(共34张PPT)
3.向心加速度
必备知识·自主学习
向心加速度
【情境思考】
一辆汽车以恒定速率驶入环岛,当它在环岛内运动四分之一圆弧时,速度变化量与初速度方向的夹角为多少?若汽车驶过的圆心角逐渐减小,速度变化量与初速度方向的夹角将怎样变化?
提示:135度 逐渐减小
1.定义:物体做匀速圆周运动时的加速度总指向_____,这个加速度叫作
___________。
2.方向:始终沿半径指向_____,并与线速度方向_____。
3.大小:
(1)基本公式an=
=____。
(2)拓展公式an=
·r=____。
4.作用效果:只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。
5.物理意义:描述线速度方向改变快慢的物理量。
圆心
向心加速度
圆心
垂直
ω2r
ωv
【易错辨析】
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。
(
)
(2)做匀速圆周运动的物体,其向心加速度恒定。
(
)
(3)物体做匀速圆周运动时,其相等时间内的位移相等。
(
)
(4)物体做匀速圆周运动时,相等时间内的速度变化量不同。
(
)
(5)根据an=
可知加速度与半径成反比。
(
)
(6)根据an=ω2r可知当角速度一定时,加速度与半径成正比。
(
)
×
×
×
√
×
√
关键能力·合作学习
知识点一 向心加速度的概念及方向
1.物理意义:向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢,只能表示速度方向变化的快慢,不表示速度大小变化的快慢。
2.方向特点:
(1)指向圆心:无论匀速圆周运动,还是变速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心,或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变:无论向心加速度的大小是否变化,向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3.匀速圆周运动中的“变”与“不变”:
(1)“不变”量:匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变;线速度、加速度这两个矢量的大小不变。
(2)“变化”量:匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变。
【问题探究】
桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做圆周运动。当桌面不光滑时,小球的速率将会越来越小。试分析小球的加速度是否还指向圆心。
提示:做变速圆周运动的物体,由于线速度大小会发生变化,所以除向心加速度外还应存在切线方向上的切向加速度,所以加速度的方向并不指向圆心。
【典例示范】
【典例】下列关于向心加速度的说法中正确的是
( )
A.向心加速度越大,物体速率变化得越快
B.向心加速度的大小与轨道半径成反比
C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
【解析】选C。向心加速度只改变速度方向,故A项错误;向心加速度可用an=
或an=ω2r表示,不知线速度和角速度的变化情况,无法确定向心加速度的大
小与轨道半径的关系,故B项错误;向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,在
圆周运动中始终指向圆心,方向在不断变化,不是恒量,故匀速圆周运动不是匀
变速运动,而是变加速运动,故C项正确,D项错误。
【素养训练】
1.“月球勘探者号”空间探测器绕月球的飞行可以看成匀速圆周运动,关于探测器的运动,下列说法正确的是
( )
A.是匀速运动
B.是匀变速运动
C.是变加速曲线运动
D.是向心加速度大小和方向都变化的运动
【解析】选C。做匀速圆周运动的物体的速度大小不变,但速度的方向时刻在变化,故A错误;做匀速圆周运动的物体具有向心加速度,尽管加速度的大小不变,但方向时刻变化,故C项正确,B、D错误。
2.(多选)如图所示,细绳的一端固定,另一端系一小球,让小球在水平面内做圆周运动,关于小球运动到P点时的加速度方向,下列图中可能的是
( )
【解析】选B、D。若小球做匀速圆周运动,则合外力提供向心力,加速度指向圆心,故B项正确;若小球做变速圆周运动,运动到图示的P点时,所受的合力可分解为向心力和切向方向的力,即P点的加速度应可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度,故D项正确。
知识点二 向心加速度的大小
1.表达式:an=
=ω2r=
=ωv。
2.公式推导:
法一:牛顿第二定律
已知向心力表达式:Fn=m
,Fn=mω2r。
(1)根据牛顿第二定律Fn=man得到向心加速度的基本表达式:an=
,an=ω2r;
(2)由于v=ωr,所以向心加速度也可以写成an=ωv;
(3)由于ω=
=2πf,所以向心加速度也可以写成an=
r=4π2f2r。
法二:加速度的定义
(1)物理量:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点,速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示。
(2)推导过程:图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是相似三角形,用v表示
vA和vB的大小,用Δl表示弦AB的长度,则有:
,故Δv=
v。
所以加速度an=
。
而当Δt趋近于零时,
表示线速度的大小v,于是得到an=
。再由v=rω
得an=ω2r。
3.向心加速度与半径的关系:
【问题探究】
根据an=
可知,向心加速度与半径成反比,根据an=ω2r可知,向心加速度与半径成正比,这是矛盾的。你认为呢?
