3.5 确定圆的条件同步练习（含解析）

3.5确定圆的条件
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?北仑区期末）下列四个结论，不正确的是（　　）
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2020秋?崇川区校级月考）下列语句中正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019?吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
4．（2019秋?东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
5．（2018秋?兴化市月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
6．（2018?镇江模拟）如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，318） D．（4，338）
7．（2020秋?海淀区期中）如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠AOB＝2∠ACB D．∠ACB＝∠2+∠3
8．（2020?汶上县一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、点C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．22
9．（2020春?江州区期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．∠C的平分线与AB的交点
10．（2020?雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝8，BH＝23，⊙O的半径OC＝5，则弦AB的长为（　　）
A．1033 B．833 C．6 D．932
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝3，则⊙O的直径为　 　．
12．（2020秋?南岗区校级月考）如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，则∠BOC＝　 　°．
13．（2020秋?南岗区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，则AB长为　 　．
14．（2020?鼓楼区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝4，∠B＝30°，tanC=43，则⊙O的半径是　 　．
15．（2020?吉安模拟）△ABC内接于⊙O，∠B＝70°，∠OCB＝50°，点P是⊙O上一个动点（不与图中已知点重合），若△ACP是等腰三角形，则∠ACP的度数为　 　．
16．（2020春?越城区期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝　 　°．
17．（2019秋?北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　 　．
18．（2020?路北区二模）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝　 　．弓形ACB的面积为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
20．（2020?湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求CD的长．
21．（2020?鼓楼区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
22．（2020?泰兴市一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．AE是⊙O的直径，交BC于点G．过点A作AF⊥BC，AF分别与BC、⊙O交于点D、F，连接BE、CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CAF；
（2）若AB＝8，AC＝6，AG＝5，求AF的长．
23．（2020?浙江自主招生）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，求△ABC面积的最大值．
24．（2020?鹿城区校级二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．
（1）若M是AB中点，连结MD，求证：四边形APDM是平行四边形；
（2）连结PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA=12，求线段PD的长．
答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】①过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，符合题意；
②圆内接四边形对角互补，错误，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故原命题错误，符合题意．
错误的有①②③④，
故选：D．
2．【解析】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；
④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，
故选：A．
3．【解析】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
4．【解析】∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
5．【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
6．【解析】∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
42+(y-4)2=12+y2，
解得，y=318，
故选：C．
7．【解析】∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2，所以A选项的结论成立；
∵OA＝OB，
∴∠4＝∠OBA，
∴∠AOB＝180°﹣∠4﹣∠OBA＝180°﹣2∠4，
∵△ABC为不等边三角形，
∴AB≠BC，
∴∠BOC≠∠AOB，
而∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；
∵∠AOB与∠ACB都对AB，
∴∠AOB＝2∠ACB，所以C选项的结论成立；
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠3，
∴∠ACB＝∠1+∠OCA＝∠2+∠3，所以D选项的结论成立．
故选：B．
8．【解析】连接AB、BC，如图，
∵A（0，3）、B（4，3），
∴AB⊥y轴，
∴∠BAC＝90°，
∴BC为△ABC外接圆的直径，
∵AC＝3+1＝4，AB＝4，
∴BC=42+42=42，
∴△ABC外接圆的半径为22．
故选：D．
9【解析】∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
10．【解析】如图，延长CO交⊙O于D，连接AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴CD＝2OC＝10，∠DAC＝90°，
∴AD=CD2-AC2=100-64=6，
∵∠DAC＝∠BHA＝90°，∠D＝∠B，
∴△ADC∽△HBA，
∴BHAD=ABCD，
∴236=AB10，
∴AB=1033，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=22BC=322，
∴⊙O的直径为32．
故答案为32．
12．【解析】∵∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣42°﹣72°＝66°，
∵O是△ABC的外心，
∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝2∠BAC＝132°．
故答案为132，
13．【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ADB＝30°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴AB=12AD=12×6＝3．
故答案为3．
14．【解析】作直径AD，连接BD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠D＝∠C，
∴tanD＝tanC=43，
在Rt△ABD中，tanD=ABBD=43，
而AB＝4，
∴BD＝3，
∴AD=32+42=5，
∴⊙O的半径为52．
故答案为52．
15．【解析】如图，连接OA，OB，
∵∠OCB＝50°，
∴∠OBC＝50°，
∵∠B＝70°，
∴∠OBA＝∠OAB＝20°，
∴∠AOB＝140°，
∴∠AOC＝360°﹣80°﹣140°＝140°，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠ACB＝50°+20°＝70°，
∴AB＝AC，
当AP′＝AC时，
此时点P′与点B重合，不符合题意；
当AP＝PC时，
∵∠B＝70°，
∴∠APC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ACP＝∠CAP=12（180°﹣110°）＝35°；
当AP′＝P′C时，
∠P′AC＝∠P′CA=12（180°﹣70）＝55°；
当AC＝P′C时，
∠ACP′＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：35°或55°或40°．
16．【解析】如图，连接BD，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故答案为：40．
17．【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
18．【解析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD、OA、OB，
∵四边形ADBC为圆内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝45°，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠D＝90°，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴AB=2OA＝22，
弓形ACB的面积=90π×22360-12×2×2＝π﹣2，
故答案为：22；π﹣2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R=253cm，
∴圆片的半径R为253cm．
20．【解析】（1）∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABC，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠ABC；
（2）∵∠CAD＝∠ABC，
∴CD=AC，
∵AD是⊙O的直径，AD＝6，
∴CD的长=12×12×π×6=32π．
21．【解析】（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB=22BC＝52；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF=12BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE=OA2-OE2=7，
∴AD＝AE+DE＝12．
22．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB+∠CAF＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠E，
∴∠BAE＝∠CAF；
（2）解：由圆周角定理得，∠ABG＝∠AFC，又∠BAE＝∠CAF，
∴△ABG∽△AFC，
∴ABAF=AGAC，即8AF=56，
解得，AF=485．
23．【解析】作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，当△ABC的BC边上的高经过点O时，△ABC面积最大，
如图，过点O作OD⊥BC，并延长DO交圆于点A'，连接A'B，A'C，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOD＝30°，OB＝OA'＝BC＝4，
∴OD＝23，
∴A'D＝4+23，
∴S△A'BC=12×BC×A'D=12×4×(4+23)=8+43．
24．【解答】（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：
∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，
∴∠C+∠BMP＝180°，
∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，
又∵PD∥AB，
∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，
∴MD为⊙O的直径，
∵∠C＝90°，M为AB的中点，
∴CM=12AB＝BM，
∴CM=BM，
又∵MD为⊙O的直径，
∴DM垂直平分BC，
∴PC∥MD，
∴四边形APDM为平行四边形；
（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：
∵MD和BP均为⊙O的直径，
∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，
∴四边形PDBM为矩形，
∴PM＝BD，
∵PM＝PC，
∴PC＝BD，
在Rt△BPD和Rt△PBC中，BP=PBBD=PC，
∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），
∴PD＝BC，
在Rt△ACB中，AC＝4，tanA=BCAC=12，
∴BC＝4tanA＝2，
∴PD＝BC＝2．