3.4 圆周角和圆心角的关系同步练习（含解析）

3.4圆周角与圆心角的关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?南海区校级模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（　　）
A．26° B．38° C．52° D．64°
2．（2020?砚山县一模）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD＝70°，则∠BCD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2019?长春模拟）如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则AD所对圆心角的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
4．（2019秋?青龙县期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点P是BC（含端点）上任意一点，若AB＝13，BC＝12，则AP的长不可能是（　　）
A．4 B．5 C．12 D．13
5．（2020?陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
6．（2020?安溪县一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，∠CAB＝20°，则∠DCB的度数为？（　　）
A．70° B．50° C．40° D．20°
7．（2019?福田区模拟）如图，在⊙O中，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB和∠COD互补，且AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径是（　　）
A．3 B．2 C．5 D．4
8．（2020?麻城市校级模拟）如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．12 B．6 C．33 D．63
9．（2020春?洪泽区期中）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α度数为（　　）
A．160° B．120° C．100° D．80°
10．（2019秋?东海县期中）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　）
①AC＝CD；②AD＝BD；③AC+BD=BC；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　 　°．
12．（2019秋?金坛区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝110°，则∠DCE＝　 　°．
13．（2019秋?昌平区校级期中）若⊙O的弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数是　 　．
14．（2019秋?吴中区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠B＝76°，则∠AEC＝　 　°．
15．（2019秋?海陵区校级期中）点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC为平行四边形，P为⊙O上异于A、B、C的一点，则∠APC＝　 　或　 　．
16．（2019?无锡模拟）AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝6，则线段BQ的长为　 　．
17．（2019秋?汾阳市期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，四边形AOCD是平行四边形，连接AB，BC，若∠B＝32°，则∠D＝　 　°．
18．（2017秋?蜀山区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?思明区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BDC＝2∠CBD；
（2）若AF＝10，BC＝45，求点D到线段FC的距离．
20．（2019秋?南通期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）若OE＝4，求AC的长．
21．（2020?蜀山区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．
22．（2019秋?建湖县期中）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为D，连接AE、EC．
（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度数；
（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半径．
23．（2019秋?崇川区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
24．（2017?西华县三模）如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB＝20，AD＝415，DE⊥AB于E．
（1）求DE的长．
（2）求证：AC＝2OE．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】连接OC，如图，
∵∠A＝26°，
∴∠BOC＝2∠A＝52°，
∵AB⊥CD，
∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD＝38°．
故选：B．
2．【解析】由同弧所对的圆周角相等可得：
∠BCD＝∠BAD，
∵∠BAD＝70°，
∴∠BCD＝70°，
故选：D．
3．【解析】如图，作OH⊥AB于H，连接OA．
由题意AO＝2OH，
∵∠AHO＝90°，
∴tan∠OAH=OHOA=12，
∴∠OAH＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AOD+∠OAH＝180°，
∴∠AOD＝150°，
故选：C．
4．【解析】连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC=AB2-BC2=132-122=5，
∵点P是劣弧BC（含端点）上任意一点，
∴AC≤AP≤AB，
即5≤AP≤13．
故选：A．
5．【解析】∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
6．【解析】连接BD，如图，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠CAB＝20°，
∴∠DCB＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
7．【解析】作直径DE，连接CE，如图，
∵∠AOB+∠COD＝180°，∠COD+∠COE＝180°，
∴∠AOB＝∠COE，
∴CE=AB，
∴CE＝AB＝2，
∵DE为直径，
∴∠DCE＝90°，
∴DE=22+42=25，
∴OD=5，
即⊙O的半径是5．
故选：C．
8．【解析】如图，连接OB，OA，OC，OC交AB于E．
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
∵点C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AE＝EB，
在Rt△AOE中，AE＝OA?sin60°＝33，
∴AB＝2AE＝63，
故选：D．
9．【解析】优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．
故选：A．
10．【解析】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，
∴AC＝CD'＝CD，
故①正确；
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵AC＝CD'，故②正确；
∴AC=CD'，
由折叠得：BD=BD，
∴AC+BD=BC；
故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，
∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CD不平分∠ACB，
故④错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
12．【解析】∵∠BOD＝110°，
∴∠A=12∠BOD＝55°，
∴∠DCE＝∠A＝55°．
故答案为55．
13．【解析】如图，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵∠AOB＝80°，
∴∠ACB=12∠AOB＝40°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣40°＝140°，
即弦AB所对的圆周角的度数是40°或140°．
故答案为40°或140°．
14．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝76°，
∴∠D＝∠B＝76°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣76°＝104°，
故答案为：104．
15．【解析】如图，连接OB，
∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，
∴四边形OABC为菱形，
∴AB＝BC＝OA＝OC＝OB，
∴△AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠ABC＝120°，
当P点在优弧AC上时，∠APC=12∠AOC＝60°；
当P点在劣弧AC上时，∠APC＝∠ABC＝120°；
即∠APC的度数为60°或120°．
故答案为60°，120°．
16．【解析】连接AQ，BQ，
∵∠P＝45°，
∴∠QAB＝∠P＝45°，∠AQB＝90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB＝6，
∴2BQ2＝36，
∴BQ＝32．
故答案为：32
17．【解析】∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝32°，
∴∠O＝2∠B＝64°，
∵四边形AOCD是平行四边形，
∴∠D＝∠O＝64°，
故答案为：64．
18．【解析】如图1，连接CN，
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°，
∴∠CNB＝90°，
∴点N在以BC为直径的⊙O′上，
∵⊙O′的半径为1，
∴当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，
在Rt△AO′C中，∵O′C＝1，AC＝2，
∴O′A=O'C2+AC2=5，
∴AN＝AO′﹣O′N=5-1，
即线段AN长度的最小值为5-1．
故答案为5-1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）∵AB＝AC，
∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC=12（180°﹣∠BAC）＝90°-12∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴12∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BDC＝2∠DFC，
∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC＝∠FBC，
∴CB＝CF，
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．
又BC＝45，
设AE＝x，CE＝10﹣x，
由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，
解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，
∴DE=AE?CEBE=6×48=3，FC＝45
∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，
∴BE＝8＝EF，
∴FD＝5
作DH⊥FC，垂足为H，
∵12FD?CE=12HD?FC，
∴DH=5．
20．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠OAC＝2∠OAD．
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴AC∥OD．
（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：
则AF=12AC，
∵AC∥OD，
∴∠DOE＝∠OAF．
在△DOE和△OAF中，∠DEO=∠OFA=90°∠DOE=∠OAFDO=OA，
∴△DOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF=12AC，
∴AC＝2OE＝8．
21．【解析】（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，
∴BD=BF，
∴BF=CD，
∴BF＝CD，
又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，
∴△BFG≌△DCG（AAS）；
（2）如图，连接OD交BC于点M，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BM＝CM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM=12AC＝5，
∵BF=CD，
∴BC=FD，
∴OE＝OM＝5，
∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，
∴EF＝DE=OD2-OE2=12，
∴BF=BE2+EF2=82+122=413；
22．【解析】（1）连接OC．
∵半径OA⊥弦BC，
∴AC=AB，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOC＝2∠AEC＝50°，
∴∠AOB＝50°．
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠ECB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵OA⊥BC，
∴EC∥OA，
∴∠A＝∠AEC，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，
∵EC＝4，
∴EB＝2EC＝8，
∴⊙O的半径为4．
23．【解答】（1）解：∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝40°，
由圆周角定理得，∠CAB＝∠CDB＝40°，∠CAD＝∠CBD＝40°，
∴∠BAD＝40°+40°＝80°；
（2）证明：∵CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠1+∠CDB＝∠2+∠CAB，
∵∠BAC＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
24．【解析】（1）连接BD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD=AB2-AD2=202-(415)2
＝410，
∵S△ADB=12AD?BD=12AB?DE
∴AD?BD＝AB?DE，
∴DE=AD×BDAB=415×41020=46，
即DE＝46；
（2）证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵OF⊥AC，
∴AC＝2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD．
又∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BAC＝∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵∠BAC=∠BOD∠AFO=∠OED=90°OA=OD
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF＝OE，
∵AC＝2AF，
∴AC＝2OE．