(共24张PPT)
情境导入
情境导入
VB
情境导入
比如，
x
x
对于x
的每一个值，
l
都有唯一确定的值4x
与之对应.
初中函数的定义：
VB
设在某一个变化过程中有两个变量
x
和
y
,
如果对于
x
的每一个值，y
都有唯一确定的值与之对应，那么就说
y
是
x
的函数。其中
x
叫做自变量，y
叫做因变量。
周长：l
=
4
x
问题
这里的函数
l=4x
与正比例函数
y=4x
相同吗？
函数
y=x
与函数
相同吗？
情境导入
VB
学习目标
1、从具体实例出发，在初中函数定义的基础上进一步构建函数概念。
2、深入理解函数对应关系、定义域与值域三要素。
3、通过对不同实例的比较、分析、归纳共性进而抽象出函数的概念，体验用数学的眼光看待事物。
学习重难点
1、函数概念的深入理解
2、函数关系的判断
知识海洋
VB
问题1
某“复兴号”高速列车加速到350
km/h
后保持匀速运行半小时。
（1）这段时间内，列车行进的路程S
与时间t
具有怎样的关系？这两个量是否构成函数？
解：这段时间内，列车行进的路程
S（单位：km）与运行时间
t（单位：h）的关系可以表示为：S=350t
这里，t
和
S
是两个变量，而且对于
t
的每一个确定的值，
S
都有唯一确定的值与之对应，所以
S
是
t
的函数.
知识海洋
VB
问题1
某“复兴号”高速列车加速到350
km/h
后保持匀速运行半小时。
（2）有人说：“根据对应关系S=350t,这辆列车加速到350
km/h
后，运行一小时就前进了350km.”你认为正确吗？
解：根据问题中的条件，我们不确定列车以350km/h
运行半小时后的速度，所以该说法不正确。
知识海洋
这里，t
变量的取值是有范围的，t
的变化范围是
。
A1={
t
|
0≤
t
≤0.5}
（3）你能确定这趟列车运行多长时间能达到210km吗？
S
的变化范围是
B1={
S
|
0≤
S
≤175}.
VB
下面用更精确的语言表示问题1中
S
与
t
的对应关系：
列车行进的路程
S
与运行时间
t
的对应关系是:
S
=350t.
其中，t
的变化范围是数集A1={
t
|
0≤
t
≤0.5}
，S的变化范围是数集B1={S|0≤
S
≤175}
.
A1
B1
乘以350
t1
t2
350t1
350t2
知识海洋
对于
任一时刻t，按照对应关系，
都有唯一确定的路程S和它对应.
数集A1中的
在数集B1中
VB
问题2
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，且每周付一次工资。那么你认为怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资
w（单位：元）是他工作天数
d
的函数吗？
w=350d
其中，d
的变化范围是数集
A2={1,2,3,4,5,6}
，w
的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
.
VB
知识海洋
解：显然，工资
w
是一周工作天数
d
的函数，其对应关系是：
对于
任一个工作天数d，按照对应关系，
都有唯一确定的工资w与它对应.
数集A2中的
在数集B2中
VB
知识海洋
问题1和2中的函数关系相同吗，为什么？
问题2
w=350d
d∈
A2={1,2,3,4,5,6}
w∈
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
问题1
S=350t
t∈
A2
={t
|
0≤
t
≤0.5}
S∈
B2={S
|
0≤
S
≤175}
问题1和2中的函数虽然有相同的对应关系，但自变量的取值范围不同，画出图象来不一样，所以不是同一个函数。
VB
知识海洋
问题1和2中的函数关系相同吗，为什么？
若两个函数关系相同，需满足什么条件？
自变量的取值范围相同
因变量的取值范围相同
对应关系相同
（1）正方形周长与边长的对应关系l=4x与正比例函数y=4x相同吗？
（2）y=x
与
是同一函数吗？
解：（1）不是；（2）不是；
VB
疑问解答
问题3
下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数值？AQI是否是时间t的函数，为什么？你能根据图找到中午12时的AQI的值吗？
从图中的曲线可知，t
的变化范围是数集A3={t
|
0≤
t
≤24}
；
AQI
的值I
都在数集B3={r|0<
I
<150}
中.
VB
知识海洋
对于数集A3中的任一时刻
t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定值
I
与之对应.所以，I
是
t
的函数.
对应关系
图一
问题4
国际上常用恩格尔系数r（
）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
这里，y的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}；根据恩格尔系数的定义可知，r
的取值都在数集B4={r|0中。
年份y
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
恩格尔系数r（%）
36.69
36.81
38.17
35.69
35.15
33.53
33.87
29.89
29.53
28.57
VB
知识海洋
对于数集A4中的任意一个年份y，根据表中所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以，r
是y
的函数.