提示:不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下;说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下,所以二者并不矛盾。
【典例示范】
【典例】如图所示,O1为皮带传动的主动轮的轴心,主动轮半径为r1,O2为从动轮
的轴心,从动轮半径为r2,r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2=2r1,
r3=1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点,则点A、B、C的向心加速度之比
是(假设皮带不打滑)
( )
A.1∶2∶3 B.2∶4∶3
C.8∶4∶3 D.3∶6∶2
【解题探究】
(1)A、B、C三点分别是什么传动方式?它们之间满足什么关系?
提示:A、B为皮带传动,线速度大小相等;B、C为同轴传动,角速度相等。
(2)应分别使用哪一个向心力的表达式?
提示:当线速度相等时应使用an=
,当角速度相等时应使用an=ω2r。
【解析】选C。因为皮带不打滑,A点与B点的线速度大小相等,都等于皮带运动
的速率。根据向心加速度公式an=
,可得aA∶aB=r2∶r1=2∶1。由于B、C是固
定在一起的轮上的两点,所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式an=ω2r,
可得aB∶aC=r2∶r3=2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC=8∶4∶3,故C项正确。
【素养训练】
1.如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线,
表示质点P的图线是双曲线,表示质点Q的图线是过原点的一条直线,由图线
可知
( )
A.质点P的线速度大小不变
B.质点P的角速度大小不变
C.质点Q的角速度随半径增加而增加
D.质点Q的线速度大小不变
【解析】选A。由图像知,质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线,因
此可以判定质点P的向心加速度aP与半径r的积是一个常数k,即aPr=k,aP=
,
与向心加速度的计算公式aP=
对照可得v2=k,即质点P的线速度v=
,大小不
变,故A项正确,B项错误;质点Q的向心加速度aQ=k′r与a=ω2r对照可知
ω2=k′,ω=
,质点Q的角速度保持不变,故C、D项错误。
2.如图所示为一磁带式放音机的转动系统,在倒带时,主动轮以恒定的角速度逆时针转动,P和Q分别为主动轮和从动轮边缘上的点,则
( )
A.主动轮上的P点线速度方向不变
B.主动轮上的P点线速度逐渐增大
C.主动轮上的P点的向心加速度逐渐增大
D.从动轮上的Q点的向心加速度逐渐增大
【解析】选D。圆周运动的线速度方向时刻变化,故A项错误;P点线速度vP=ωrP,因为ω不变,rP不变,故vP大小不变,故B项错误;由aP=ω2rP知P点的向心加速度大小不变,故C项错误;由于主动轮边缘的线速度逐渐增大,则从动轮边缘的线速度也逐渐增大,而边缘的半径减小,故从动轮角速度增大,由aQ=ω′2rQ知,aQ逐渐增大,故D项正确。
3.如图所示,A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,在相同的时间内,它们通过的路程之比是4∶3,绕圆心转过的角度之比是3∶2,则A、B两艘快艇
( )
A.线速度大小之比为4∶3
B.角速度大小之比为3∶4
C.圆周运动的半径之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为1∶1
【解析】选A。根据线速度大小的定义:v=
,可知线速度大小之比:
A正确;根据角速度的定义:ω=
,可知角速度大小之比:
,B错误;根据线速度与角速度的关系:v=ωr,可知半径之比:
,C错误;根据向心加速度的定义:a=ω2r,可知向心
加速度之比:
,D错误。
【拓展例题】考查内容:生活中的圆周运动
【典例】如图甲所示,修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的,其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上A、B两点具有相同的
( )
A.线速度的大小
B.周期
C.向心加速度的大小
D.角速度
【解析】选A。修正带的传动属于齿轮传动,A与B的线速度大小相等;二者的半
径不同,由v=ωr可知A与B的角速度不相等,故A项正确,D项错误;二者角速度不
相等,根据T=
可知,二者的周期不相等,故B项错误;由向心加速度公式
an=
,A的半径大于B的半径可知,A的向心加速度小于B的向心加速度,故C项错
误。
向心加速度
物理意义
描述线速度方向改变的快慢
方向特点
1.指向圆心。2.时刻改变
大小表达式
图像
Q:ω为定值
P:v为定值
【科技情境】
科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置,外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转,能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”。
情境·模型·素养
探究:
(1)则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g,装置的外半径为R)?
