普通高中课程标准实验教科书·数学必修三
(人民教育出版社 A版)
掷硬币试验
掷骰子试验
课前学生探究
试验目的
试验内容
试验操作
验证古典概型基本事件的等可能性.
掷一枚质地均匀的 硬币,统计试验中“正面向上”和“反面向上”的次数.
(1)4位同学为1个小组,4个小组为一大组进行试验.
(2)每小组掷硬币50次,其中第一、第二位同学负责掷硬币,每次试验将硬币置于同一高度向下掷,待硬币静止后,观察试验结果;第三、第四位同学负责记录试验结果,并检验统计数据.
(3)小组试验结束后,将数据汇总至所在大组的试验数据统计表中.再将大组数据汇总到教师处.
试验一:
试验次数
出现正面次数
出现正面的频率
出现反面的次数
出现反面的频率
第一小组
第二小组
第三小组
第四小组
抛掷一枚硬币试验结果统计
试验目的
试验内容
试验操作
验证古典概型基本事件的等可能性.
掷一颗质地均匀的骰子,统计试验中向上的点数现的次数.
(1)4位同学为1个小组,4个小组为一大组进行试验.
(2)每小组掷骰子50次,其中第一、第二位同学负责掷骰子,每次试验将骰子置于同一高度在向下掷,待骰子静止后,观察试验结果;第三、第四位同学负责记录试验结果;并检验统计数据.
(3)小组试验结束后,将数据汇总至所在大组的试验数据统计表中.再将大组数据汇总到教师处。
试验二:
试验次数
1
点
次
数
1
点
频
率
2
点
次
数
2
点
频
率
3
点
次
数
3
点
频
率
4
点
次
数
4
点
频
率
5
点
次
数
5
点
频
率
6
点
次
数
6
点
频
率
第一大组
第二大组
第三大组
第四大组
全班总计
抛掷一颗骰子试验结果统计表
问题1:掷一枚质地均匀的硬币一次,观察出现哪几种结果?
2 种
再次关注这两个试验,根据试验结果回答下列问题:
问题2:掷一颗均匀的骰子一次,观察出现的点数有哪几种结果?
6 种
4点
1点
2点
3点
5点
6点
一次试验可能出现的每一个结果 称为一个
基本事件
根据试验结果回答下列问题:
问 题 3:
(1)在一次掷硬币试验中“出现正面”和“出现反面”这两个基本事件会同时出现吗?
不 会
(2)在一次掷骰子试验中,会同时出现 “1点”与
“2点”这两个基本事件吗?
任何两个基本事件是互斥的
不 会
问 题 4:在掷骰子试验中
(1)事件“出现偶数点”包含哪几个
基本事件?
“2点” “4点” “6点”
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
(2)事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件?
“1点” “2点” “3点” “4点”
掷硬币试验
掷骰子试验
一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本事件.
基本事件
基本事件的特点:
(1)在同一试验中,任何两个基本事件是 的;
互斥
几个基本事件的和。
(2)任何事件都可以表示成
问题5:同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,观
察出现哪几种结果?
若关注结果为哪个是正面哪个是反面,则出现的是{正,
正} {正,反},{反,正},{反,反},四个基本事件
若是关注结果为几个正面几个反面,则出现的是{正,正}
{正,反},{反,反},三个基本事件.
这四个基本事件是等可能的。
但是这三个基本事件不是等可能的。
问题6:同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次,观察出现哪几种结果?
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
3
1
2
3
4
5
6
4
1
2
3
4
5
6
5
1
2
3
4
5
6
6
1
2
3
4
5
6
若对骰子进行标号,结果有36种
问题6:同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次,观察出现哪几种结果?
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
问题6:同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次,观察出现哪几种结果?
若不对骰子进行编号,则可能出现的
基本事件有21个{1,1} ,{1,2},{1,3},{1,4},
{1,5},{1,6},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},
{2,6},{3,3},{3,4},{3,5},{3,6},{4,4},
{4,5},{4,6},{5,5},{5,6},{6,6};
但是这21个基本事件不是等可能的。
一次试验可能出现的每一个结果 称为一个基本事件
例1 从字母a、b、c、d中一次性取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?
