2020--2021学年北师大版八年级下册数学课件1.1等腰三角形（30张）

等腰三角形
A
C
B
探究
如图，把一张长方形的纸按照图中的虚线对折，
并剪去阴影部分，
再把它展开，得到△ABC.
△ABC有什么特点?
活动1：实践观察,认识等腰三角形
在△ABC中，AB＝AC
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
概念
如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD，你能在图中找出几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
找一找
等腰三角形
腰
底边
顶角
△ABC
△ABD
AB和AC
BC
∠A
AD和BD
AB
∠ADB
若将条件改为AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是 ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。

10 cm
10 cm 或 11 cm
19 cm
小试牛刀
4、若等腰三角形的周长为29，一条边长为9，则这个等腰三角形的腰长为 ；
5、如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,腰AC的中垂线EF交BC于E，交AC于F，已知△ABC的周长为11，AC=4，则△ABE的周长是 ；
C
B
A
E
F
9或10
7
　　 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
找一找

思考
A
C
B
重合的线段
重合的角

　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的其他性质吗?
大胆猜想
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=?C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
猜想
A
B
C
D
A
B
C
则有∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法一
A
B
C
则有 BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 作△ABC 的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法二
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90?
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 作△ABC 的高线AD
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法三
1
在△ABC中，
∵ AC=AB （ ）
∴ ∠B=∠C （ ）
已知
等边对等角
　C
　B
Ａ
用数学符号表示为：
性质1:等腰三角形的两底角相等
（简写成“等边对等角”）；
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
重合的线段
重合的角

　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
性质2
(等腰三角形三线合一)
是真是假
A
B
C
D
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
性质2
A
B
C
D
论证
性质2
（简称“三线合一” ）
性质2实际上包含了三个命题，你能用类似的方法进行一一证明吗？
用符号语言表示出这三个命题，已知什么，要证什么
已知：在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC 的中线
求证：AD是△ABC的高和角平分线
证明: ∵ AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD 和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴ △ABD ≌△ACD ( SSS )
∴∠BAD=∠CAD ∠BDA=∠CDA
∴AD是△ABC是角平分线
又∵ ∠BDA+ ∠CDA=1800
∴ ∠BDA=∠CDA=900
∴ AD是△ABC的高.
A
B
C
D
已知：在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC 的高线
求证：AD是△ABC的中线和角平分线
证明: ∵ AD是△ABC的高线
∴ ∠BDA=∠CDA=900
即△ABD 和△ACD是Rt△
在Rt△ABD 和Rt△ACD中
AB=AC
AD= AD
∴ Rt△ABD ≌Rt△ACD ( HL )
∴∠BAD=∠CAD BD=CD
∴ AD是△ABC是角平分线
AD是△ABC的中线.
A
B
C
D
已知：在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC 的
角平分线
求证：AD是△ABC的高和中线
证明: ∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠BAD=∠CAD
在△ABD 和△ACD中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD= AD
∴ △ABD ≌△ACD ( SAS )
∴ BD=CD ∠BDA=∠CDA
∴ AD是△ABC是中线
又∵ ∠BDA+ ∠CDA=1800
∴ ∠ BDA=∠CDA=900
∴ AD是△ABC的高.
A
B
C
D
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ，____= 。
2、∵AD是BC边上的中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
3、∵AD是∠BAC的角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
1
1
2
BD
DC
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
DC
A
B
C
D
⌒
⌒
1
2
1
2
用数学符号表示为：
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，
底边上的高互相重合（简记为“三线合一” ）
例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求△ ABC各角的度数
解: ∵ AB＝AC, BD＝ BC＝AD,
∴∠ABC ＝∠C＝∠BDC
∠A＝∠ABD (等边对等角)
设∠A＝x,则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x
从而 ∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x
于是在△ABC中,有
∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得 x ＝ 36°
在△ ABC中, ∠A＝36° , ∠ABC＝∠C＝72°
B
C
A
D
活动4:等腰三角形性质定理的运用
1、如图1,在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°
则∠B= ,∠C= .
2、如图2,在△ABC中， AB=AC, ∠B=30°

则∠C= ，∠A= .
　C
　B
A
图1
C
A　
B
图2
小试牛刀
72°
72°
30°
120°
4.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为_____ __；
5.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
为___________________；
6.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为______ __。
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
小试牛刀
7、在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=36°
求∠ B和∠ C的度数
B
D
C
A
在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝36°
∴∠B＝∠ADB＝72°
在△ADC中，DA＝DC
∴∠C＝∠DAC，又∵∠ADB＝ ∠C＋∠CAD
∴∠C＝∠CAD＝36°
解：
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，则点D到AB,AC的距离相等.请说明理由
A
B
C
F
E
D
练一练
9.如图所示，已知点D、E在BC上，AB=AC,AD=AE.说明BD=CE的理由。
练一练
求有关等腰三角形的问题，作
顶角平分线、底边中线，底边的
高是常用的辅助线；
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
A
B
C
D
E
F
天生我才
课后思考
求有关等腰三角形的问题，作
顶角平分线、底边中线，底边的
高是常用的辅助线；
如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD
A
B
C
D
E
H
证明：∵AB=AC,AD是高,∴BC=2BD
⌒
1
⌒
2
又∵BE是高，∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°
在△AEH和△BEC中
∴△AEH≌△BEC(ASA)
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴ ∠1=∠2
︸
∠AEH=∠BEC
AE=BE
∠1=∠2
∴AH=BC
∴AH=2BD
摩拳擦掌
课后思考
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ，____= 。
2、∵AD是BC边上的中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
3、∵AD是∠BAC的角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
1
1
2
BD
DC
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
DC
A
B
C
D
⌒
⌒
1
2
1
2
在△ABC中，
∵ AC=AB （ ）
∴ ∠B=∠C （ ）
已知
等边对等角
　C
　B
Ａ
性质1:等腰三角形的两底角相等
性质2:等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，
底边上的高互相重合
课堂小结
等腰三角形
三线合一
1、求有关等腰三角形的问题，作
顶角平分线、底边中线，底边的
高是常用的辅助线；
2、熟练掌握求等腰三角形的顶
角、底角的度数；
3、掌握等腰三角形三线合一的
应用。
等边对等角
这节课我们学习了什么?
等
腰
三
角
形
的
性
质