对应关系
表一
归纳
上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y
和它对应.
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号
f
统一表示对应关系.
VB
知识海洋
设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f
(x)和它对应，那么就称
f
:
A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f
(x)，x∈A.
其中x
叫做自变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，定义域为A；
VB
知识海洋
函数的定义：
与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{f
(x)
|
x∈A}叫做函数的值域。
任意性
在问题1与问题2中，
在问题3中，值域是数集B3的真子集；
在问题4中，值域C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,
0.3387,0.2989,0.2935,0.2857}，是数集B4={r|0的真子集.
VB
知识海洋
值域就是B1和B2
；
设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f
(x)和它对应，那么就称
f
:
A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f
(x)，x∈A.
其中x
叫做自变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，定义域为A；
VB
知识海洋
函数的定义：
值域是集合B
的子集.
与x的值相对应的y
值叫做函数值，函数值的集合{f
(x)
|
x∈A}叫做函数的值域。
任意性
存在性
唯一性
x
f
(x)
f
可以将函数
f
想象为一个机器，如果
x
在
f
(x)
的定义域内，则当我们输入
x
时，在法则
f
作用下会输出一个f
(x).对于给定的对应法则，自变量确定则函数值确定.
函数符号的理解：
VB
知识海洋
VB
知识海洋
函数三要素：
y=f
(x)，x∈A
自变量x
的取值范围
与x的值相对应的
y
值的集合{f
(x)
|
x∈A}
对应关系：
定义域：
值域：
A
例1
下列图象中能作为函数y=f
(x)的图象的是（
）
A
B
C
D
由函数的定义我们对于一个图象可以通过垂线检验法判断其是否构成函数.
解题技巧
垂直于x轴的直线与函数y=f
(x)的图象最多有1个交点.
A
VB
应用探究
例2
已知集合M={-1,1,2,4},
N={1,2,4},给出下列四个对应关系：
①
y=x2
②
y=x+1
③
y=x-1
④
y=∣x∣
其中能构成从M到N的函数的是
A.①
B.
②
C.
③
D.④
解题技巧
VB
应用探究
判断一个对应关系是否为函数的方法：
根据函数的概念（两非空实数集A,B、一对一或多对一的对应关系、A中不能有剩余元素）做出判断。
D
原创
VB
课堂小结
1、在初中知识的基础上，从实例入手，通过对四个问题的分析，利用集合语言重新概括归纳了函数的概念，其中函数三要素（定义域、对应关系、值域）要牢记。
2、利用函数概念判断对应关系是否为函数关系。(人教A版)必修1中第三章第一节第1课时函数的概念评测练习
函数概念的理解
1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(
)
2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．(
)
3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(
)
4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．(
)
5.
(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
6.
设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，
②y＝x＋1，
③y＝x－1，
④y＝|x|，
其中能构成从M到N的函数的是( )
①
B．②
C．③
D．④
在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；
④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
9．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
10.
(多选)下列四种说法中，正确的有( )
A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素
11.
(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
答案
1．×
2.×
3.×
4.×
5.AD
6.B
7.D
8.D
9.AD
10.ACD
11.ABC(人教A版)必修1中第三章第一节第1课时函数的概念教学设计
课标分析
教学目标知识目标：在初中知识的基础上，通过实例分析，归纳概括出函数概念。掌握函数概念的三要素，充分理解函数的概念。举例说明两个变量之间是否存在函数关系。情感态度和价值观目标：1、通过举例，让学生理解客观世界中各种运动变化现象可以用函数模型来刻画。例如天宫二号所表现出来的运动与变化，还可以激发学生对未知领域的好奇心与学习兴趣。2、通过学习函数概念及其反映的思想，所掌握的方法不仅是进一步学习数学的基础，也是学习其他科目的重要基础，更是解决问题的重要工具。3、经过函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养。能力目标：1、通过对课本中实例的分析，培养学生分析归纳总结的逻辑推理能力。2、通过学生之间相互启发、相互补充、激发灵感，提高学生合作探究的能力。3、教师精心设计智能训练和反馈．培养学生运用知识解决问题能力。
教学内容
教师的组织和引导
学生活动
教学意图
一、初中函数概念
导入：客观世界中有各种各样的运动变化现象：（图片展示）天宫二号发射过程蓄水池放水过程复兴号高速列车运行过程这些现象中都表现为变量间的对应关系，常常用函数模型来描述，通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。回顾初中函数的概念。设在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就y是x的函数。其中x叫做自变量，y叫做因变量。函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。例如，正方形的周长与边长x的对应关系是，对于x的每一个值，都有唯一确定的4x与之对应,所以是x的函数。思考：这里的函数与正比例函数相同吗？函数与函数相同吗？
边看图片边听老师描述，并回顾初中阶段所学知识。
引导学生联系实际生活，理解函数在实际生活中的抽象应用。
二、问题分析
问题1
某“复兴号”高速列车加速到350
km/h
后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S与时间t具有怎样的关系？这两个量是否构成函数？
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S
是t的函数.有人说：“根据对应关系S=350t,这辆列车加速到350
km/h
后，运行一小时就前进了350km.”你认为正确吗？根据问题中的条件，我们不确定列车以350km/h
运行半小时后的速度，所以该说法不正确。这里，t变量的取值是有范围的，t的变化范围是A1={t|0≤t≤0.5}。你能确定这趟列车运行多长时间能达到210km吗？S变量的取值也是有范围的，S的变化范围是B1={S|0≤S≤175}。用更精确的语言表示问题1中S与t的对应关系：（设置填空题）对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应.问题2
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，且每周付一次工资。那么你认为怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是：w=350d.
