山西省运城市新绛县第二中学2021届高三上学期1月联考理科数学试题 Word版含答案

新绛县第二中学2021届高三上学期1月联考1177290012192000理科数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用false铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区堿内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本试卷主要命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数false（false为虚数单位），则false在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集false，集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）
A．1087 B．937 C．387 D．327
5．若单位向量false满足false，则false与false的夹角为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其false的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：false）（ ）
A．2.77 B．2.43 C．1.73 D．1.35
7．若false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．函数false在区间false上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．在面积为false的false中，角false的对边分别为false，若false，则false（ ）
A．1 B．false C．2 D．3
10．已知函数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．点false为抛物线false的焦点，横坐标为false的点false为抛物线false上一点，过点false且与抛物线false相切的直线false与false轴相交于点false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false，若对任意false恒成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数false满足约束条件false则false的最小值为________．
14．已知false，则false_____．
15．已知双曲线false的右焦点为false为双曲线false的右顶点，过点false作false轴的垂线，与双曲线false交于false，若直线false的斜率是双曲线false的一条渐近线斜率的false倍，则双曲线false的离心率为_________．
16．在四棱锥false中，底面false是边长为2的正方形，侧面false底面false，且false，当false的面积最大时，四棱锥false的高为_______，四棱锥false外接球的表面积为________．（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知数列false满足false，且false．
（1）求数列false的通项公式；
（2）令false，求数列false的前false项和false．
18．（本小题满分12分）
如图1中，多边形false为平面图形，其中false，将false沿false边折起，得到如图2所示四棱锥false，其中点false与点false重合．
（1）当false时，求证：false平面false；
（2）当二面角false为135°时，求平面false与平面false所成二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
某校为了调硏学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩．为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：false，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：
规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．
（1）根据这次抽查的数据，填写下列的false列联表；
优秀
不优秀
合计
男生
女生
合计
（2）根据（1）中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率．在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有false名物理成绩优秀”的概率为false，“8名女生中恰有false名物理成绩优秀”的概率为false，试比较false与false的大小，并说明理由．
附：临界值参考表与参考公式
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（false，其中false）
20．（本小题满分12分）
已知椭圆false的左、右焦点分别为false，过false且垂直于false轴的直线与false交于false两点，且false的坐标为false．
（1）求椭圆false的方程；
（2）过false作与直线false不重合的直线false与false相交于false两点，若直线false和直线false相交于点false，求证：点false在定直线上．
21．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）若false，求证：false．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系false中，直线false的参数方程为false（false为参数），曲线false的参数方程为false（false为参数）．以原点false为极点，false轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系．
（1）求直线false和曲线false的极坐标方程；
（2）已知false是曲线false上一点，false是直线false上位于极轴所在直线上方的一点，若false，求false面积的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设false，且false．
（1）求证：false；
（2）用false表示false的最大值，求false的最小值．
高三理科数学参考答案、提示及评分细则
1．A false，所以复数false在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．
2．B 由false，得false，所以false．故选B．
3．A 由false，得false；由false，得false．故选A．
4．D 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为false，所以327不符合．故选D．
5．B 由false，得false，所以false，所以false，又false，所以false．故选B．
6．C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱长为false，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为false．故选C．
7．C false，有false．故选C．
8．A 由false，可知false为偶函数，又由当false时，false．故选A．
9．B 由三角形的面积公式，得false，即false，由余弦定理，得false，所以false．故选B．
