8.3
平面向量的分解定理
活动单
活动一
向量合成
活动二
向量分解
如图，设两个不平行的向量，是平面内的任一向量，
试将向量分别分解到两个方向上.
活动三
平面向量分解定理
平面向量分解定理：
.
我们把
的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组
．
证明：
活动四
定理理解
1.向量能否是零向量？
2.什么样的两个向量可以作为基？
3.一个平面有几组基？
4.填空：已知是平面内的两个不平行向量，
活动五
平面向量基本定理的应用
PAGE
3
e
K
角
B
变式.记C为G,BD为a,请用基c、d表示AB和AD
图
B是不平行的两个向量,k是实数,且,=kAB(共15张PPT)
活动一：
向量的合成（见活动单）
旧知回顾
活动一：
向量的合成（见活动单）
旧知回顾
提出问题：我们学过向量的加法，知道两个向量可合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
G
实践探究
O
A
B
M
N
C
结论:
平面向量的分解定理
存在性
唯一性
抽象概括
有且只有一对实数
、
使
向量，那么对于这一平面内的任意向量
定理证明
存在性
1
唯一性
2
证明：
定理理解
不能
可以作为基的两个向量必须满足：(1)非零向量(2)不平行
无数组
?
?
?
?
活动二：
向量的分解（见活动单）
定理应用
定理应用
定理应用
A
B
C
D
M
解
在
ABCD中
变式训练
M
巩固训练
巩固训练
归纳总结
1.本堂课学到了什么？有哪些收获或体会？
（1）平面向量分解定理：
（2）能够在具体问题中适当的选取基，使其它向量都能够统一用这组基来表达.
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.即
布置作业
O
A
B
P
感谢各位
i!
t:1
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3
本
提出问题:如果向量e1、e2是同一平面内的两个不平行的
向量,d是该平面内的一个非零向量,是否能用问量e1、e2
表示向量a?
提出问题:如果向量e1、e2是同
内的两个不平行的
向量,d是该平面内
零向
否能用向量e1、e2
表示向量a
A
如果向量e1
e2是同一平面内
的两个不平行的
向量,a是该平
面内的一个非零
向量,是否能用
向量e1、e2表示
向量a?
果向量e1
实践探究
e2是同一平面内
的两个不平行的
d是该平
面内的一个非零
OM+ON
是否能用
e1、e2表
a?
OM
on=.
结论
0
ON=^,e,+λ
抽象概括
平面向量的分解定理
如果e1、e2是同一平面内的两
向量,那么对于这一平面内的任意向量a
有且只有一对实数A1、2使
●●●
入e+22
存唯
在
不平行的向量e、e2叫做这
内所有
性性
量的一组基
定理应用
例2如图,∠ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=
d,AD=b,用d、b表示MA、MB、MC和MD
解在□ABCD
AC=AB+AD=a+b
DB=
DA+AB=-AD+AB=-b+a
MA
MB=-DB=-(a-b)=-a
b
MC
AC
AD=-MB课题名称：8.3平面向量的分解定理（第一课时）2019-2020年高二数学上
8.3《平面向量的分解定理》教案
沪教版
课型：新授课
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性.
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.
二、教学重点及难点
：
1.
教学重点：平面向量分解定理的发现和形成过程；
2.
教学难点：分解唯一性的说明.
三、教学用具准备
电脑，活动单，互动课堂等.
四、教学过程设计
（一）旧知回顾
前面我们学习了向量的加减法及数乘运算，请同学回答黑板上的题目.
1.如图，在平行四边形ABCD中，记，则,
2.两非零向量平行的充要条件：____________________
展示“活动一”，体会向量的合成.
（二）设置情景，引入课题
1.观察
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和
F2
.
思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.
（三）探索探究，主动建构
概括讨论，提出新问题：
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？
数学实验1
1.实验设计：
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
(2)实验报告：(由学生发言)分解步骤，得到结论可以分解，且分解的长度和方向唯一的.
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？
生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O
（1）作，；
（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；
（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；
（4）四边形OMCN为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，则.
2.探究结果?
几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性：
证明：
3．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使_______________.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
4.定理理解
请学生讨论后回答下列问题.
（1）
向量能否是零向量？
不能
（2）.什么样的两个向量可以作为基？
不平行
（3）一个平面有几组基？
无数组
（4）已知是平面内的两个不平行向量
①若，则
②若，则
．
（帮助学生更好理解定理）
5.定理应用
学生完成“活动二”，展示同学画图结果.
（通过“活动二”，学生的动手作图能力得到提高，更好地理解定理）
（四）例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
，分别用
表示.
解：
在平行四边形ABCD中，
，
注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量
（2）平行四边形法则简化为三角形法则.
练习：学生完成活动单“变式”，一名学生板演.
思考：由例1和变式思考平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？
（五）课堂小结：
1.平面向量的分解定理.
对分解定理的理解：平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
2.从基的角度认识几何图形，能够在具体问题中适当的选取基，使其它向量都能够统一用这组基来表达.
（六）作业布置
1.练习部分
8.3
2.预习课本例3，并思考：
如下图，O是直线AB外一点，由平面向量分解定理得，
满足什么条件时，A、B、P三点共线？
2019-2020年高二数学上
8.3《平面向量的分解定理》教案（2）
沪教版
五、教学设计说明
本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.?
在课堂设计上做一种新的尝试，把数学实验带入课堂，让学生通过实验探究定理的内容.课堂组织形式比较新颖，引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，学生们积极的参与了整堂课的学习过程.?
通过实验的制作，培养了学生的动手作图能力，通过学生对实验结果的讨论，培养学生的抽象概括能力，语言表达能力.?
学生在原有知识的基础上，自主建构自己新的知识结构，充分体现了学生为主体，教学为主导的建构主义教学观.学生的学习效果很好，基本上掌握分解定理的实质内容，并能把定理的思想应用到具体的问题当中.