其中，d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}，w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
.用更精确的语言表示问题2中w与d的对应关系：（设置填空题）对于数集A2中的任一天数d，按照对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应.思考题
问题1和2中的函数关系相同吗，为什么？问题1和2中的函数虽然有相同的对应关系，但自变量的取值范围不同，画出图象来不一样，所以不是同一个函数。让学生解决导入环节提出的问题：这里的函数与正比例函数相同吗？函数与函数相同吗？问题3
下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图（图片展示：空气质量指数（AQI）变化图），如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数值？AQI的值I是否是时间t的函数，为什么？你能根据图找到中午12时的AQI的值吗？显然，对任意时刻t,根据对应关系（以空气质量指数变化图形式展现）都有唯一的I值与其对应,所以t与I能构成函数关系。从图中的曲线可知，t的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}；AQI的值I都在数集B3={r|0国际上常用恩格尔系数r（）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.（图表展示：我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况），从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.年份y的取值范围是数集A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}；根据恩格尔系数的定义可知r的取值都在数集B4={r|0中。用更精确的语言表示问题4中y与r的对应关系。
学生回答S=350tS是t的函数。学生回答不对，时间超过0.5h后，列车不一定继续匀速行驶。学生回答不能，根据对应关系和t的取值范围，我们只知列车行驶175km时，所用时间是0.5h。在行驶175km到210km之间时，由于不知道具体运行速度，所以不知道时间。学生思考与讨论，说出w与d的关系。学生思考讨论并给出答案学生回答都不相同，虽然对应关系相同，但自变量的取值范围不同。让学生以每个时刻点为垂点，做横轴的垂线，垂线与图像交点的纵坐标为该时刻的空气质量指数值。学生回答对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定值I与之对应.所以，I是t的函数.学生回答对于数集A4中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定值r与之对应，所以，r是y的函数。
让学生根据题意列出对应关系，引导学生根据初中函数定义思考变量之间的关系。锻炼学生的思考能力引导学生观察、分析，培养归纳能力引导学生观察、分析，培养归纳能力
三、函数的概念
归纳
上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有：都包含两个非空数集，用A，B来表示；都有一个对应关系；尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。归纳概括
设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f
(x)和它对应，那么就称
f
:
A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f
(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做这个函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f
(x)|x∈A}叫做函数的值域。
让学生讨论并试着提问除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号
f统一表示对应关系.
通过归纳四个问题中函数的共同特征，从而帮助同学理解、概括函数概念
四、函数概念的理解
函数三要素对应关系：y=f
(x)，x∈A定义域：自变量x的取值范围，是集合A。值域：与x值相对应的函数值的集合{f
(x)|x∈A}，值域与定义中集合B的关系：。函数符号的理解将函数f想象为一个机器，如果x在函数的定义域内，则当我们输入x时，在法则f作用下会输出一个f
(x)。对于给定的对应法则，自变量确定则函数值确定.
学生思考，理解，记忆。结合前面四个问题中的函数，在问题1与问题2中，函数值域就是B1和B2；在问题3和问题4中，值域是数集B3和B4的真子集；
利用实例帮助学生理解函数值域
五、函数关系的判断
练习例1
下列图象中能作为函数y=f
(x)的图象的是（
）（4个选项的图片）例2
已知集合M={-1,1,2,4},
N={1,2,4},给出下列四个对应关系：①y=x2
②y=x+1
③y=x-1④y=∣x∣其中能构成从M到N的函数的是
判断一个对应关系是否为函数的方法：根据函数概念
培养学生自主学习、归纳总结的能力
八、总结
我们这节课学习了函数的概念，在初中知识的基础上，从实例入手，通过对四个问题的分析，利用集合语言重新概括归纳函数的概念，然后详细阐述函数的三个要素。
学习、理解、总结
可以通过对比初中知识，给学生以系统和相对完整的知识，并提高自我归纳总结的能力。
