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课时素养评价
九 万有引力定律
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.人造地球卫星以地心为圆心,做匀速圆周运动,下列说法正确的是
( )
A.半径越大,速度越小,周期越小
B.半径越大,速度越小,周期越大
C.所有卫星的速度均是相同的,与半径无关
D.所有卫星的角速度均是相同的,与半径无关
【解析】选B。根据G=m=mrω2=mr,得v=,ω=,T=,知轨道半径越大,线速度越小,周期越大。故A错误,B正确。不同的轨道半径,线速度、角速度不同。故C、D错误。
2.(2020·德州高一检测)如图所示,两球间的距离为r,两球的质量分布均匀,质量大小分别为m1、m2,半径大小分别为r1、r2,引力常量为G则两球间的万有引力大小为
( )
A.G
B.G
C.G
D.G
【解析】选D。两个球的半径分别为r1和r2,两球之间的距离为r,所以两球心间的距离为r1+r2+r,根据万有引力定律得两球间的万有引力大小为:F=G,故选项D正确,A、B、C错误。
3.在某次测定引力常量的实验中,两金属球的质量分别为m1和m2,球心间的距离为r,若测得两金属球间的万有引力大小为F,则此次实验得到的引力常量为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B。由万有引力定律F=G得G=,所以B项正确。
4.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F,为使此物体受到的引力减小到原来的四分之一,应把此物体置于的地方距地面的高度为(R为地球半径)
( )
A.
R
B.
2R
C.
4R
D.
8R
【解析】选A。根据万有引力定律表达式得:F=,其中r为物体到地球中心的距离。某物体在地球表面,受到地球的万有引力为F,此时r=R,若此物体受到的引力减小为,根据F=,得出此时物体到地球中心的距离为:r′=2R,所以物体距离地面的高度应为R,选项A正确。
5.(2020·淄博高一检测)2019年我国加大了“北斗”卫星的发射密度,于6月25日又成功发射了第46颗“北斗”导航卫星,“北斗”导航系统的精度远高于美国的GPS导航系统。若卫星绕地球做匀速圆周运动,已知地球的质量为M,卫星的质量为m,地球的半径为R,卫星离地心的距离为r,引力常量为G,则地球对卫星的万有引力大小为
( )
A.G
B.G
C.G
D.G
【解析】选D。根据万有引力定律可知,地球对卫星的万有引力大小F=G,故选项D正确。
6.月球在如图所示的近地点、远地点受地球的万有引力分别为F1、F2,则F1、F2的大小关系是
( )
A.F1B.F1>F2
C.F1=F2
D.无法确定
【解析】选B。根据万有引力定律可知,当两物体的质量确定时,引力与物体之间的距离的平方成反比,则有F1>F2,故选项B正确。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(12分)地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响,在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍?已知地球半径为R。
【解析】不计地球自转的影响,物体受到的重力等于物体受到的万有引力。
设地球质量为M,物体质量为m,则
在地面:mg=G
在h高处:mg′=G
解得:=
答案:
8.(12分)(1)已知地球半径R地=6
400
km,月球绕地球做圆周运动的半径r月=60R地,运行周期T=27.3天=2.36×106
s,求月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月;
(2)地球表面物体自由下落的加速度g一般取9.8
m/s2,a月与g的比值是多大?
(3)根据万有引力公式及牛顿第二定律推算,月球做匀速圆周运动的向心加速度是地面附近自由落体加速度g的多少倍?
