江苏省徐州市沛县高级中学校2020-2021学年高二上学期教学质量调研（三）（1月）数学试题 Word版含答案

江苏省沛县中学2020－2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（三）
数 学 试 题
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知命题p：x[0，2]，，则p是（ ）
A．x[0，2]，
B．x[0，2]，
C．x(，0)(2，)，
D．x[0，2]，
2． 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
3． 设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，，为这两条曲线的一个交点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4． 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为
1 2 3 4 5 6
142857 285714 428571 571428 714285 857142
所以这组数字又叫走马灯数．若从表格第二行这6个数字中任意取出2个数字，则这两个数字之和为999999的概率为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王可近似看成一个正四棱柱中间挖去一个圆柱后形成的几何体，正四棱柱的高约为9厘米，底面边长约为18厘米；圆柱的底面半径约为5厘米，则该玉琮王的表面积约为（ ）平方厘米．
A．1139 B．1296 C．1422 D．1579
6． 已知为三个不同的平面，为两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
若，则 若，则
若，则 若，则
7． 已知椭圆离心率为，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，若直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
8． 为应对新冠疫情，某医院传染科有6名医生，现安排他们分成三组值早，中，晚三班，每班至少一人，每人值一次，则不同的安排方法有（ ）
A．90种 B．540种 C．570种 D．1080种
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分）
9． 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则下列结论正确的是　　
A． B．外接圆半径为1
C． D．的面积为
10．已知的展开式中二项式系数最大的项仅是第六项，且展开式的各项系数之和为1，则下列说法正确的是　　
A．展开式中奇数项的二项式系数和为512
B．展开式中第4项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
11．目前我国的火力发电厂主要是燃煤发电．随着我国经济发展及经济结构的调整，火力发电要优化火力发电机组结构，建设高效超临界大型机组，加快关停小火电，降低发电煤耗率．近几年，通过自主研发与引进技术相结合，火电机组设计制造技术快速发展．与此同时，新型低污染燃烧技术和烟气排放控制技术及装备也已广泛应用于火力发电厂的生产过程．如图，某发电厂的冷却塔，它的外形线是双曲线，在平面直角坐标系中，若该双曲线过点，且渐近线方程为，点是双曲线上任意一点，分别是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若,则或
B．以为中点的弦所在直线方程为
C．若直线与双曲线的右支有仅有一个公共点，则的取值范围为
D．若在双曲线的右支上运动，则到直线的距离均大于．
12．如图1，四边形是边长为的菱形，现将沿对角线折起，连接，形成如图2所示的四面体，在图2中，设棱的中点为，的中点为，下列结论正确的是（ ）

若，则四面体的外接球的半径为
若，则四面体的体积的最大值为
若，且四面体的外接球的球心在四面体的内部，则线段长度的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．已知，．若是的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
14．如图所示，建峰从家处出发沿网格路线行进，先到处与小吉会合，再一起到位于处的如皋实验初中参加志愿者活动，则建峰到如皋实验初中可以选择的最短路径条数为 ．
15．若，则 ．
16．现有一只装满水的圆锥形的容器，底面半径为6cm，高为8cm，要放入一只铁球，使得铁球能完全淹没在水中，则最多能溢出水 ，此时铁球与容器壁接触点的长度为
．
四、解答题（本大题共6小题，总分70分）
（本小题满分10分）
受全球疫情影响，近期多地冷链进口食品外包装新冠病毒核酸检测呈阳性．某地海关部门对同时从A，B，C三个不同国家进口冷链食品外包装进行抽样核酸检测，从这三个国家进口此种进口冷链食品的数量（单位：件）如下表所示． 工作人员用分层抽样的方法从这些冷链食品中共抽取8件样品进行检测．
国家 A B C
数量 50 150 200
（1）求这8件样品中来自各国家商品的数量；
（2）若在这8件样品中随机抽取2件送往该地区指定机构进行核酸检测，求这2件商品来自相同国家的概率．
18．（本小题满分12分）
在中，，，分别是角，，所对的边，在下面三个条件中任选一个，并作答：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③，，成等差数列．若 ，（1）求取值范围；（2）求取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知，．求：
（1）；
（2）．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，，，，平面平面．
（1）求二面角的正切值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点．已知以该抛物线上的点为切点的切线方程为．
（1）证明：；
（2）若的面积为，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点，已知不经过点的直线与椭圆交于、两点，点满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线过定点；
（3）求的取值范围．
1.B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B
9.ABC 10.AC 11.BCD 12.ABD
13. 14. 9 15. 16.
17.（1）来自A，B，C国家的冷链食品的数量之比为1：3：4，所以这8件样品中来自A，B，C国家的冷链食品的数量分别为1件，3件，4件；
（2）记“2件商品来自相同国家”为事件A.
则.
答：这2件商品来自相同国家的概率为.
18.（1）选①：因为成等比数列，所以.
由余弦定理，
当且仅当时取等号.
因为，所以.
选②：因为成等比数列，所以，解得.
当且仅当时取等号.因为，所以.
选③：因为成等比数列，所以,
由正弦定理，得，所以.下面同选①.

因为，所以，，的取值范围为.
19.(1)令，
（2）由已知，，.
方法一： ①
②
①+②，得，
所以.
方法二：，
.
20.（1）过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面,
所以面，
因为面，所以.
在中，,,所以.
在中，.
所以,所以.
方法一：因为，,面，
所以面，又面，所以.
所以为二面角的平面角.
在中,.
所以二面角的平面角的正切值为.
(2)过点作，垂足为.
因为面，面,所以,
又，,面,
所以面，
所以直线与面所成角的平面角为.
在中,,所以，
在中,.
所以直线与面所成角的平面角的正弦值为.
方法二：在面内过点作，交于点.
因为面，面，所以.
以为正交基底，建立空间直角坐标系.
则.所以,,
设平面的法向量为.
所以，则，
令，则，所以平面的一个法向量.
因为面，所以平面的一个法向量.
设二面角的平面角为.
由图可知，，且，
则.所以.
所以二面角的平面角的正切值为.
(2),设直线与面所成角为.
则.
所以直线与面所成角的平面角的正弦值为.
21.（1）证明：显然的斜率存在，易得.
设直线，与抛物线方程联立，得，
设，则，，
由已知，以为切点的切线方程为①，②，
当时，联立①②，得，即，
所以，所以.
当时，显然有.
所以.
（2），
，
因为，所以，
所以.
22.（1）设椭圆的焦距为.则.
因为，所以，.所以.
（2）当直线斜率不存在时，，,,
因为，所以.
当直线斜率不存在时，设，
与椭圆方程联立，得，
设，则，，（*）
，
得，
，
将（*）式代入，化简得，所以或.
所以（舍）或.
检验符合.所以直线过定点.
因为在椭圆上，所以.
所以



又，
，
令，
则

令，
则，在上单调递增，
所以的取值范围为.
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