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课时素养评价
五 向 心 力
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动,其质量之比为1∶2,转动半径之比为1∶2,在相同的时间里甲转过60°,乙转过45°,则它们的向心力大小之比为
( )
A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16
【解析】选C。由于m1∶m2=1∶2,r1∶r2=1∶2,ω1∶ω2=θ1∶θ2=4∶3,向心力F=mω2r,故F1∶F2=4∶9,故C项正确。
2.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上,杆上端套有一个质量为m的小球,今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动,角速度为ω,如图所示,则杆的上端受到的作用力大小为
( )
A.mω2R
B.
C.
D.不能确定
【解析】选C。小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动,这两个力的合力充当向心力必指向圆心,如图所示:用力的合成法可得杆对球的作用力:F=
=,根据牛顿第三定律,小球对杆的上端的作用力F′=F,故C项正确。
3.如图所示,物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动,物体B在水平方向所受的作用力有
( )
A.圆盘对B及A对B的摩擦力,两力都指向圆心
B.圆盘对B的摩擦力指向圆心,A对B的摩擦力背离圆心
C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D.圆盘对B的摩擦力和向心力
【解析】选B。以A、B整体为研究对象,受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力,重力与支持力平衡,摩擦力提供向心力,即摩擦力指向圆心。以A为研究对象,受重力、B的支持力及B对A的摩擦力,重力与支持力平衡,B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力,即方向指向圆心,由牛顿第三定律,A对B的摩擦力背离圆心,所以物体B在水平方向受圆盘对B指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力,故B项正确。
4.(2020·金华高一检测)在水平路面上骑自行车,在转弯时,我们往往要让自行车向内侧倾斜,这样不容易摔倒,如图,将人和自行车视为一个整体,下列说法正确的是
( )
A.整体受重力、支持力、摩擦力、向心力的作用
B.重力和支持力的合力提供向心力
C.只有摩擦力提供向心力
D.支持力的方向斜向上
【解析】选C。整体受到的力只有三个:重力、支持力、摩擦力,故A错误;整体在水平面内做圆周运动所需的向心力由侧向摩擦力提供,故B错误,C正确;虽然自行车为了便于转弯而向内侧倾斜,由于路面是水平的,路面对自行车的支持力仍垂直于水平面,即竖直向上,D错误。
5.链球运动员在将链球抛掷出去之前,总要双手抓住链条,加速转动几圈,如图所示,这样可以使链球的速度尽量增大,抛出去后飞行更远,在运动员加速转动的过程中,能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ随链球转速的增大而增大,则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是
( )
【解析】选D。设链条长为L,链球质量为m,则链球做圆周运动的半径r=Lsinθ,向心力F=mgtanθ,而F=mω2r。由以上三式得ω2=·,即ω2∝,故D项正确。
【加固训练】
(多选)如图所示,A、B两球穿过光滑水平杆,两球间用一长度为L的细绳连接,当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时,两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB=2∶1,那么关于A、B两球的下列说法中正确的是
( )
A.A、B两球受到的向心力之比为2∶1
B.A、B两球角速度之比为1∶1
C.A、B两球运动半径之比为1∶2
D.A球距O点的距离为0.5L
【解析】选B、C。由绳子的拉力提供向心力,绳子的拉力相等,所以向心力相等,向心力大小之比为1∶1,故A项错误;同轴转动角速度相同,故B项正确;由绳子的拉力提供向心力,则有:mAω2rA=mBω2rB,解得:rA∶rB=mB∶mA=1∶2,故C项正确;又因rA+rB=L,解得rA=L,故D项错误。
6.如图所示,半球形金属壳竖直固定放置,开口向上,半径为R,质量为m的物块,沿着金属壳内壁滑下,滑到最低点时速度大小为v,若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ,则物块在最低点时,下列说法正确的是
( )
A.受到向心力为mg+m
B.受到的支持力为mg+m
C.受到的摩擦力为μmg
D.受到的摩擦力方向为水平向右
【解析】选B。向心力的大小为
Fn=m,故A项错误;物块在最低点时,根据牛顿第二定律得:N-mg=m,则有:N=mg+m,所以滑动摩擦力为:f=μN=μ(mg+m),故B项正确,C项错误;物块相对于金属壳向右,则物块受到的滑动摩擦力方向水平向左,故D项错误。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(12分)如图所示,有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连,轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O。当小球A在水平板上绕O点做半径为r的圆周运动时,物块B刚好保持静止。求:
(1)轻绳的拉力大小;
(2)小球A运动的线速度大小。
【解析】(1)物块B受力平衡,故轻绳拉力
T=m2g
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力T,
根据牛顿第二定律得
m2g=m1
解得v=
答案:(1)m2g (2)
8.(12分)如图所示,细绳的一端固定于O点,另一端系一个小球,在O点的正下方钉一个钉子A,已知AO的距离为绳长的。小球从一定高度摆下。已知当细绳与钉子相碰前的一瞬间,绳子的张力为小球重力的2倍,那么细绳与钉子相碰后的一瞬间,绳子的张力变为多少?