【解析】(1)a月=r月ω2=r月
即a月=×3.84×108
m/s2≈2.72×10-3
m/s2
(2)=≈
(3)根据万有引力定律F=G,则a月==G
g==G
=
所以月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的。
答案:(1)2.72×10-3
m/s2 (2) (3)
(15分钟·40分)
9.(6分)“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星,如图所示。在此过程中,冥王星对探测器的引力
( )
A.先变大后变小,方向沿两者的连线指向冥王星
B.先变大后变小,方向沿两者的连线指向探测器
C.先变小后变大,方向沿两者的连线指向冥王星
D.先变小后变大,方向沿两者的连线指向探测器
【解析】选A。根据万有引力定律F=G,万有引力与物体之间的距离的二次方成反比,故在探测器飞掠冥王星的过程中,随着它与冥王星间的距离r先减小后增大,那么冥王星对探测器的引力先变大后变小,而引力的方向沿两者的连线指向冥王星,选项A正确,B、C、D错误。
10.(6分)(多选)我们国家在1986年成功发射了一颗实用地球同步卫星,从1999年至今已几次将“神舟”号宇宙飞船送入太空,在某次实验中,飞船在空中飞行了36
h,环绕地球24圈。则同步卫星与飞船在轨道上正常运转相比较
( )
A.卫星运转周期比飞船大
B.卫星运转速度比飞船大
C.卫星运转加速度比飞船大
D.卫星离地高度比飞船大
【解析】选A、D。同步卫星的周期为24
h,由题意可知飞船的周期小于同步卫星的周期,A对;由周期公式T=2π可知同步卫星的半径较大,由线速度公式v=可知半径越大线速度越小,B错;万有引力提供向心力,向心加速度为a=可知C错;同理D对。
11.(6分)某实心匀质球半径为R,质量为m0,在球外离球面h高处有一质量为m的质点,则其受到的万有引力大小为
( )
A.G
B.G
C.G
D.G
【解析】选B。万有引力定律中r表示两个质点间的距离,因为匀质球可看成质量集中于球心上,所以r=R+h,则F=G,故B正确。
12.(22分)一个质量均匀分布的球体,半径为2r,在其内部挖去一个半径为r的球形空穴,其表面与球面相切,如图所示。已知挖去小球的质量为m,在球心和空穴中心连线上,距球心d=6r处有一质量为m2的质点,求:
(1)被挖去的小球对m2的万有引力为多大?
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大?
【解析】(1)被挖去的小球对m2的万有引力为
F1=G=
(2)将挖去的小球填入空穴中,由V=πr3可知,
大球的质量为8m,大球对m2的引力为
F2=G=
m2所受剩余部分的引力为F=F2-F1=
答案:(1)G (2)
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2.万有引力定律
必备知识·自主学习
一、行星与太阳间的引力
【情境思考】
牛顿在前人研究的基础上认为任何方式改变速度都需要力,行星运动需要的力是哪个天体对它产生的力?
提示:太阳
提醒:太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力和反作用力。
二、月—地检验
1.猜想:维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力,
同样遵从“_________”的规律。
2.检验方法:
(1)物体在月球轨道上运动时的加速度:a=____g。
(2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度:a=________。
(3)对比结果:月球在轨道高度处的加速度近似等于_________________。
3.结论:地面物体受地球的引力,月球所受地球的引力,太阳与行星的引力,
遵从相同的规律。
平方反比
月球的向心加速度
三、万有引力定律
【情境思考】
既然太阳与行星之间、地球与月球之间,以及地球与地面物体之间具有“与两个物体质量成正比,与它们之间的距离二次方成反比”的吸引力,是否任意两个物体之间都有这样的力呢?
提示:是
1.内容:自然界中任何两个物体都_________,引力的方向在_____________,
引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成_____,与它们之间的距离r的二次
方成_____。
2.公式:F=_______。
四、引力常量
1.测量者:_________。
2.数值:G=____________________。?
