE下方的圆弧的中点，∴OD⊥BC，∴∠EOD＝90°.∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D，又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°，即∠OAB＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
(2)解：OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝.在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，即r2＋(4－r)2＝()2，解得r1＝3，r2＝1(舍去)，∴⊙O的半径r为3，∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，OB＝BF＋OF＝AB＋1.在Rt△AOB中，AB2＋OA2＝OB2，∴AB2＋32＝(AB＋1)2，∴AB＝4，∴OB＝5，∴sinB＝＝.
15. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵BF为△ABC的角平分线，∴∠PBE＝30°.∵PE⊥BC，∴PE＝PB．∵BF是等边三角形ABC的角平分线，∴BF⊥AC．∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE.∵PF＝BP，∴PE＝PD＝PF，∴P是△ABC的内心．
(2)根据题意，得PD＝PC＝AP.∵sinA＝＝＝，∠A是锐角，∴∠A＝30°.
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2020-2021学年九年级数学下册课时作业(北师版)
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
一、选择题
1．下列直线中，能判定为圆的切线的是( )
A．过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
B．点A在直线l上，⊙O的半径R，若OA＞R，则l是⊙O的切线
C．若OC是半径，OC⊥l，则直线l是⊙O的切线
D．若直线l与⊙O有唯一的公共点，则l是⊙O的切线
2．若一个三角形的内心和外心都在三角形内，则这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．下列说法中，不正确的是( )
A．三角形只有一个内切圆
B．三角形的内心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三个顶点的距离相等
D．三角形的内心到这个三角形的三边距离相等
4．如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．2
5．等边三角形外接圆的半径是内切圆半径的( )
A．1.5倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．现有下列四个结论：(1)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；(2)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；(3)任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；(4)任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的结论共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
二、填空题
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为_________.
10．△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝45°，∠B＝75°，则圆心角∠EOF＝_________.
三、解答题
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.
求证：EF与⊙O相切．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，AC＝CD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若OA＝2，求AC的长．
13．如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE.
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．
14．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心作圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE下方的圆弧的中点，连接AD，交线段OE于是点F，AB＝BF.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB．
15．联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：如图①所示，若PD⊥AB，PE⊥BC，PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．
(1)应用：如图②所示，BF为等边△ABC的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB，PE⊥BC，且PF＝BP，求证：点P是△ABC的内心．
(2)探究：如图③所示，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，准内心P在AC上，PD⊥AB．若PC＝AP，求∠A的度数．
图① 图② 图③
参 考 答 案
1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8. C
9. 122°
10. 120°
11. 证明：连接OD，∵∠FOD＝2∠BAD，AD平分∠CAB，∴∠EAF＝2∠BAD，∴∠EAF＝∠FOD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠EAF＋∠EFA＝90°，∴∠DFO＋∠DOF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥EF, 即EF与圆O相切．
12. (1)证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝60°.又∵AC＝CD，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠OCD＝180°－60°－30°＝90°.∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝4×＝2.
13. 解：(1)FD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD．∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3＋∠A＝90°.∵FE＝FD，∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.∴∠1＋∠4＝90°，即∠FDO＝90°，∴FD与⊙O相切．
(2)∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO，∴＝，即＝，∴BC＝.
14. (1)证明：连接OA，OD．∵点D为CE下方的圆弧的中点，∴OD⊥BC，∴∠EOD＝90°.∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D，又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90°，即∠OAB＝90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
(2)解：OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝.在Rt△DOF中，OD2＋OF2＝DF2，即r2＋(4－r)2＝()2，解得r1＝3，r2＝1(舍去)，∴⊙O的半径r为3，∴OA＝3，OF＝CF－OC＝4－3＝1，OB＝BF＋OF＝AB＋1.在Rt△AOB中，AB2＋OA2＝OB2，∴AB2＋32＝(AB＋1)2，∴AB＝4，∴OB＝5，∴sinB＝＝.
15. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵BF为△ABC的角平分线，∴∠PBE＝30°.∵PE⊥BC，∴PE＝PB．∵BF是等边三角形ABC的角平分线，∴BF⊥AC．∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE.∵PF＝BP，∴PE＝PD＝PF，∴P是△ABC的内心．
(2)根据题意，得PD＝PC＝AP.∵sinA＝＝＝，∠A是锐角，∴∠A＝30°.
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