【解析】设小球的质量为m,绳长为L,细绳与钉子相碰前的一瞬间小球的速度为v0,绳子的张力FT=2mg,
则FT-mg=m,解得v0=。
细绳与钉子相碰后的一瞬间,小球速度v0不变,
轨迹的半径R=L,
则F′T-mg=m,解得F′T=2.5mg。
答案:2.5mg
【加固训练】
长为L的细线,一端固定于O点,另一端拴一质量为m的小球,让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动),如图所示,摆线与竖直方向的夹角为α,不计空气阻力。求:
(1)线的拉力大小;
(2)小球运动的线速度的大小;
(3)小球运动的周期。
【解析】(1)对小球受力分析如图所示:
小球受重力mg和线的拉力FT作用,
细线拉力FT=;
(2)由mgtanα=m;
半径R=Lsinα,解得v=sinα;
(3)由mgtanα=m,解得T=2π。
答案:(1) (2)sinα (3)2π
(15分钟·40分)
9.(6分)如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动,物体相对筒壁静止,则
( )
A.物体受到4个力的作用
B.物体所受向心力是物体所受的重力提供的
C.物体所受向心力是物体所受的弹力提供的
D.物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的
【解析】选C。对物体受力分析如图:
物体受重力、静摩擦力和筒壁的弹力三个力作用,竖直方向上重力与静摩擦力平衡,水平方向上弹力指向圆心,提供向心力,故C正确,A、B、D错误。
10.(6分)(多选)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块Q上,Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出),两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较,下面的判断中正确的是
( )
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变大
D.Q受到桌面的支持力变大
【解析】选B、C。设细线与竖直方向夹角θ,对小球受力分析知,小球的合力为F合=mgtanθ,因为mgtanθ=mω2lsinθ,所以ω=,当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大,则ω变大,故C项正确;又因为T=,所以周期变小,故A项错误;在更高的水平面上运动时,小球的运动半径变大,由v=ωr知v变大,故B项正确;绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力,故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力之和,故D项错误。
11.(6分)(多选)如图所示,A、B两个小球质量相等,用一根轻绳相连,另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点,让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动,若OB绳上的拉力为F1,AB绳上的拉力为F2,OB=AB,则
( )
A.A球所受向心力为F1,B球所受向心力为F2
B.A球所受向心力为F2,B球所受向心力为F1
C.A球所受向心力为F2,B球所受向心力为F1-F2
D.F1∶F2=3∶2
【解析】选C、D。小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动,设角速度为ω,在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡,水平方向不受摩擦力,绳子的拉力提供向心力。由牛顿第二定律,对A球有F2=mr2ω2,对B球有F1-F2=mr1ω2,已知r2=2r1,各式联立解得F1=F2,故C、D正确,A、B错误。
12.(22分)如图,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5
m,离水平地面的高度H=0.8
m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4
m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10
m/s2。求:
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0;
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【解析】(1)物块做平抛运动,竖直方向有H=gt2
①
水平方向有s=v0t
②
联立①②两式得v0=s=1
m/s
③
(2)物块离开转台时,最大静摩擦力提供向心力,
有μmg=m
④
联立③④得μ==0.2。
答案:(1)1
m/s (2)0.2
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2.向 心 力
第1课时 向 心 力
必备知识·自主学习
一、向心力
【情境思考】
用手通过细绳拉着一个物块在水平面上做匀速圆周运动,通过改变物块的质量、转动的速度、细绳长度等条件,感受细绳对手的力怎样变化。
提示:物块质量越大、转动速度越快、细绳越短,则绳子上的拉力越大。
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向_____,这个指向圆心的力
叫作向心力。
2.方向:始终沿着_____指向_____。
3.表达式:
(1)Fn=______。
(2)Fn=_____。
4.效果力:向心力是根据力的_________来命名的。
5.下列选项中,有可能充当向心力的是___________。(仅填选项前的序号)
①重力 ②弹力 ③摩擦力
④合外力 ⑤某个力的分力
圆心
半径
圆心
mω2r
作用效果
①②③④⑤
二、变速圆周运动和一般曲线运动
【情境思考】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏,当秋千由最高点向下荡时,小朋友做的是匀速圆周运动吗?小朋友所受的合力都充当向心力吗?
