3.3 垂径定理同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
3.3垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?金平区期末）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
2．（2019春?西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．16 D．91
3．（2019秋?兴国县期末）如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝25，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
4．（2019秋?天津期末）如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN=5，那么BC等于（ ）
A．5 B．5 C．25 D．10
5．（2020?龙泉驿区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
6．（2019秋?通州区期末）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝43，那么⊙O的半径长度为（ ）
A．2 B．4 C．23 D．43
7．（2019秋?仪征市期末）如图，在⊙O中，分别将AB、CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．8 B．16 3 C．32 D．323
8．（2019秋?连云港期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，BC＝3．劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长是（ ）
A．6 B．23 C．32 D．22
9．（2020?浙江自主招生）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（ ）
A．4cm B．23cm C．43cm D．（2+43）cm
10．（2018?高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?黄岩区期末）如图，⊙O的直径CD长为6，点E是直径CD上一点，且CE＝1，过点E作弦AB⊥CD，则弦AB长为 ．
12．（2020秋?梁溪区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
13．（2020秋?西城区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
14．（2019秋?顺义区期末）如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若BE＝2，则CD的长为 ．
15．（2019秋?瑞安市期中）一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，若矩形的高为2m，宽为233m，则要打掉墙体的面积为 m2．
16．（2020?常州模拟）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ m．
17．（2019秋?瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ m．
18．（2019秋?宿豫区期中）如图，⊙O的半径为5，OP＝3，过点P画弦AB，则AB的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
20．（2019秋?东城区校级期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．
21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
22．（2019秋?海淀区期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．
23．（2019秋?东台市期中）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．
（1）求OD的长；
（2）求⊙O的半径．
24．（2017秋?农安县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，连接CE、AE、CB、EB、AE与y轴交于点F，已知A（﹣2，0）、C（0，4）．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求⊙M的半径及EB的长．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
2．【解析】连接OA，如图，
∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，
∴M为AB中点，即AM＝BM=12AB，
又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，
∴DM=45DC＝8，MC=15DC＝2，且OA＝OD＝5，
∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，
在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，
即AM=OA2-OM2=4，
则AB＝2AM＝8．
故选：B．
3．【解析】设OD＝2a，则CD＝a，OA＝3a，
∵AB⊥OC，OC为半径，
∴AD＝BD=12AB=5，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（5）2，
a＝1（负数舍去），
OA＝3×1＝3，
故选：C．
4．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝25，
故选：C．
5．【解析】设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
6．【解析】作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝43，
∴AD=12AB＝23，
由折叠得：OD=12AO，
设OD＝x，则AO＝2x，
在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（23）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；
故选：B．
7．【解析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，
连接OA，OB，OD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵分别将AB、CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=12OA，
∴∠HAO＝30°，
∴∠AOH＝60°，
同理∠DOG＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOD+∠AOB＝180°，
∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝AO＝4，AB=3AD＝43，
∴四边形ABCD的面积是163，
故选：B．
8．【解析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，则BH＝CH=12BC=32，
∵劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O，
∴OH=12OB，
∴∠OBH＝30°，
∴OH=33BH=32，
∴OB＝2OH=3，
当BD为直径时，即BD＝23时，对角线BD最大，则此时∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴此时△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=22BD=22×23=6．
故选：A．
9．【解析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，
∴C为AB中点，即AC＝BC，
由折叠得到CD＝OC=12OD＝2cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，
即AC2+4＝16，
解得：AC＝23cm，
则AB＝2AC＝43cm．
故选：C．
10．【解析】由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小，
连接OP、OA，
由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=12AB＝4，
在Rt△AOB中，OQ=OA2-AQ2=3，
∴PQ＝OP﹣OQ＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】连接OA，∵AB⊥CD，
∴AE＝BE
∵CE＝1，OA＝OC＝3
∴OE＝3﹣1＝2，
在Rt△AOE中，AE=OA2-OE2=32-22=5
∴AB＝25，
故答案为25．
12．【解析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
13．【解析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE=12AB=12×8＝4，
在Rt△AEO中，OE=OA2-AE2=52-42=3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
14．【解析】如图，连接OC．
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED=12CD．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5，
