9.5 多项式的因式分解（第1课时）(共42张PPT）

9.5 多项式的因式分解
第1课时
第9章 整式乘法与因式分解
2020-2021学年度苏科版七年级下册
讨 论
问题1：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？
问题2：a=101，b=99时，求a2 – b2 的值.
回忆
运用前面所学的知识填空：
把下列多项式写 成乘积的形式
都是多项式化为几个整式的积的形式.
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
探究
观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
定义
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
将多项式-16ax2-8a因式分解．
解：原式=-(4a·4x2+4a·2)
=-4a(4x2+2)
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式；
第三步：将多项式化成两个因式乘积．
注意：
(1)多项式的第一项系数都要为正，有负号的先提取负号，然后每一项都要变号；
(2)提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式；
(3)另一个因式的项数与原多项式的项数一致．
初步应用 巩固新知
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）
①
②
③
④
⑤
⑥ 2
③
⑥
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式m
这个多项式有什么特点？
1: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大
公约数.
3
字母：相同的字母
x
所以，公因式是3x.
指数：相同字母的最低次幂
1
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂

你知道吗？
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
（3）
（a）
（a2）
（2(m+n)）
（3mn）
（-2xy）
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
例1 把 分解因式
解：
例2 把下列各式分解因式：
解：
小华解的有误吗？
提出负号时括号里的项没变号.
错误
诊断
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
ma+ mb +mc
m
=
(a+b)(a-b)=a2-b2.
我们学习了乘法公式
把上述公式反过来，就得到
a2-b2=(a+b）(a-b).
例3 把下列各式分解因式：
解：
例4 求图9-7中圆环形绿地的而积S（结果保留π）
解：S=π×322-π×182
=π（322-182)
=π（32+18)(32-18)
=700π（m2）.
答：圆环形绿地的面积是700πm2.
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
我们学习了乘法公式
把上述公式反过来，就得到
a2+2ab+b2= (a+b)2，
a2-2ab+b2 = (a-b)2.
把 12b(a-b)2 – 18(b-a)2 分解因式
解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
=12b(a-b)2 + 18(a-b)3
=6(a-b)2 [2b+3(a-b)]
=6(a-b)2 (2b+3a-3b)
=6(a-b)2(3a-b).
练习：(x-y)2+y(y-x)
例5 把下列各式分解因式：
解：
例6 把下列各式分解因式：
解：
运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法.
(1) 8a3b2 + 12ab3c
把下列各式分解因式
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可
以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
(1)a3-16a; (2)2ab3-2ab.
解：(1) a3-16a
=a(a2-16)
=a(a+4)(a-4).
把下列各式分解因式：
(2) (2) 2ab3-2ab
=2ab(b2-1)
=2ab(b+1)(b-1).
例7 把下列各式分解因式：
解：
例8 把下列各式分解因式：
解：
小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式
解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2
注意：公因式要提尽.
诊断
正确解：原式=6xy(2x+3y)
小亮解的有误吗？
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y)
把3x2 - 6xy+x分解因式
正确解：原式=3x?x-6y ? x+1 ? x
=x(3x-6y+1)
（2）(x2＋y2)2-4x2y2
把下列各式分解因式
更上一层楼
通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式．进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止.
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
(2)已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15.
巧妙计算
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn
(2)12xyz-9x2y2
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy
智力抢答
99 × 99 + 99

×
=259.
=9900.
＋
＋
（1）
992＋99
（2）
= 99 ×(99+1)
综合闯关：
1、计算（-2）101+（-2）100
2、已知， ， 求代数式 的值.
1.分解因式.
1．连一连.
x2-y2
9-25x2
x2+2x+1
xy-y2
(x+1)2
y(x-y)
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
2．下列由左边到右边的变形，那些时因式分解？为什么？
(1)(a+3)(a-3)=a2-9；
(2)m2-4=(m+2)(m-2)；
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1；
(4)2mR+2mr=2m(R+r)．
根据因式分解的定义可知(2)、(4)是因式分解.
解：
1.把下列各式因式分解.
解：
谢谢聆听