提示:不是匀速圆周运动;不是都充当向心力,有一部分是切向力。
1.变速圆周运动合力的作用效果:
变速圆周运动的合力产生两个方向的效果:
(1)跟圆周相切的分力Ft:与物体运动的方向_____,改变线速度的_____。
(2)指向圆心的分力Fn:与物体运动的方向_____,改变线速度的_____。
平行
大小
垂直
方向
2.一般曲线运动:
处理方法:_______。
(1)一般的曲线运动中,可以把曲线分割成许多很短的小段,每小段都可看成一段圆弧。
(2)用圆周运动的处理方法研究质点在这一段圆弧上的运动。
微元法
【易错辨析】
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。
(
)
(2)向心力可以是物体受到的某一个力,也可以是物体受到的合力。
(
)
(3)做匀速圆周运动的物体所受合力大小保持不变。
(
)
(4)物体做圆周运动的速度越大,向心力一定越大。
(
)
(5)圆周运动中,合外力一定指向圆心。
(
)
×
√
√
×
×
关键能力·合作学习
知识点一 向心力的理解与来源
1.向心力的方向:向心力总是沿着半径指向圆心,方向时刻改变,故向心力是变力。
2.向心力的作用效果:由于向心力始终指向圆心,其方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。
3.向心力的来源:匀速圆周运动中,向心力等于物体的合外力。常等效为三种情况:合力充当向心力,某一个力充当向心力,某个力的分力充当向心力。
提醒:同一个向心力的来源可以有不同的说法,处理实际问题时也会有不同的处理方法。
【问题探究】
当天气晴朗的时候,我们经常可以看到许多鸟儿在空中盘旋,如果将鸟儿的运动等效为水平面内的圆周运动,那么是哪些力在提供向心力呢?
提示:重力和空气对鸟儿的作用力的合力,也等于空气的作用力在水平方向的分力。
【典例示范】
【典例】(多选)如图所示,用长为L的细线拴住一个质量为M的小球,使小球在水平面内做匀速圆周运动,细线与竖直方向的夹角为θ,关于小球的受力情况,下列说法中正确的是
( )
A.小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B.向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于Mgsinθ
【解析】选B、C。小球在水平面内做匀速圆周运动,对小球受力分析,如图小球受重力和细线的拉力两个力,故A项错误;由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动,这个合力就叫作向心力,故B项正确;根据正交分解法可知,向心力等于细线对小球拉力的水平分力,故C项正确。根据几何关系可知:F向=Gtanθ=Mgtanθ,故D项错误。
【素养训练】
1.下面关于向心力的叙述中,错误的是
( )
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心,所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体,除了受到别的物体对它的作用力外,还一定受到一个向心力的作用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力,也可以是这些力中某几个力的合力,或者是某一个力的分力
D.向心力只改变物体速度的方向,不改变物体速度的大小
【解析】选B。向心力是根据力的作用效果来命名的,它可以是物体受力的合力,也可以是某一个力的分力,因此,在进行受力分析时,不能再分析向心力,所以B项错误,C项正确。向心力时刻指向圆心,与速度垂直,所以向心力只改变速度方向,不改变速度大小,A、D正确。
2.(2020·温州高一检测)如图将红、绿两种颜色的石子放在水平圆盘上,围绕圆盘中心摆成半径不同的两个同心圆圈(r红( )
A.绿石子先被甩出
B.红、绿两种石子同时被甩出
C.石子被甩出的轨迹一定是沿着切线的直线
D.在没有石子被甩出前,红石子所受摩擦力
大于绿石子所受摩擦力
【解析】选A。对石子受力分析,在没有被甩出之前,受重力、支持力、圆盘的静摩擦力三个力的作用,静摩擦力提供向心力,根据牛顿第二定律有f=mω2r,当角速度增大时,两石子所受静摩擦力也在增大,当静摩擦力达到最大静摩擦力时,石子将发生相对运动,即被甩出,由题意可知绿石子的半径大于红石子的半径,所以绿石子所受摩擦力大于红石子所受摩擦力,而两种石子与圆盘的最大静摩擦力均为fm=μmg,则可知绿石子先被甩出,故A正确,B、D错误;石子被甩出后,其所受合外力不等于零,而是等于圆盘对它的滑动摩擦力,石子做离心运动,所以轨迹是沿着切线的曲线,故C错误。