10．A 由题意有false，两式作差得false，有false，又false，所以false，又false，所以false，故false．故选A．
11．C 由抛物线的对称性，不妨设点false位于第一象限，可得点false的坐标为false，设直线false的方程为false，联立方程false消去false后整理为false，有false，有false，解得false，可得直线false的方程为false，令false，得false，直线false与false轴的交点false的坐标为false，所以false，又false，所以false，所以false，所以false．故选C．
12．D 由false，得false，令false，则问题可以转化为：对任意false恒成立，即函数false在false上单调递增，因为false，所以转化为false在false上恒成立，因为false，所以false在false上恒成立，即转化为false令false，则false，所以当false时，false，当false时，false，所以false在false上单调递增，在false上单调递减，所以false，所以false．故选D．
13．false 画出可行域（如图阴影部分），当直线false过点false时，false取得最小值，false的最小值为false．
14．false 对false两边分别求导，得false，令false，得false．
15．2 设焦点false的坐标为false，双曲线false的离心率为false，不妨设点false位于第一象限，可求得点false的坐标为false，点false的坐标为false，直线false的斜率为false，又由false，有false，整理为false，解得false或false（舍）．
16．false false 点false在以弦false，所对的圆周角为60°的优弧false上运动，作false为垂足，由侧面false底面false，得false底面false．当false为false的中点时，false为等边三角形，此时false的面积最大，且false，即四棱锥false的高为false．设等边false的中心为false，正方形false的中心为false，过false、false分别作平面false、平面false的垂线，且交于点false，则false为四棱锥false外接球的球心，显然false，于是四棱锥false外接球的表面积为false．
17．解：（1）因为false，所以false，又false， 3分
所以数列false是首项为1，公差为1的等差数列． 4分
所以false，得false，
即数列false的通项公式为false． 6分
（2）由（1），得falsefalse， 9分
则falsefalse． 12分
18．（1）证明：由false，易求false，所以false，所以false． 2分
因为false，所以false，所以false．
又false平面false，
所以false平面false． 5分
（2）解：取false的中点false，过点false在平面false内作false的垂线交false于false，以直线false作为false轴，直线false为false轴，过点false作平面false的垂线为false轴，建立空间直角坐标系，则false． 6分
因为false为false的中点，所以false，又false，所以false．
在false中，false，所以false，所以false，
所以false． 8分
设平面false的法向量为false，
由false，有false解得false令false，得false； 9分
设平面false的法向量为false，
由false，有false解得false令false，
得false， 10分
所以false，
故平面false与平面false所成二面角的正弦值为false． 12分
19．解：（1）列出false列联表，如下：
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40
3分
（2）false，
所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关． 6分
（3）根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为false，
女生物理成绩优秀的概率为false． 7分
设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量false，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量false，根据题意，得false， 8分
则falsefalse， 10分
当false时，false，于是false；
当false时，false，于是false；
当false时，false，于是false． 12分
20．（1）解：由题意，得false，且false， 1分
则false，即false， 2分
所以false， 3分
故椭圆false的方程为false． 4分
（2）证明：由（1）及false的对称性，得点false的坐标为false， 5分
设直线false的方程为false，点false的坐标分别为false，
联立方程false消去false后整理为false，
所以false． 6分
直线false的斜率为false，
直线false的方程为false，
直线false的斜率为false，
直线false的方程为false， 8分
将直线false和直线false方程作差消去false后整理为false，
可得false， 9分
而由false，
可得false，解得false，即直线false和false的交点false的横坐标恒为4， 11分
所以点false在定直线false上． 12分
21．（1）解：false的定义域为false． 1分
令false，方程false的判别式false，
（i）当false，即false时，false恒成立，即对任意false，所以false在false上单调递增． 2分
（ii）当false，即false或false．
①当false时，false恒成立，即对任意false，所以false在false上单调递增． 3分
②当false时，由false，解得false．所以当false时，false；当false时，false；当false时，false，所以在false上，false，在false上，false，所以函数false在false和false上单调递增；在false上单调递减． 6分
综上，当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false和false上单调递增，在false上单调递减． 7分
（2）证明：由false，得false，所以false， 8分
因为false，所以false，令false，则false，
所以false，
所以false． 10分
所以要证false，只要证false，即证false． 11分
由（1）可知，当false时，所以false在false上是增函数，
所以，当false时，false，即false成立，
所以false成立． 12分
22．解：（1）由false的参数方程得false的普通方程为false，所以false的倾斜角为false，所以直线false的极坐标方程为false； 2分
由曲线false的参数方程得false的普通方程为false，又false所以曲线false的极坐标方程为false． 4分
（2）由false，则false的极坐标为false．
设false，
则false
false
false． 8分
当false，即false时，false． 10分
23．（1）证明：因为false（当且仅当false时等号成立），false（当且仅当false时等号成立），false（当且仅当false时等号成立），
所以falsefalse，
由false，得false（当且仅当false时等号成立）． 5分
（2）解：设false，则false，
从而false，即false． 8分
当且仅当false，即false时，
false． 10分