3.9 弧长及扇形的面积同步练习（含解析）

3.10弧长及扇形的面积
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?莫旗期末）已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）
A．9 B．3 C．92 D．322
2．（2019秋?鹿城区月考）已知扇形的弧长为8π，圆心角为120°，则扇形的半径是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
3．（2019春?建湖县期中）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（　　）
A．6π B．7π C．72π D．632π
4．（2020春?东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（　　）
A．πm2 B．2πm2 C．4πm2 D．nπm2
5．（2019秋?邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C为圆心，以AC2的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）cm2
A．6-254π B．6-2516π C．2516π D．6-52π
6．（2020?毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．16π B．316π C．124π D．112π+34
7．（2019秋?玉田县期末）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，底面半径OB＝6米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）．（　　）
A．60π B．50π C．47.5π D．45.5π
8．（2020?新泰市二模）如图，从一块直径为4的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（　　）
A．12 B．2 C．22 D．24
9．（2020?聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝23，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
10．（2017?温州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB=5，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC＝2AC，且CD的长度恰好是CE的52倍，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．79π B．43π C．149π D．83π
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?秦淮区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是　 　cm（结果保留π）．
12．（2019秋?下城区期末）已知弧长等于3π，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是　 　．
13．（2019秋?鼓楼区期末）如图，AB、CD、EF所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是　 　．（用“＜”连接）
14．（2019秋?北碚区校级期中）如图，扇形OAB以O为圆心，23为半径，圆心角∠AOB＝60°，点C为OB的中点，连接AC．以C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．
15．（2020?河南模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为　 　．
16．（2019?开福区校级三模）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝22，则阴影部分的面积为　 　．
17．（2019秋?德城区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是　 　．
18．（2020?十堰）如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．
20．（2019?遵义四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
21．（2018秋?黄山期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．
22．（2020?龙岗区二模）如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DE的中点，连接BC，BE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝23，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
23．（2020春?朝阳区校级月考）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB=AE，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求EC的长度．
24．（2019秋?吴兴区期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．
（1）若DQ=3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，
∴120?π×r180=3π，
∴r=92，
故选：C．
2．【解析】根据弧长的公式l=nπr180，
得到：8π=120πr180，
解得r＝12，
故选：C．
3．【解析】连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝70°，
∴∠AOB＝40°，
∵OA∥BC，
∴∠OBC＝∠AOB＝40°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝100°+40°＝140°，
∴劣弧AC的长=140?π×9180=7π，
故选：B．
4．【解析】∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴S阴影部分=720π×12360=2π（m2），
∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2．
故选：B．
5．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
设∠A＝α，∠B＝β，则α+β＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5cm，
∴阴影的面积为12×3×4-απ?(2.5)2360-βπ?(2.5)2360=（6-2516π）cm2．
故选：B．
6．【解析】连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵弧CD的长为13π，
∴60π?r180=13π，
解得：r＝1，
∴S阴影＝S扇形OCD=60π?12360=π6．
故选：A．
7．【解析】∵AO＝8米，OB＝6米，
∴AB＝10米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形=12lr=12×12π×10＝60π米2．
故选：A．
8．【解析】连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝4，
∴AB＝AC＝22，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr=90π×22180，解得r=22，