【加固训练】
在水平面上,小猴拉着小滑块做匀速圆周运动,O点为圆心,能正确地表示小滑块受到的牵引力F及摩擦力Ff的方向的图是
( )
【解析】选A。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,则滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向,故B、D错误;小滑块做匀速圆周运动,其合外力提供向心力,故A正确,C错误。
知识点二 匀速圆周运动问题
角度1
匀速圆周运动问题求解
1.匀速圆周运动问题的求解方法:
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题,无非是两类基本问题:由物体的受力情况确定物体的运动情况,或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“牛顿运动定律解决问题”一致。
2.匀速圆周运动问题的求解步骤:
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面)。
(2)受力分析,确定向心力的大小(合成法、正交分解法等)。
(3)根据向心力公式列方程,必要时列出其他相关方程。
(4)统一单位,代入数据计算,求出结果或进行讨论。
【问题探究】
把一个小球放在漏斗中,晃动漏斗,可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。
探究:
(1)增大晃动漏斗的速率,小球的运动轨迹会发生什么变化?
提示:将会向上运动。
(2)思考一下为什么会出现这种现象?
提示:mgtanθ=m
,线速度增加,所以半径增大。
【典例示范】
【典例1】有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转动轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力,求:
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系;
(2)此时钢绳的拉力。
【解析】(1)转盘转动的角速度为ω时,钢绳与竖直方向的夹角为θ,则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为
R=r+Lsinθ
①
对座椅受力分析,如图所示。
根据几何关系可知:Fn=mgtanθ
由向心力的公式得:
mgtanθ=mω2R
②
由①②得:ω=
(2)设钢绳的拉力为FT,由三角函数知:
FT=
答案:(1)ω=
(2)
【题后反思】解决匀速圆周运动问题的“四找”
角度2
匀速圆周运动的临界问题
1.解题关键:
(1)在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”或“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态受的力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
2.常见类型:
(1)绳不被拉断:绳的拉力达到所能承受的最大值;
(2)物体开始滑动:摩擦力为最大静摩擦力;
(3)物体脱离接触面:支持力为零。
【典例示范】
【典例2】如图所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体,圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,细线与轴线之间的夹角为θ=30°,物体以速度v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。
(1)当v1=
时,求细线对物体的拉力。
(2)当v2=
时,求细线对物体的拉力。
【思维建模】
【解析】当物体恰好离开锥面时,此时物体与锥面接触但是没有弹力作用,如图所示:
则:竖直方向:Tcosθ-mg=0,
水平方向:Tsinθ=
,R=lsinθ,解得v=
(1)当v1则在水平方向:T1sinθ-N1cosθ=
竖直方向:T1cosθ+N1sinθ-mg=0,
R=lsinθ,解得:T1=
(2)v2>v时,物体离开锥面,设线与竖直方向上的夹角为α,如图所示:
则竖直方向:T2cosα-mg=0,
