2020——2021学年鲁教版（五四制）数学七年级下册 8.6 三角形内角和定理 同步练习（word版含解析）

8.6 三角形内角和定理
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）
A．63° B．113° C．55° D．62°
2．在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是（　　）
A．0°＜∠B＜90° B．40°＜∠B＜130°
C．40°≤∠B≤90° D．40°＜∠B＜90°
3．一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为（　　）
A．38° B．39° C．42° D．48°
5．△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A＝70°，则∠BFC＝（　　）
A．125° B．110° C．100° D．150°
6．在△ABC中，若∠A：∠B＝5：7，且∠C比∠A大10°，那么∠C的度数为（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．如果在△ABC中，∠A＝60°+∠B+∠C，则∠A等于（　　）
A．30° B．60° C．120° D．140°
8．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（　　）
A．90° B．100° C．130° D．180°
9．已知△ABC的三个内角，∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C＝∠A，则此三角形（　　）
A．一定是直角三角形 B．一定有一个内角为45°
C．一定是钝角三角形 D．一定是锐角三角形
二．填空题
10．已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，则∠CAM＝　 　．
11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为　 　．
三．解答题
12．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，∠A＝40°，求∠3的度数．
13．（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝　 　：
（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝　 　；
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　 　．
14．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求的∠3度数．
15．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
16．发现：已知△ABC中，AE是△ABC的角平分线，∠B＝72°，∠C＝36°
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若P为AE上一个动点（P不与A、E重合），且PF⊥BC于点F时，∠EPF＝　 　°．
（3）探究：如图2△ABC中，已知∠B，∠C均为一般锐角，∠B＞∠C，AE是△ABC的角平
分线，若P为线段AE上一个动点（P不与E重合），且PF⊥BC于点F时，请写出∠EPF与∠B，∠C的关系，并说明理由．
17．在锐角△ABC中，∠BAC＝50°，将∠α的顶点P放置在BC边上，使∠α的两边分别与边AB，AC交于点E，F（点E不与B点重合，点F不与点C重合）．设∠BEP＝x，∠CFP＝y．
（1）【发现】
若∠α＝40°．
①如图1，当点F与点A重合，x＝60°时，y＝　 　°；
②如图2，当点E，F均不与点A重合时，x+y＝　 　°；
（2）【探究】
判断x，y和∠α之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由．
18．如图，CD∥EF，AE是∠CAB的平分线，∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数；
（2）求证：AB∥CD；
（3）求∠C的度数．
19．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
（1）∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝　 　；
（2）若∠ABC+∠ACB＝110°，则∠BOC＝　 　；
（3）若∠A＝84°，则∠BOC＝　 　；
（4）若∠A＝n°，则∠BOC＝　 　；
（5）若∠BOC＝120°，则∠A＝　 　；
（6）试探究：∠A与∠BOC之间有怎样的数量关系，并说明理由．
20．已知：在△ABC中，∠A＝α．
问题引入：在图1中，
（1）当∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB时，求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）．
（2）当∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB时，∠BOC＝　 　．（用含α的代数式表示）．
类比研究：在图2中，
（3）当∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB时，求∠BOC的度数（用含α的代数式表示）．
（4）当∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB时，试猜想∠BOC＝　 　．（用含n、α的代数式表示）
21．（1）如图1，将一张三角形纸片沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C'处，若∠CAB＝70°，则∠CAD＝　 　，其中AD是∠CAB的　 　线．
（2）如图2，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB和AC上），并使得点A和点A'重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝　 　．
（3）如图3，将长方形纸片沿着BC各BD折叠成图示的形状，BE和BI重合，
①∠CBD的度数是多少？请说明理由．
②如果∠IBD＝58°17'，求∠ABC的度数．
22．如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，求∠E的度数．
23．如图，在△ABC中，分别延长△ABC的边AB，AC到D，E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
a．若∠A＝50°，则∠P＝65°＝90°﹣；
b．若∠A＝90°，则∠P＝45°＝90°﹣；
c．若∠A＝100°，则∠P＝40°＝90°﹣；
（1）根据上述规律，若∠A＝150°，则∠P＝　 　；
（2）请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系；
（3）请说明你的结论．
24．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点．
（1）若∠A＝30°，则∠BOC的大小是　 　；
（2）若∠A＝60°，则∠BOC＝的大小是　 　；
（3）若∠A＝80°，则∠BOC的大小是　 　；
（4）若∠A＝n°，猜想∠BOC的大小，并用所学过的知识说明理由．