解:所求的基本事件共有6个:
a
b
c
d
b
c
d
c
d
树状图
变式1 :从四个字母a、a、b、b中任意取出两
个字母的试验中,有哪些基本事件?
解:(1)将字母标号为a1, a2, b1, b2
所求的基本事件共有6个:A={a1, a2}, B={a1, b1},
C={a1, , b2} ,D={a2, b1}, E={a2, b2}, F={b1, b2},
(2)若字母不标号,所求基本事件有3个 :A={a,a} B={a,b} C={b,b}
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
有限性
等可能性
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型。
古 典 概 型 的 定 义
下列概型是否为古典概型?
1. 在长度为3厘米的线段AB上随机取一点C,求点A与点C之间距离小于1厘米的概率.你认为这是古典概型吗?为什么?
A
B
C
有限性
等可能性
等可能性
2.一颗质地均匀的骰子,在其一个面上标记1点,两个面上标记2点,三个面上标记3点,现掷这颗骰子,试验结果有:“出现1点”、“出现2点”、“出现3点”. 你认为这是古典概型吗?为什么?
有限性
等可能性
问 题 7:
在古典概型下,如何计算随机事件出现的概率?
对于抛掷质地均匀的骰子试验,出现各个点的概率是相等的,而同一试验中出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”这些基本事件是互斥的,反复利用概率的加法公式
在试验(二)中,如何计算“出现偶数点”的概率?
P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”)
=
+
+
=
P(A)=
古典概型的概率计算公式:
注意:求古典概型的概率关键是数基本事件的个数。
问题5:同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,观察出现哪几种结果?出现“1个正面朝上、1个反面朝上”的概率是多少?
在遇到“抛硬币”的古典概型时,要对硬币进行编号用于区分
小试牛刀
正
反
反
反
P(“一正一反”)=
例2(问题6):同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次,观察出现多少种结果?(1)向上的点数均为3的概率.(2)向上的点数和为5的概率.
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
3
1
2
3
4
5
6
4
1
2
3
4
5
6
5
1
2
3
4
5
6
6
1
2
3
4
5
6
解:同时掷两颗骰子的基本事件共有36个.
三.例题探究
(2)求向上的点数均为3的概率.
因此,向上点数均为3的概率为 .
P(A) =
36
1
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解:同时掷两颗骰子的基本事件共有36个.
设向上点数均为3为事件A.
其中, 事件A包含(3,3)1个基本事件.
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解:同时掷两颗骰子的基本事件共有36种.
事件B包含(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)4个基本事件.
(3)求向上的点数和为5的概率.
因此,向上点数和为5的概率为 .
设向上点数和为5为事件B.
三.例题探究
例题3:单选题是标准化考试中常用的题型,一般是 从A,B,C,D四个选项中选择一个正确的答案。如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概率是多少?
解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个,即基本事件只有4个,考生随机地选择一个答案是指选择A,B,C,D的可能性是相等的。
例3探究:在标准化的考试中既有单选题,又有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有的正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?
三.例题探究
解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果有15个,即基本事件只有15个,考生随机地选择一个答案是等可能的。
2.一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,试求以下各个事件的概率:
A:抽到一张Q
B:抽到一张“梅花”
C:抽到一张“红桃8”
1.从1.2.3.4.5.6.7.8.9,这九个自然数中任选一个,所选中的数是3的倍数的概率为
练习一:一个袋中装有序号为1,2,3的三个形状大小完全相同的小球,从中一次性摸出两个,有哪些基本事件?
{1,2}{1,3}{2,3}
{1,2}{1,3}{2,1}{2,3}{3,1}{3,2}
变式1:从中先后摸出两个球,有哪些基本事件?
变式2:从中有放回地摸出两个球,有哪些基本事件?
{1,1}{1,2}{1,3}
{2,1}{2,2}{2,3}
{3,1}{3,2}{3,3}
1.基本事件
(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成
基本事件的和.
2.古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.古典概型概率公式:
P(A)
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
1.课后练习
课后练习第2题、第 3题.
2.思考提升
同时抛掷三枚均匀的硬币,
(1) 基本事件有多少个?
(2)出现“一枚正面向上,两枚反面向上”
的概率是多少?