水平方向:T2sinα=
而且:R2=lsinα,解得:T2=2mg。
答案:(1)
(2)2mg
【素养训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)如图,一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10
m,该同学和秋千踏板的总质量约为50
kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8
m/s,此时每根绳子平均承受的拉力约为
( )
A.200
N
B.400
N
C.600
N
D.800
N
【解析】选B。该同学荡到秋千支架的正下方时,设每根绳子平均承受的拉力
为F,根据牛顿第二定律有:2F-mg=m
,解得F=
=405
N,故选项B正确,A、C、D错误。
2.(2020·大同高一检测)如图所示,倾角θ=30°的斜面体C固定在水平面上,置
于斜面上的物块B通过细绳跨过光滑定滑轮(滑轮可视为质点)与小球A相连,连
接物块B的细绳与斜面平行,滑轮左侧的细绳长度为L,物块B与斜面间的动摩擦
因数μ=
。开始时A、B均处于静止状态,B、C间恰好没有摩擦力,现让A在水
平面内做匀速圆周运动,物块B始终静止,则A的最大角速度为
( )
【解析】选A。开始时A、B均处于静止状态,B、C间恰好没有摩擦力,则有
mAg=mBgsinθ,解得:mB=2mA。当A以最大角速度做圆周运动时,要保证B静止,此时
绳子上的拉力T=mBgsinθ+μmBgcosθ=2mAg。设A以最大角速度做圆周运动时绳
子与竖直方向的夹角为α,则cosα=
,对A受力分析可知,物体A做圆周运
动的半径R=Lsinα=
L,向心力为Fn=Tsinα=
mAg,由向心力公式Fn=mAω2R,
代入数据解得ω=
,故A项正确。
【加固训练】
1.(多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是
( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω=
是b开始滑动的临界角速度
D.当ω=
时,a所受摩擦力的大小为kmg
【解析】选A、C。最大静摩擦力相等,而b需要的向心力较大,所以b先滑动,
故A项正确;在未滑动之前,a、b各自受到的摩擦力等于其向心力,因此b受到
的摩擦力大于a受到的摩擦力,B项错误;b处于临界状态时,kmg=mω2·2l,
ω=
,故C项正确;当ω=
时,对a:
Ff=mlω2=ml
=
kmg,故D项错误。
2.如图所示,沿半径为R的半球型碗的光滑内表面,质量为m的小球正在虚线所示
的水平面内做匀速圆周运动,小球离碗底的高度h=
,试求(结果可用根号表
示):
(1)此时小球对碗壁的压力大小。
(2)小球做匀速圆周运动的线速度大小。
(3)小球做匀速圆周运动的周期大小。
【解析】(1)由几何关系可知,支持力与水平方向的夹角为:θ=30°
对小球受力分析可知:FNsin
30°=mg,解得:FN=2
mg。
(2)根据牛顿第二定律可知:
FNcos
30°=
,解得:v=
(3)根据T=
可得:T=π
。
答案:(1)2mg
(2)
(3)π
知识点三 变速圆周运动与一般曲线运动
1.变速圆周运动的受力特点:变速圆周运动的合外力不指向圆心,合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果,即向心力Fn和切向力Ft。
2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较:
匀速圆周运动
变速圆周运动
线速度
特点
线速度的方向不断改变、大小不变
线速度的大小、方向都不断改变
受力
特点
合力方向一定指向圆心,充当向心力
合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力,指向圆心的分力充当向心力
周期性
有
不一定有
性质
均是非匀变速曲线运动
提醒:变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn=m
=mω2r公式求解。
3.用圆周运动规律处理一般曲线运动的思路:
(1)化整为零:根据微分思想,将曲线运动划分为很多很短的小段。
(2)建理想模型:将曲线运动的某小段视为圆周运动,圆半径等于该小段曲线的曲率半径。
(3)问题求解:应用圆周运动规律求解一般曲线运动所给问题。
【问题探究】
一列高铁列车匀速驶入如图所示的曲线弯道时,怎样研究它的运动规律?