25．（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．

参考答案
一．选择题
1．解：∵AB∥DE，
∴∠DEC＝∠A，
∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣63°＝62°，
∴∠DEC＝62°
故选：D．
2．解：∵在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的范围是40°＜∠B＜90°，
故选：D．
3．解：由题意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠BFE＝∠ABC＝45°，
∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
4．解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，
∴∠A＝∠DOE，∠B＝∠FOE，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝∠A+∠B＝142°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣142°＝38°，
故选：A．
5．解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵BF、CF是△ABC的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BFC＝180°﹣55°＝125°．
故选：A．
6．解：依题意可设∠A与∠B的度数分别为5n°、7n°，
则∠C＝∠A+10°＝5n°+10°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
即5n°+5n°+10°+7n°＝180°，
解得n°＝10°．
所以∠C＝5n°+10°＝60°．
故选：B．
7．解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∵∠A＝60°+∠B+∠C，
∴∠A＝240°﹣∠A，
∴∠A＝120°，
故选：C．
8．解：法一：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，
∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝50°，
∴∠1+∠2＝150°﹣50°＝100°．
法二：图中∠1+∠2+∠3+小三角形的三个内角再加两个等边三角形的两个内角，再加正方形的一个内角，总和为180°*3＝540°，减去三角形的三个内角之和180°，再减去两个三角形的内角60°*2＝120°，再减去正方形的内角90°，则易得∠1+∠2+∠3＝540°﹣120°﹣180°﹣90°＝150°，而∠3＝50°，所以∠1+∠2＝100°．
故选：B．
9．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠C＝∠A，
∴∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝120°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
二．填空题
10．解：在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
而∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，
∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．
又∵MN∥DE，
∴∠ABD＝∠BAN．
而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．
故答案为110°．
11．解：∵四边形的内角和是360°，
∴∠4+∠1+∠2+∠3＝360°．
故答案为：360°．
三．解答题
12．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠1＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：∵∠B＝34°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣34°﹣40°＝106°，
∵DG∥BC，
∴∠3＝∠ACB＝106°
13．（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠BAC＝×70°＝35°，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAE＝35°﹣20°＝15°，
（2）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．
故答案为（x﹣y）．
（3）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣x+y，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．
故答案为（x﹣y）．
（4）∵∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），
∴∠PAF＝（180°﹣x﹣y），
∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°﹣（180°﹣x﹣y）﹣x]＝（3x﹣y）．
故答案为（3x﹣y）．
14．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠1＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B＝54°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠2＝36°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+36°＝71°．
15．
解：（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
答：∠AEB的度数是135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得
∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE
＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）
＝180°﹣×90°
＝135°．
答：∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB的度数是135°．
（2）∠ABO的度数为60°或45°．理由如下：
如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，
即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，
∴由题意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．
①∠EOQ＝45°，
∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，
∴∠ABO＝45°．
故答案为60°或45°．