即该圆锥底面圆的半径为22．
故选：C．
9．【解析】连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积=60?π×(23)2360=2π，
故选：B．
10．【解析】如图，连接ED，作AM⊥EC于M，BN⊥CD于N．
∵BC＝2AC，
∴设AC＝x，BC＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x2+（2x）2＝5，
∴x＝1，2x＝2，
AC＝1，BC＝2，
∵∠AMC＝∠BNC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CAM，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠CAM+∠CBN＝90°，
∵AE＝AC，AM⊥EC，BC＝BD，BN⊥CD，
∴∠CAE＝2∠CAM，∠CBD＝2∠CBN，
∴∠CAE+∠CBD＝180°，
∵CD的长度恰好是CE的52倍，设∠CBD＝m，∠CAE＝n，
∴mπ?2180=52×n?π?1180，
∴4m＝5n，
∵m+n＝180°，
∴m＝100°，n＝80°，
∴S阴=100?π?22360+80?π?12360=4π3，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，
则OA2＝22+42＝20，OA＝25
可知∠AOC＝90°，
∴过A、B、C三点的弧：90π×25180=5π．
故答案为5π
12．【解析】设弧的圆心角为n°．
由题意：nπ?6180=3π，
解得n＝90，
∴该弧的度数是90°，
故答案为90°．
13．【解析】观察图象可知：r2＜r1＜r3
故答案为r2＜r1＜r3．
14．【解析】连接AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵点C为OB的中点，
∴OC＝BC=3，AC⊥OB，
由勾股定理得，AC=OA2-OC2=(23)2-(3)2=3，
∴图中阴影部分的面积=60π×(23)2360-12×3×3-90π×(3)2360=54π-332，
故答案为：54π-332．
15．【解析】连接OD、CD，
∵OA为圆C的直径，
∴OD⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴AD＝DB，∠OAD＝30°，
∴OD=12OA＝2，
由勾股定理得，AD=OA2-OD2=23，
∴△AOB的面积=12×AB×OD＝43，
∵OC＝CA，BD＝DA，
∴CD∥OB，CD=12OB，
∴∠ACD＝∠AOB＝120°，△ACD的面积=14×△AOB的面积=3，
∴阴影部分的面积=120?π×42360-△AOB的面积﹣（120?π×22360-△ACD的面积）
=163π﹣43-43π+3
＝4π﹣33，
故答案为：4π﹣33．
16．【解析】∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵BC＝22，
∴OB＝2，
∴△OBC的BC边上的高为：22OB=2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC=90?π×22360-12×22×2=π﹣2，
故答案为：π﹣2．
17．【解析】∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴阴影部分的面积=60?π?22360=23π．
故答案为23π．
18．【解析】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
故CD＝DB＝DA，
∴D点为BC中点，由对称性可知CD与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC＝BC＝x，
则S扇形ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，
其中S扇ACB=90?π?x2360=πx24，
S4=S△ACB-S△BCD-S3=12?x2-12?x?x2-S3=x24-S3，
故：πx24-S3-(x24-S3)=π-1，
所以：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）
故答案：2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO＝90°，
在直角△ABO中，OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S扇形△BOC，
∴△BOC是等边三角形，边长是2，
∴S阴影部分＝S扇形△BOC=60π×22360=2π3，即图中阴影部分的面积是2π3．
20．【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝4，
∴BC=ACtan30°=433=43，
∴OD=23，
在Rt△ODF中，DF=ODtan30°=2333=6，
∴阴影部分的面积为：12×23×6-60360π×(23)2=63-2π．
21．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A＝∠BCD；
（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD＝23，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC（阴影部分）的面积=120π×42360=163π．
22．【解答】（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为DE的中点，
∴BD=EB，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴AE=BC，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴AC=EC，
∵AE=BC，
∴AC=BE=12AE，
∴∠A=12∠ABE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，cos∠A=AEAB，
∴AB=AEcos30°=2332=4，
∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB=12×2×2×32=3，
∴S阴＝S扇形﹣S△EOB=60π×22360-3=2π3-3．
23．【解答】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵AB=AE，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵AB=AE，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴EC的长度=60×π×4180=43π．
24．【解答】
解：如图：
过点P作PT⊥BQ于点T，
∵AB＝2，AD＝BC＝23，DQ=3，
∴AQ=3，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ=7．
又∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP＝DQ=3
∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，
∴△AQB∽△TPB，
∴BTAQ=BPBQ，
即BT3=37，
∴BT=377，
∴BE＝2BT=677．
（2）设菱形BPDQ的边长为x，
则AQ＝23-x，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得
AB2+AQ2＝BQ2，
即4+（23-x）2＝x2，
解得x=433
由（1）可知：
BTx=23-xx，
∴BT＝23-x＝23-433=233，
∴BE=433，
∴点E、Q重合，
∴圆P经过点B、Q、D，
∴S菱形=833．