(2)不同质量的人受力相同吗?感受相同吗?
【解析】(1)为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的
“重力”,则物体的向心加速度应等于g,根据g=ω2R,可得ω=
。
(2)不同质量的人受力不相同,感受相同。
答案:见解析
【生活情境】
在必修一《自由落体运动》一节中,课本上为我们列举了地球上不同位置的重力加速度,其中北极和赤道上的数据摘录如表:
地点
纬度
g/(m·s-2)
赤道海平面
0°
9.780
北极
90°
9.832
探究:
(1)从表中的数据可以发现什么现象?
(2)结合本节学习的知识,尝试解释一下这一现象。
【解析】(1)北极的重力加速度大于赤道的重力加速度。
(2)物体的重力本质上来源于地球引力,在两极物体向心加速度为0,地球引力等于重力;由于地球自转,在赤道上的物体所受的地球引力一部分充当向心力,所以产生的重力加速度比两极的要小。
答案:见解析温馨提示：
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课时素养评价
六 向心加速度
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.关于向心加速度,下列说法正确的是
( )
A.向心加速度是描述线速度变化的物理量
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.向心加速度大小恒定,方向时刻改变
D.物体做非匀速圆周运动时,向心加速度的公式an=不再成立
【解析】选B。加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,故A项错误,B项正确;只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定,故C项错误;向心加速度的公式对匀速圆周运动和变速圆周运动同样成立,故D项错误。
2.一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为4
m/s,转动周期为2
s,则下列说法错误的是
( )
A.角速度为0.5
rad/s
B.转速为0.5
r/s
C.轨迹半径为
m
D.向心加速度大小为4π
m/s2
【解析】选A。角速度为ω==π
rad/s,故A项错误;转速为n==0.5
r/s,故B项正确;半径r==
m,故C项正确;向心加速度大小为an==4π
m/s2,故D项正确。
【加固训练】
(多选)一小球被细绳拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,向心加速度为an,那么( )
A.小球运动的角速度ω=
B.小球在时间t内通过的路程s=t
C.小球做匀速圆周运动的周期T=
D.小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
【解析】选A、B、D。由an=ω2R,可得ω=,故A项正确;由an=可得v=,所以t时间内通过的路程s=vt=t,故B项正确;由an=Rω2=R,可知T=2π,故C项错误;位移用由初位置指向末位置的有向线段来描述,对于做圆周运动的小球而言,位移大小即为圆周上两点间的距离,最大值为2R,故D项正确。
3.2019年春节期间电影《流浪地球》的热播使人们关注到影视中“领航员号”空间站通过让圆形空间站旋转的方法获得人工重力的情形,即刘培强中校到达空间站时电脑“慕斯”所讲的台词“离心重力启动”,空间模型如图,已知空间站半径为1
000米,为了使宇航员感觉跟在地球表面上的时候一样“重”,g取10
m/s2,空间站转动的角速度为
( )
A.10
rad/s
B.1
rad/s
C.0.1
rad/s
D.0.01
rad/s
【解析】选C。空间站中宇航员做匀速圆周运动,使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致,则根据
g=ω2r,则ω==0.1
rad/s,故C项正确。
4.如图所示为两级皮带传动装置,传动时皮带均不打滑,中间两个轮子是固定在一起的,轮1的半径和轮2的半径相同,轮3的半径和轮4的半径相同,且为轮1和轮2半径的一半,则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比
( )
A.线速度之比为1∶4
B.角速度之比为4∶1
C.向心加速度之比为8∶1
D.向心加速度之比为1∶8
【解析】选D。由题意知2va=2v3=v2=vc,其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度,所以va∶vc=1∶2,故A项错误;设轮4的半径为r,则aa====ac,即aa∶ac=1∶8,故C项错误,D项正确;==,故B项错误。
5.(2018·浙江11月选考)一质量为2.0×103
kg的汽车在水平公路上行驶,路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104
N,当汽车经过半径为80
m的弯道时,下列判断正确的是
( )
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为20
m/s时所需的向心力为1.4×104
N
C.汽车转弯的速度为20