∴CE=OC2-OE2=52-32=4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为8．
15．【解析】如图，连结AD、BC交于O，∵∠BDC＝90°，
∴BC是直径，
∴BC=BD2+CD2=22+(233)2=433，
∴OA＝OB＝AB=233，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴S△AOB=33，S△AOC=33，
∴S＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB
＝2[120?π×(233)2360-33]+[60?π×(233)2360-33]
=109π-3，
∴打掉墙体面积为（109π-3）平方米，
故答案为：（109π-3）．
16．【解析】连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD=12AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD=OA2-OD2=52-32=4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．
17．【解析】设CD于AB交于G，与MN交于H，
∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，
∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，
设圆拱的半径为r，
在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
解得r＝13，
∴OC＝13m，
∴OH＝13﹣1＝12m，
在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，
∴132＝122+MH2，
解得MH2＝25，
∴MH＝5m，
∴MN＝10m，
故答案为10．
18．【解析】过点P作CD⊥OP，交⊙O于C，D．连接OC．
∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，
∴PC=OC2-OP2=52-32=4，
∵OP⊥CD，
∴PC＝PD＝4，
∴CD＝8，
∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，
即AB的取值范围是8≤AB≤10，
故答案为：8≤AB≤10．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA'2-ON2=342-302=16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．
20．【解析】连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM=12CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x=103，
所以圆的半径长是103cm．
21．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
22．【解析】设这段弯路的半径为r m，
∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），
∴BD＝DA=12AB＝50（m）
∴CD＝10（m），
得OD＝r﹣10（m）．
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2
即r2＝502+（r﹣10）2
解得r＝130（m）．
答：这段弯路的半径为130 m．
23．【解析】（1）如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠DCO＝45°，
∴CO＝DC＝1，
∴OD=2CO=2×1=2；
（2）BO＝BC+CO＝BC+CD1+1＝2，．
连接AO，
则△ABO 为直角三角形，
于是 AO=AB2+BO2=12+22=5．
即⊙O的半径为5．
24．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴AC=AD，OC＝OD＝4，
C为弧AE的中点，
∴AC=CE=AD，
∴∠CAD＝∠CAE，
∴AF＝CF；
（2）解：连接DM，如图，
设⊙M的半径为r，则OM＝r﹣2，DM＝r，
在Rt△ODM中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，
设OF＝x，则CF＝AF＝4﹣x，
在Rt△AOF中，22+x2＝（4﹣x）2，解得x=32，
∴AF＝4-32=52，
∵∠OAF＝∠EAB，
而∠AOF＝∠AEB，
∴Rt△AOF∽Rt△AEB，
∴OF：BE＝AF：AB，即32：BE=52：10，解得BE＝6，
∴⊙M的半径为5，EB的长为6．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?金平区期末）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
2．（2019春?西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．16 D．91
3．（2019秋?兴国县期末）如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝25，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
4．（2019秋?天津期末）如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN=5，那么BC等于（ ）
A．5 B．5 C．25 D．10
5．（2020?龙泉驿区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（ ）cm．
A．4 B．9 C．5 D．8
6．（2019秋?通州区期末）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝43，那么⊙O的半径长度为（ ）
A．2 B．4 C．23 D．43
7．（2019秋?仪征市期末）如图，在⊙O中，分别将AB、CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．8 B．16 3 C．32 D．323
8．（2019秋?连云港期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，BC＝3．劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长是（ ）
A．6 B．23 C．32 D．22
9．（2020?浙江自主招生）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（ ）
A．4cm B．23cm C．43cm D．（2+43）cm
10．（2018?高邮市一模）如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?黄岩区期末）如图，⊙O的直径CD长为6，点E是直径CD上一点，且CE＝1，过点E作弦AB⊥CD，则弦AB长为 ．
12．（2020秋?梁溪区期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．
13．（2020秋?西城区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．
14．（2019秋?顺义区期末）如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于点E，若BE＝2，则CD的长为 ．
15．（2019秋?瑞安市期中）一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，若矩形的高为2m，宽为233m，则要打掉墙体的面积为 m2．
16．（2020?常州模拟）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝ m．
17．（2019秋?瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ m．
18．（2019秋?宿豫区期中）如图，⊙O的半径为5，OP＝3，过点P画弦AB，则AB的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
20．（2019秋?东城区校级期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交⊙O于点E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半径．
21．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．
22．（2019秋?海淀区期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心．AB＝100m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝10m，求这段弯路的半径．
23．（2019秋?东台市期中）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．
（1）求OD的长；
（2）求⊙O的半径．
24．（2017秋?农安县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，连接CE、AE、CB、EB、AE与y轴交于点F，已知A（﹣2，0）、C（0，4）．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求⊙M的半径及EB的长．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
2．【解析】连接OA，如图，
∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，
