北京市顺义区2021届高三上学期第一次统练（期末考试）数学试题 Word版含答案

顺义区2021届高三第一次统练
数学试卷
考
生
须
知
本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟．
在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育ID号．
试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
考试结束后，请将答题卡上交．
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）设集合false，false，则false
A. false B. false C. false D. false
（2）在复平面内，复数false对应的点的坐标是false，则false
A. false B. false C. false D. false
（3）在false的展开式中，常数项为
A. false B. false C. false D. false
3905885127000（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. false B. false C. false D. false
（5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯
A．32盏 B．64盏 C．128盏 D.196盏
（6）设双曲线false的方程为false，若false的一条渐近线的斜率为false，则false的离心率为
A. false B. false C. false D. false
（7）已知false，且false，则下列不等式中不恒成立的是
A. false B. false C. false D. false
（8）已知两条直线m，n和平面α，且false，则“false”是“false”的
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
（9）在false中，false，则false
A．false B．false C．false D.false
（10）已知函数false．若存在false，使得false，则实数false的取值范围是
A．false B．false C．false D.false
第二部分（非选择题 共110分）
填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）false ．
（12）设抛物线false的焦点为false，则false=_____；若点false在抛物线上，且false，则点false的坐标为______．
（13）已知函数false，能说明false既是偶函数又在区间false上单调递减的一组整数false的值依次是______．
（14）已知单位向量false满足false，则false与false夹角的大小为_____；false（false）的最小值为______．
（15）已知椭圆false的左、右焦点分别为false，false，直线false 与椭圆false相交于点false，false．给出下列三个命题：
① 存在唯一一个m，使得false为等腰直角三角形；
② 存在唯一一个m，使得false为等腰直角三角形；
③ 存在false，使false的周长最大．
其中，所有真命题的序号为__________．
解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
（16）（本小题满分13分）
3146425398780在三棱柱false中，false平面false，false，false，
false是false的中点．
（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）求二面角false的余弦值．
（17）（本小题满分14分）
函数falsefalse，false，false的部分图象如图所示．
346710013335
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数false在区间false上的最小值．
（18）（本小题满分14分）
为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：
运动鞋款式
A
B
C
D
E
回访顾客（人数）
700
350
300
250
400
满意度
0.3
0.5
0.7
0.5
0.6
注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
（Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
（Ⅱ）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用“false”和“false”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“false”和“false”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差false与false的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆false经过点false和false．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线false与椭圆C交于false，false两点，且坐标原点false到直线false的距离为false．求证：以false为直径的圆经过点false．
（20）（本小题满分15分）
已知函数false.
（Ⅰ）若false,求曲线false的斜率等于3的切线方程；
（Ⅱ）若false在区间false上恰有两个零点，求false的取值范围.
（21）（本小题满分15分）
已知false是无穷数列．给出两个性质：
①对于false中任意两项false，在false中都存在一项false，使得false；
②对于false中任意项false，在false中都存在两项false，使得false.
(Ⅰ)若false，判断数列false是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若false，判断数列false是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若false是递增数列，false，且同时满足性质①和性质②，证明：false为等差数列.
顺义区2021届高三第一次统练
数学试卷参考答案
选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
A
C
A
C
C
D
B
二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)
11. false； 12. false，false(前3分，后2分)； 13. false（答案不唯一）； 14. false，false(前3分，后2分)； 15. ①③
三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）
16．（本小题共13分）
3832225219710解：（Ⅰ）因为false平面false，
所以false.-----------------2分
又false，
false平面false，false平面false，
所以false平面false.-----------------4分
358965512700因为false平面false，
所以false.-----------------5分
（Ⅱ）在三棱柱false中，false，
因为由false平面false，
所以false平面false.
所以false，false，false两两垂直.
如图，以false为原点，建立空间直角坐标系false，------------6分
所以false，false，false，false.
设平面false的法向量为false，
因为false，false，
所以false . 即false.
令false，则false，false.
所以平面false的一个法向量为false.-------------------9分
因为false平面false，
所以平面false的一个法向量为false.-----------------10分
所以false.-----------------------------13分
所以二面角false的余弦值为false.
17.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题设图象知，周期false，
因为false，所以false．---------------------------2分
而由题意知false，所以false．----------------4分
因为函数false的图象过点false，所以false．
所以false．所以false
又因为false，所以false.
故函数false的解析式为false.------------------7分
（Ⅱ）false
false---------9分
=false=false------------------11分
因为false，所以false.
所以当false时，即false时，false取到最小值，
且最小值为false.---------------------------------------14分
18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为false------------------------------------------2分
故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是false.--------------------------------------------4分
（Ⅱ）X的取值为0，1，2.---------------------------------5分
设事件false为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件false为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件false相互独立.
根据题意，false估计为false，false估计为false.
则 false----6分
false
false ---------7分
false --------------8分
所以false的分布列为：
X
0
1
2
false
0.28
0.54
0.18
---------------------------10分
false的期望是：false.----12分
（Ⅲ）false.-------------------------------------------14分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为椭圆经过点false，所以false.-------------------------1分
又因为椭圆经过点false，所以falsefalse，解得false.------3分
所以椭圆的方程为false．-----------------------------4分
（Ⅱ）由false，可得false.-------6分
由题意，false，设false，false，
所以false，false.-----------------------8分
因为原点false到直线false的距离为false，所以false.
即false. -----------------------------------------9分
因为false-----------------------10分
false
false----------------11分
false----------------------------13分
所以false.即false.
因此以false为直径的圆过原点false.-----------------------------14分
20.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）当false时，false，false，------------2分
设切点为false，则false，
解得false或false（舍）----------------------------------3分
所以false.
切点为false---------------------------------------4分
所以所求切线方程为false.
即false.------------------------------------5分
（Ⅱ）因为false，--------------------------6分
由false及定义域false，令false，得false.-----------7分
①当false，即false时，
在false上false，所以false在false上单调递增.
此时false在false上不可能存在两个零点；-------------------9分
②当false，即false时，
在false上false，所以false在false上单调递减.
此时false在false上不可能存在两个零点；-------------------11分
③当false，即false时，要使false在区间false上恰有两个零点，
则false，即false，此时false.
综上，实数false的取值范围是false.--------------------------15分
21.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）数列false不满足性质①，理由如下：----------------------2分
取数列false中的false，false，所以false.
由false，解得false，显然false不是整数.
所以在数列false中不存在false，使得false，
故数列false不满足性质①；----------------------------------4分
（Ⅱ）数列false同时满足性质①和性质②，理由如下：--------------5分
对于false中任意两项false，false，记false，
因此false，从而数列false满足性质①；-----------------7分
对于false中任意项false，记false，falsefalse，
显然有false，从而数列false满足性质②；
综上，数列false同时满足性质①和性质② --------------------9分
（Ⅲ）false是递增数列，false，则false，根据性质①false，false…,
由数学归纳法原理，可以证明
false------------------------12分
另一个方面，我们用反证法证明false
假设false（false）是false中最小的不能写成false的整倍数的项，
根据性质②，存在两项false，使得false，
我们记false，可知：false，
易知false，
根据false（false）的最小性，可知道
false，可以得到false，与t不是正整数矛盾.
综上所述，false是首项为0，公差为false的等差数列.-------------15分