提示:高铁列车匀速驶入曲线弯道某一路段时,可以看作圆周运动的一部分。
【典例示范】
【典例】如图,一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放一块橡皮,橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大,但橡皮块仍相对圆盘静止,在这段时间内,关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中,正确的是
( )
【解析】选C。因为圆盘转速不断增大,所以橡皮块将随圆盘一起进行加速圆周运动,此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力,又要提供与运动方向相同的切向力,所以合力方向应该在轨道内侧且与速度成锐角,故C项正确。
【素养训练】
1.(多选)如图所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需的向心力是
( )
A.绳的拉力
B.重力和绳拉力的合力
C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
【解析】选C、D。对小球受力分析如图所示,
小球受重力和绳子拉力作用,向心力是指向圆心方向的合外力,它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力,也可以是各力沿绳子方向的分力的合力,故C、D项正确。
2.一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,
即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上A点的
曲率圆定义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这
个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平
面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半
径是
( )
【解析】选C。物体做斜上抛运动,在最高点的速度即为斜上抛的水平速度
vP=v0cos
α,在最高点重力提供向心力mg=m
,由两式得ρ=
故C项正确。
【加固训练】
1.如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中c方向沿半径指向圆心,a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时,下列说法正确的是
( )
A.当转盘匀速转动时,P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时,P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时,P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时,P所受摩擦力方向可能为b
【解析】选A。转盘匀速转动时,物块P所受的重力和支持力平衡,摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力,故摩擦力方向指向圆心O点,故A项正确,B项错误;当转盘加速转动时,物块P做加速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心的向心力,还有指向a方向的切向力,使线速度大小增大,两方向的合力即摩擦力可能沿b方向,故C项错误;当转盘减速转动时,物块P做减速圆周运动,不仅有沿c方向指向圆心的向心力,还有与a方向相反的切向力,使线速度大小减小,两方向的合力即摩擦力可能沿d方向,故D项错误。
2.荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动,如图所示,某同学正在荡秋千,A和B分别为运动过程中的最低点和最高点,若忽略空气阻力,则下列说法正确的是
( )
A.在A位置时,该同学处于失重状态
B.在B位置时,该同学受到的合力为零
C.在A位置时,该同学对秋千踏板的压力大于秋
千踏板对该同学的支持力,处于超重状态
D.由A到B过程中,该同学的向心力逐渐减小
【解析】选D。在A位置时,该同学的加速度向上,处于超重状态,故A项错误;在B
位置时,该同学的速度为零,向心力为零,即沿绳子方向的合力为零,其合力等于
重力沿圆弧切向分力,不为零,故B项错误;根据牛顿第三定律知,在A位置时,该
同学对秋千踏板的压力等于秋千踏板对该同学的支持力,故C项错误;由A到B过
程中,该同学的速度逐渐减小,由F=m
分析知,向心力逐渐减小,故D项正确。
【拓展例题】考查内容:体育竞技中的圆周运动
【典例】如图所示,在双人花样滑冰运动中,有时会看到被男运动员拉着的女运
动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面,目测体重为G的女运动员做圆锥
摆运动时和水平冰面的夹角约为30°,重力加速度为g,估算该女运动员
( )
A.受到的拉力为2G
B.受到的拉力为
G
C.向心加速度为
g
D.向心加速度为2g
【解析】选A。女运动员做圆锥摆运动,由对女运动员受力分析可知,受到
重力、男运动员对女运动员的拉力,竖直方向合力为零,由Fsin30°=G,
解得:F=2G,F合=Fcos
30°=
G,故A项正确,B项错误;水平方向的合力提供匀
速圆周运动的向心力,有Fcos30°=ma向,即2mgcos30°=ma向,所以a向=
g,
故C、D项错误。
定义
：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的力。
方向：始终沿着半径指向圆心
表达式：
一般曲线运动
合外力
切向：改变大小
法向：改变方向
向心力
【生活情境】
在重要的转弯路口我们都会看到一些限速标志,如果车辆转弯时超过限定速度将会有侧滑的危险。但是驾驶经验丰富的老司机却会发现这样一个问题:转弯前速度过快时,最安全的方法是提前减速,尽量避免在弯道内刹车。
探究:(1)弯道内刹车可以等效为哪类运动?
(2)为什么要尽量避免在弯道内刹车呢?
情境·模型·素养
【解析】(1)减速圆周运动。
(2)在弯道内减速时,摩擦力的一个分力需要充当切向力,剩余的部分充当向心力。这也就导致过弯道时向心力减小,安全通过的最高速度降低。
答案:见解析
【体育情境】
体育运动中的“双星”问题。双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员的手一起做匀速圆周运动,场面很精彩。实际上他们绕着连线的某点一起做圆周运动。
探究:(1)他们运动过程中的角速度有什么关系?
(2)他们的运动半径跟什么有关系?
【解析】(1)他们一起绕连线的某点运动,角速度相等。
(2)两名运动员的角速度相等,根据m男r1ω2=m女r2ω2可知,运动半径跟质量成反比。
答案:见解析
