3.8 圆内接正多边形同步练习（含解析）

3.9圆内接正多边形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?东丽区期末）边长为2的正六边形的面积为（　　）
A．63 B．62 C．6 D．3
2．（2020?番禺区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（　　）
A．22.5° B．45° C．30° D．50°
3．（2020?保定模拟）如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
4．（2020?南充模拟）如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（　　）
A．90° B．85° C．84° D．80°
5．（2020?凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．22：3 B．2：3 C．3：2 D．3：22
6．（2020?南开区二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
7．（2019秋?徐州期末）已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（　　）
A．433 B．23 C．334 D．322
8．（2019秋?建湖县期中）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
9．（2018秋?沭阳县期中）如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（　　）
A．75° B．54° C．72° D．60°
10．（2019秋?莱山区期末）如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?历下区二模）正方形的边长为6，则该正方形的边心距是　 　．
12．（2020?雁塔区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF，则BEDF的值为　 　．
13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是　 　．
14．（2019秋?东城区校级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为　 　．
15．（2019秋?惠民县期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是　 　．
16．（2019秋?鼓楼区期中）如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是　 　．
17．（2019秋?镇江期末）如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　 　．
18．（2014?余姚市校级自主招生）已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于E，交CD于P，若EP＝1，AP＝3，则圆的半径r＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?镇江期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为CD的中点，连接AM，BM．
（1）求证：AM=BM；
（2）求AM的度数．
20．（2018秋?镇江期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为BC上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　 　°；
（2）若DC＝4，CP=22，求DP的长．
21．（2020?江岸区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
22．（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+2PB．
23．（2017秋?青山区期中）如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
24．（2018秋?大连月考）如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．
（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由
（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝　 　；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝　 　；
（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=16×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB?sin60°＝2×32，
∴边心距是：3；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2×3=63．
故选：A．
2．【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=12∠BOC＝45°．
故选：B．
3．【解析】连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，∠AOB=360°3=120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n=360°30°=12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：B．
4．【解析】由正五边形内角，得
∠I＝∠BAI=(5-2)×180°5=108°，
由正六边形内角，得
∠ABC=(6-2)×180°6=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABK＝60°，
∴由四边形的内角和，得
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°．
故选：C．
5．【解析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH=12AB，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=12×120°＝60°，
∴AD=2OA，AH＝OA?sin60°=32OA，
∴AB＝2AH＝2×32OA=3OA，
∴ADAB=2OA3OA=23，
故选：B．
6．【解析】∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴CF=DF，BC=DE，∠BAE＝108°，
∴BF=EF，
∴∠BAF=12∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
7．【解析】如图（二），
∵圆内接正六边形边长为1，
∴AB＝1，
可得△OAB是等边三角形，圆的半径为1，
∴如图（一），
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC＝30°，BD＝OB?cos30°=32×1=32，
故BC＝2BD=3．OD=12OB=12，
∴圆的内接正三角形的面积=12×3×32=334，
故选：C．
8．【解析】连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB=360°4=90°，∠AOC=360°3=120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n=360°30°=12，
故选：C．
9．【解析】连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝72°，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OCB＝54°，
在△OBP和△OCQ中，OB=OC∠OBP=∠OCQBP=CQ，
∴△OBP≌△OCQ，（SAS），
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP＝∠QOC，
∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ＝∠BOC＝72°．
故选：C．
10．【解析】连接OA、OB、OC，如图，
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，∠AOB=360°3=120°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，
∴n=360°30°=12，
即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】如图所示：作OE⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠OBE＝45°，而OE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴EB＝OE＝3，
故其边心距为3．
故答案为：3．
12．【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC＝CD＝DE＝EF，∠C＝∠CDE＝∠DEF=16（6﹣2）×180°＝120°，
∴∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴∠BDE＝120°﹣30°＝90°，∠DEB＝∠FEB＝60°，
∴∠DBE＝30°，
∴BE＝2DE，BD=3DE，
在△BCD和△DEF中，BC=DE∠C=∠DEFCD=EF，
∴△BCD≌△DEF（SAS），
∴BD＝DF=3DE，
∴BEDF=2DE3DE=233；
故答案为：233．
13．【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C=(5-2)×180°5=108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD=180°-108°2=36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
14．【解析】连接OA、OB，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB=360°6=60°，
∵OA＝OB＝3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，
故答案为：3．
15．【解析】连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE=360°6=60°，
∴∠DAE=12∠DOE=12×60°＝30°，∠AED＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AD＝2OD＝4，
∴DE=12AD=12×2＝1，AE=3DE＝23，
∴△ADE的周长为2+4+23=6+23，
故答案为：6+23．
16．【解析】连接OC，
∵AB是⊙O内接正方形的一边，
∴∠AOB＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷6＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故答案为：12；
17．【解析】如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为2，
∴AB＝BC=2?2=2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK=BK2+BC2=22+12=5，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF≥5-1，
∴CF的最小值为5-1．
故答案为5-1．
18．【解析】∵∠DAC的平分线交圆于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵∠CDE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠CDE，
∵∠AED＝∠DEP，
∴△ADE∽△DPE，
∴PEDE=AEDE，
∴DE2＝AE?EP；
∵EP＝1，AP＝3，
∴AE＝4，
∴DE2＝AE?EP＝4，
∴DE＝2
∵∠DAE＝∠CAE，
∴弧DE＝弧CE，
∴CE＝DE＝2，
∵圆内接正方形ABCD，
∴∠ADC＝90，
∴AC是直径，
∴∠AEC＝90，
∴AC=AE2+CE2=25，
∴r=5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴AD=BC，
∵M为CD的中点，
∴DM=CM，
∴AD+DM=BC+CM，
∴AM=BM；
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM=12（360°﹣90°）＝135°，
∴AM的度数时135°．
20．【解析】（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为BC上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝22，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH=CD2-CH2=42-22=23，
∴DP＝PH+DH＝2+23．
21．【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是BC对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
22．【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
CE=PC∠BCE=∠ACPBC=AC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB=12∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE=2PB，
在△ABE和△CBP中，
BE=BP∠1=∠3AB=BC，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+2PB；
23．【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED=12∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC=AE2+CE2=17，
∴AD=22AC=342，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴344=（4﹣x）2+x2，
解得x=32或52（舍弃），
∴DE=2DH=322
24．【解析】（1）∠AOQ＝60°．
在△ABP和△BCQ中，AB=BC∠ABC=∠CPB=CQ．
∴△ABP≌△BCQ（SAS）．
∴∠BAP＝∠CBQ．
∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；
（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，
（3）正n边形∠AOQ=180°(n-2)n．
故答案为：90°，108°．