【课时作业】第三章 圆(含答案)
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2020-2021学年九年级数学下册单元综合复习(北师版)
第三章 圆
一、选择题
1．已知⊙O的半径为3.6cm，线段OA＝cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，的度数分别为88°，32°，则∠P的度数是( )
A．26° B．28° C．30° D．32°
3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作一弦BC，且OD⊥BC于点E.若BC＝8cm，∠ABC＝30°，则DE的长为( )
A．cm B．cm C．4cm D．2cm
4．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为( )
A．π B．π C．2π D．3π
5．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
A．0≤b<2 B．－2≤b≤2
C．－26．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为( )
A．12 B．15 C．16 D．18
7．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( )
A．π＋1 B．π＋2 C．π－1 D．π－2
8．如图，过圆外一点B引圆O的两条切线BA，BD，切点分别是A，D，连接AO并延长，交BD的延长线于点C，若AB＝5，BC＝13，则圆O的半径为( )
A． B． C．3 D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE的长是( )
A．3 B．3 C．4 D．2
10．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC, 则线段CP长的最小值为( )
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．某石拱桥的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为_____m.
12．如图，若以□ABCD的一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝______．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝90°，AD＝8，CD＝6，则⊙O的半径是_____.
14．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为_____.
15．在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝_________.
16．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_____个．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是的中点，OE交BC于点D．连接AC．若BC＝6，DE＝1，则AC的长为_____.
18．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为______.
19．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，.若AB＝1，则阴影部分图形的周长为___________(结果保留π)．
20．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为______.
三、解答题
21．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，M，N分别为AB，AC的中点，OM的延长线交⊙O于点D，ON的延长线交⊙O于点E，DE交AB于点F，交AC于点G.求证：AF＝AG.
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
23．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)如图②，连OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．
图① 图②
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使BF＝EF，EF与AC交于点G.
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
参 考 答 案
1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A 7. D 8. B 9. D 10. B
11. 4
12. 45°
13. 5
14. 2
15. 7或25
16. 5
17. 8
18.
19. π＋1
20. 18
21. 证明：∵M，N分别为AB，AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC，即∠DMF＝∠ENG＝90°.又∵OD＝OE，∴∠D＝∠E.∴∠DFM＝∠EGN，即∠AFG＝∠AGF.∴AF＝AG.
21. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝.∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM.
(2)解：连接OB，OM.由题意知∠BOM＝135°，r＝2，所以当为劣弧时，l＝＝π；当为优弧时，l＝＝π.综上所述，的长为π 或π.
22. (1)解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD．∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
23. (1)解：∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4.
(2)证明：连接OC．∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC．又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠ABC．又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，即DC⊥CO，∴直线CD是⊙O的切线．
24. 解：连接DE.(1)在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，而∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA；同理可得∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.
(2)∵∠C＝30°，∴∠A＝60°，∴∠ABM＝60°，∴△OAD和△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠BOE＝∠A，∴OE∥AC，同理可得OD∥BM，∴四边形DOEM为平行四边形，而OD＝OE，∴四边形ODME是菱形．
25. 解：(1)连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠AEO＋∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，即EF⊥OE，∴EF是⊙O的切线．
(2)∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵AO＝2，∴OE＝2，∴EG＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2－＝2－π.
26. (1)证明：∵C是的中点，∴＝.∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝，∴CD＝BF.在△BFG和△CDG中，∴△BFC≌△CDG(AAS)
(2)解：如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接AC，BC，∵＝，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝AD＋DH＝2＋2＝4，∴AB＝AE＋BE＝4＋2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝AB·BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2.
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第三章 圆
一、选择题
1．已知⊙O的半径为3.6cm，线段OA＝cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，的度数分别为88°，32°，则∠P的度数是( )
A．26° B．28° C．30° D．32°
3．如图，AB是⊙O的直径，过点B作一弦BC，且OD⊥BC于点E.若BC＝8cm，∠ABC＝30°，则DE的长为( )
A．cm B．cm C．4cm D．2cm
4．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为( )
A．π B．π C．2π D．3π
5．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
A．0≤b<2 B．－2≤b≤2
C．－2
A．12 B．15 C．16 D．18
7．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为( )
A．π＋1 B．π＋2 C．π－1 D．π－2
8．如图，过圆外一点B引圆O的两条切线BA，BD，切点分别是A，D，连接AO并延长，交BD的延长线于点C，若AB＝5，BC＝13，则圆O的半径为( )
A． B． C．3 D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE的长是( )
A．3 B．3 C．4 D．2
10．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC, 则线段CP长的最小值为( )
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．某石拱桥的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为_____m.
12．如图，若以□ABCD的一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝______．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝90°，AD＝8，CD＝6，则⊙O的半径是_____.
14．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为_____.
15．在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝_________.
16．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_____个．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是的中点，OE交BC于点D．连接AC．若BC＝6，DE＝1，则AC的长为_____.
18．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为______.
19．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，.若AB＝1，则阴影部分图形的周长为___________(结果保留π)．
20．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为______.
三、解答题
21．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，M，N分别为AB，AC的中点，OM的延长线交⊙O于点D，ON的延长线交⊙O于点E，DE交AB于点F，交AC于点G.求证：AF＝AG.
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
23．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于点A，B)，AD⊥CD．
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)如图②，连OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．
图① 图②
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使BF＝EF，EF与AC交于点G.
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
参 考 答 案
1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. A 7. D 8. B 9. D 10. B
11. 4
12. 45°
13. 5
14. 2
15. 7或25
16. 5
17. 8
18.
19. π＋1
20. 18
21. 证明：∵M，N分别为AB，AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC，即∠DMF＝∠ENG＝90°.又∵OD＝OE，∴∠D＝∠E.∴∠DFM＝∠EGN，即∠AFG＝∠AGF.∴AF＝AG.
21. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝.∵M为的中点，∴＝，∴＝，∴BM＝CM.
(2)解：连接OB，OM.由题意知∠BOM＝135°，r＝2，所以当为劣弧时，l＝＝π；当为优弧时，l＝＝π.综上所述，的长为π 或π.
22. (1)解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD．∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
23. (1)解：∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4.
(2)证明：连接OC．∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC．又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD＝∠ABC．又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，即DC⊥CO，∴直线CD是⊙O的切线．
24. 解：连接DE.(1)在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，而∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA；同理可得∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.
(2)∵∠C＝30°，∴∠A＝60°，∴∠ABM＝60°，∴△OAD和△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠BOE＝∠A，∴OE∥AC，同理可得OD∥BM，∴四边形DOEM为平行四边形，而OD＝OE，∴四边形ODME是菱形．
25. 解：(1)连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠AEO＋∠BEF＝90°，∴∠OEG＝90°，即EF⊥OE，∴EF是⊙O的切线．
(2)∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵AO＝2，∴OE＝2，∴EG＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2－＝2－π.
26. (1)证明：∵C是的中点，∴＝.∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝，∴CD＝BF.在△BFG和△CDG中，∴△BFC≌△CDG(AAS)
(2)解：如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接AC，BC，∵＝，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝AD＋DH＝2＋2＝4，∴AB＝AE＋BE＝4＋2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝AB·BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2.
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