m/s时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0
m/s2
【解析】选D。汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力,向心力只是由摩擦力提供的,A错误;若汽车转弯时速度为20
m/s,根据Fn=m,得所需的向心力为1×104
N,没有超过最大静摩擦力,所以车也不会侧翻,所以B、C错误;汽车转弯时最大向心加速度为a==7.0
m/s2,D正确。
6.如图所示是一个玩具陀螺,a、b、c是陀螺表面上的三点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,下列表述正确的是
( )
A.a、b、c三点的线速度大小相等
B.a、b两点的加速度比c点的大
C.a、b两点的角速度比c点的大
D.a、b两点的线速度始终相同
【解析】选B。a、b、c三点的角速度相等,但b、c的半径不等,根据v=rω知线速度的大小不等,故A错误;a、b、c三点的角速度相等,故C错误;根据a=rω2知,a、b两点的向心加速度比c点大,故B正确;a、b两点的角速度相等,半径相等,根据v=rω线速度大小相等,但方向不同,则线速度不同,故D错误。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(12分)一个圆柱形物块放在一个转盘上,并随着转盘一起绕O点匀速转动,通过频闪照相技术对其研究,从转盘的正上方拍照,得到的频闪照片如图所示。已知频闪仪的闪光频率为30
Hz,转动半径为2
m,求:
(1)转盘转动的角速度。
(2)圆柱形物块的向心加速度。
【解析】(1)闪光频率为30
Hz,就是说每隔
s闪光一次,由频闪照片可知,转一周要用6个时间间隔T=
s,所以转盘转动的角速度为ω==10π
rad/s。
(2)圆柱形物块的向心加速度为
a=ω2r=200π2
m/s2。
答案:(1)10π
rad/s (2)200π2
m/s2
8.(12分)如图所示,定滑轮的半径r=2
cm。绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放,测得重物以加速度a=2
m/s2向下做匀加速运动。在重物由静止下落1
m的瞬间,滑轮边缘上P点向心加速度多大?
【解析】由v2=2ah得重物下落1
m的速度v=
m/s=2
m/s,P点线速度vP=v=2
m/s,a==
m/s2=200
m/s2。
答案:200
m/s2
(15分钟·40分)
9.(6分)(多选)如图所示,一小物块在外力作用下,以大小为a=4
m/s2的向心加速度做匀速圆周运动,半径R=1
m,则下列说法正确的是
( )
A.小物块运动的角速度为2
rad/s
B.小物块做圆周运动的周期为π
s
C.小物块在t=
s内通过的位移大小为
m
D.小物块在π
s内通过的路程为零
【解析】选A、B。因为a=ω2R,所以小物块运动的角速度为ω==2
rad/s,故A项正确;周期T==π
s,故B项正确;小物块在
s内转过弧度,通过的位移为
m,在π
s内转过一周,通过的路程为2π
m,故C、D错误。
10.(6分)(多选)如图所示,两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点,并在同一水平面内做匀速圆周运动,则它们的
( )
A.周期相等
B.线速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
【解析】选A、C。对小球受力分析如图所示,
受自身重力mg、绳子拉力FT,合力提供向心力即水平指向圆心,设细线和竖直方向夹角为θ,小球到悬点的距离为h,则有mgtanθ=man=mω2htanθ,可得向心加速度an=gtanθ,所以向心加速度大小不相等,选项D错误;角速度ω=,所以角速度大小相等,选项C正确;由于水平面内圆周运动的半径不同,线速度v=
ωhtanθ,所以线速度大小不同,选项B错误,周期T=,角速度相等,所以周期相等,选项A正确。
11.(6分)《茅山奇谈录》一书中记载着“血滴子”是清朝一位精通天文、地理、武术、医术的茅山道人泉青发明的,能用它降魔伏妖,二十步内取首级如探囊取物,非常恐怖。血滴子主要构造已无从考证,据传其主要部件如图所示,刀片绕中心O点转动,A、B为刀片上不同位置的两点。v代表线速度,ω代表角速度,T代表周期,a代表向心加速度,则下列说法正确的是
( )
A.vA=vB,TA=TB
B.ωA=ωB,vA>vB
C.vA
D.aA=aB,ωA=ωB
【解析】选C。由于是共轴转动,因此A、B两点的角速度相等,即ωB=ωA,则转动周期相等,即TB=TA;由于B的半径大于A的半径,因此根据v=rω知,B的线速度大于A的线速度,即vB>vA;由向心加速度与半径的公式:a=ω2r,且B的半径大于A的半径,可知B的向心加速度大于A的向心加速度,即aA12.(22分)如图所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小。
【解析】设乙下落到A点所用时间为t,
则对乙,满足R=gt2,得t=,
这段时间内甲运动了T,即
T=
①
又由于a=ω2R=R
②
由①②得,a=π2g。
答案:π2g
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