16．解：（1）如图1，∵∠B＝72°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝36°，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝36°+36°＝72°
又∵AD⊥BC于D，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣72°＝18°．
（2）如图2，∵PF⊥BC，AD⊥BC，
∴PF∥AD，
∴∠EPF＝∠DAE＝18°；
故答案为：18；
（3）如图2，∠EPF与∠B，∠C的关系：∠EPF＝；
理由是：△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝90°+﹣∠B，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（90°+﹣∠B）＝，
∵PF⊥BC，AD⊥BC，
∴PF∥AD，
∴∠EPF＝∠DAE＝．
17．解：（1）①∵∠BEP＝60°，∠α＝40°，
∴∠EAP＝60°﹣40°＝20°，
∵∠BAC＝50°，
∴y＝∠BAC﹣∠EAP＝50°﹣20°＝30°；
故答案为：30；
②如图2，∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°，
△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，
△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，
∵∠α＝40°，
∴∠CPF+∠BPE＝140°，
①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，
∵∠BEP＝x，∠CFP＝y，
∴x+y＝360°﹣140°﹣130°＝90°，
故答案为：90；
（2）x+y＝50°+∠α，理由是：
△BEP中，∠B+∠BEP+∠BPE＝180°①，
△PFC中，∠C+∠CFP+∠CPF＝180°②，
①+②得：∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+BEP+∠CFP＝360°，
130°+180°﹣∠α+x+y＝360°
∴x+y＝50°+∠α．
18．解：（1）由
①+②得到5α＝350°，
∴α＝70°，
把α＝70°代入①得到β＝110°，
∴．
（2）∵α+β＝180°，
∴AB∥EF，
∵CD∥EF，
∴AB∥CD．
（3）∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAB＝2α＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∴∠C＝40°．
19．解：∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠ABC＝2∠OBC（设∠OBC为α），∠ACB＝2∠OCB（设∠OCB为β），
∴∠BOC＝180°﹣（α+β）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（40°+60°）
＝130°．
故答案为130°．
（2）∵∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣55°
＝125°．
故答案为125°．
（3）∵∠A＝84°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣84°＝96°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣48°
＝132°．
故答案为132°．
（4）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A．
∴∠BOC＝90°+n°，
故答案为90°+n°．
（5）∵∠BOC＝90°+∠A，
∴120°＝90°+∠A，
∴∠A＝60°，
故答案为60°
（6）∠A与∠BOC之间的数量关系是∠BOC＝90°+∠A．
20．解：（1）根据三角形的内角和为180°可知，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，
∴∠BOC＝90°+∠A．
∴∠BOC＝90°+α．
（2）同理，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，
∴∠BOC＝120°+∠A，
∴∠BOC＝120°+α．
故答案为：120°+α．
（3）∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝120°﹣α．
（4）∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝，
故答案为．
21．解：（1）如图1中，
由翻折不变性可知∠CAD＝∠C′AD＝∠CAB＝35°，
故答案为35°，角平分线．
（2）如图2中，连接AA′．
∵∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝2∠A＝140°．
故答案为140°
（3）如图3中，
①∵∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠ABE+∠EBF＝（∠ABE+∠EBF）＝90°．
∴∠CBD＝90°．
②∵∠CBE+∠IBD＝90°，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°﹣58°17′＝31°43′．
22．解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝20°，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝20°．
23．解：（1）若∠A＝150°，则∠P＝90°﹣＝15°；
故答案为15°；
（2）∠P与∠A的关系为∠P＝90°﹣∠A；
（3）理由如下：
如图，
∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴∠1＝∠DBC，∠2＝∠BCE，
∵∠P＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠DBC+∠BCE），
而∠DBC＝180°﹣∠ABC，∠BCE＝180°﹣∠ACB，
∴∠P＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）
＝（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠P＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
24．解：∠BOC＝∠A+90°．
∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB＝180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BOC＝∠A+90°，
∴若∠A＝n°，∠BOC＝n°+90°，
由此可得问题（1），（2），（3），（4）的答案，
故答案为：105°，120°，130°．
25．解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B），
即∠EAD＝（∠C﹣∠B）；
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵FM⊥BC，
∴AD∥FM，
∴∠EFM＝∠EAD＝（∠C﹣∠B）．