∴M为AB中点，即AM＝BM=12AB，
又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，
∴DM=45DC＝8，MC=15DC＝2，且OA＝OD＝5，
∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，
在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，
即AM=OA2-OM2=4，
则AB＝2AM＝8．
故选：B．
3．【解析】设OD＝2a，则CD＝a，OA＝3a，
∵AB⊥OC，OC为半径，
∴AD＝BD=12AB=5，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（5）2，
a＝1（负数舍去），
OA＝3×1＝3，
故选：C．
4．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝25，
故选：C．
5．【解析】设OC＝OB＝xcm，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝3cm，
在Rt△OEC中，∵OC2＝CE2+OE2，
∴x2＝32+（x﹣1）2，
∴x＝5，
∴OE＝4cm，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9cm，
故选：B．
6．【解析】作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝43，
∴AD=12AB＝23，
由折叠得：OD=12AO，
设OD＝x，则AO＝2x，
在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，
（23）2+x2＝（2x）2，
x＝2，
∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；
故选：B．
7．【解析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，
连接OA，OB，OD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵分别将AB、CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=12OA，
∴∠HAO＝30°，
∴∠AOH＝60°，
同理∠DOG＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOD+∠AOB＝180°，
∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝AO＝4，AB=3AD＝43，
∴四边形ABCD的面积是163，
故选：B．
8．【解析】作OH⊥BC于H，连接OB，如图，则BH＝CH=12BC=32，
∵劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O，
∴OH=12OB，
∴∠OBH＝30°，
∴OH=33BH=32，
∴OB＝2OH=3，
当BD为直径时，即BD＝23时，对角线BD最大，则此时∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴此时△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=22BD=22×23=6．
故选：A．
9．【解析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，
∴C为AB中点，即AC＝BC，
由折叠得到CD＝OC=12OD＝2cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2＝OA2，
即AC2+4＝16，
解得：AC＝23cm，
则AB＝2AC＝43cm．
故选：C．
10．【解析】由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小，
连接OP、OA，
由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=12AB＝4，
在Rt△AOB中，OQ=OA2-AQ2=3，
∴PQ＝OP﹣OQ＝2，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】连接OA，∵AB⊥CD，
∴AE＝BE
∵CE＝1，OA＝OC＝3
∴OE＝3﹣1＝2，
在Rt△AOE中，AE=OA2-OE2=32-22=5
∴AB＝25，
故答案为25．
12．【解析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
13．【解析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE=12AB=12×8＝4，
在Rt△AEO中，OE=OA2-AE2=52-42=3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
14．【解析】如图，连接OC．
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED=12CD．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5，
∴CE=OC2-OE2=52-32=4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为8．
15．【解析】如图，连结AD、BC交于O，∵∠BDC＝90°，
∴BC是直径，
∴BC=BD2+CD2=22+(233)2=433，
∴OA＝OB＝AB=233，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，
∴S△AOB=33，S△AOC=33，
∴S＝2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB
＝2[120?π×(233)2360-33]+[60?π×(233)2360-33]
=109π-3，
∴打掉墙体面积为（109π-3）平方米，
故答案为：（109π-3）．
16．【解析】连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD=12AB．
在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，
∴AD=OA2-OD2=52-32=4（m），
∴AB＝2AD＝8m．
故答案为：8．
17．【解析】设CD于AB交于G，与MN交于H，
∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，
∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，
设圆拱的半径为r，
在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，
∴r2＝（r﹣8）2+122，
解得r＝13，
∴OC＝13m，
∴OH＝13﹣1＝12m，
在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，
∴132＝122+MH2，
解得MH2＝25，
∴MH＝5m，
∴MN＝10m，
故答案为10．
18．【解析】过点P作CD⊥OP，交⊙O于C，D．连接OC．
∵OC＝5，OP＝3，∠OPC＝90°，
∴PC=OC2-OP2=52-32=4，
∵OP⊥CD，
∴PC＝PD＝4，
∴CD＝8，
∴过点P的最短的弦长为8，最长的弦长为10，
即AB的取值范围是8≤AB≤10，
故答案为：8≤AB≤10．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA'2-ON2=342-302=16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．
20．【解析】连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM=12CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x=103，
所以圆的半径长是103cm．
21．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴AB=CD，
∵M为AD中点，
∴AM=DM，
∴AB+AM=CD+DM，即BM=CM，
∴BM＝CM．
22．【解析】设这段弯路的半径为r m，
∵OC⊥AB于D，AB＝100（m），
∴BD＝DA=12AB＝50（m）
∴CD＝10（m），
得OD＝r﹣10（m）．
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2＝BD2+DO2
即r2＝502+（r﹣10）2
解得r＝130（m）．
答：这段弯路的半径为130 m．
23．【解析】（1）如图，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠DCO＝45°，
∴CO＝DC＝1，
∴OD=2CO=2×1=2；
（2）BO＝BC+CO＝BC+CD1+1＝2，．
连接AO，
则△ABO 为直角三角形，
于是 AO=AB2+BO2=12+22=5．
即⊙O的半径为5．
24．【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴AC=AD，OC＝OD＝4，
C为弧AE的中点，
∴AC=CE=AD，
∴∠CAD＝∠CAE，
∴AF＝CF；
（2）解：连接DM，如图，
设⊙M的半径为r，则OM＝r﹣2，DM＝r，
在Rt△ODM中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，
设OF＝x，则CF＝AF＝4﹣x，
在Rt△AOF中，22+x2＝（4﹣x）2，解得x=32，
∴AF＝4-32=52，
∵∠OAF＝∠EAB，
而∠AOF＝∠AEB，
∴Rt△AOF∽Rt△AEB，
∴OF：BE＝AF：AB，即32：BE=52：10，解得BE＝6，
∴⊙M的半径为5，EB的长为6．