相互吸引
它们的连线上
正比
反比
卡文迪什
6.67×10-11
N·m2/kg2
【易错辨析】
(1)公式F=G
中G是比例系数,与太阳、行星都没关系。
(
)
(2)在推导太阳与行星的引力公式时,用到了牛顿第二定律和牛顿第三定
律。
(
)
(3)由于天体间距离很远,在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(
)
(4)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。
(
)
(5)月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力提供的。
(
)
(6)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质
的力。
(
)
√
√
√
×
√
×
关键能力·合作学习
知识点一 对太阳与行星间的引力的理解
1.两个理想化模型:在公式F=G
的推导过程中,我们用到了两个理想化
模型。
(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近,行星的
运动轨迹非常接近圆,所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)由于天体间的距离很远,研究天体间的引力时将天体看成质点,即天体的
质量集中在球心上。
2.推导过程:
3.太阳与行星间的引力的特点:太阳与行星间引力的大小,与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
【典例示范】
【典例】根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知:太阳对行星的引
力F∝
,行星对太阳的引力F′∝
,其中M、m、r分别为太阳质量、行星质
量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是
( )
A.F和F′大小相等,是一对作用力与反作用力
B.F和F′大小相等,是一对平衡力
C.F和F′大小相等,是同一个力
D.由F∝
和F′∝
知F∶F′=m∶M
【解析】选A。根据牛顿第三定律,太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力,故两个力的大小相等、方向相反,故A正确,B、D错误;太阳对行星的引力受力物体是行星,行星对太阳的引力受力物体是太阳,故两个力不是同一个力,C错误。
【素养训练】
下面关于行星对太阳的引力的说法,正确的是
( )
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B.行星对太阳的引力只与太阳的质量成正比,与行星的质量无关
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比,与行星距太阳的距离成反比
【解析】选A。太阳与行星间的引力是一对作用力和反作用力,一定是同种性质
的力,且大小相等,故A正确,C错误;根据F=G
知,F与m太、m均有关,且与r2
成反比,故B、D错误。
知识点二 对万有引力定律的理解
1.对万有引力定律表达式F=G
的说明:
(1)引力常量G:G=6.67×10-11
N·m2/kg2,其物理意义为:引力常量在数值上等于两个质量都是1
kg的质点相距1
m时的相互吸引力。
(2)距离r:公式中的r是两个质点间的距离,对于质量均匀分布的球体,就是两球心间的距离。
2.F=G
的适用条件:
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用,当两个物体间的距离比物体本身大得多时,可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用,可用此公式计算,式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算,式中的r是球体球心到质点的距离。
3.万有引力的特性:
普遍性
宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用
提醒:两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关。
【问题探究】
李华认为两个人距离非常近时,根据公式F=G
得出:r→0时,F→∞
。李华同学的想法正确吗?为什么?
提示:不正确,因为两个人距离非常近时,不能视为质点,此公式不成立。
【典例示范】
【典例】(多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达
式F=G
,下列说法正确的是
( )
A.公式中的G是引力常量,它是由实验得出的,而不是人为规定的
B.当两个物体间的距离r趋于零时,万有引力趋于无穷大
C.m1和m2所受引力大小总是相等的
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反,是一对平衡力
【解析】选A、C。引力常量G是由英国物理学家卡文迪什运用构思巧妙的“精
密”扭秤实验第一次测定出来的,所以选项A正确;两个物体之间的万有引力是
一对作用力与反作用力,它们总是大小相等、方向相反,分别作用在两个物体上,
所以选项C正确,D错误;公式F=G
适用于两质点间的相互作用,当两物体相
距很近时,两物体不能看成质点,所以选项B错误。
【素养训练】
1.(2020·东营高一检测)地球的质量为M,半径为R。质量为m的航天员离地面
高度为h时,受到地球的万有引力为
( )
【解析】选D。根据万有引力公式有F=G
,其中r=R+h,万有引力大小为
F=G
,故选项D正确,A、B、C错误。
2.(2020·全国Ⅰ卷)火星的质量约为地球质量的
,半径约为地球半径的
,
则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
( )
A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5
【解析】选B。物体在地球表面受到的引力F1=G
,在火星表面受到的
引力F2=
,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力
的比值
=0.4,故选项B正确,A、C、D错误。
【拓展例题】考查内容:万有引力与抛体运动综合问题
【典例】航天员站在某一星球,从距离星球表面h高度处,以初速度v0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t后小球落到星球表面,已知该星球的半径为R,引力常量为G,求:
(1)该星球表面重力加速度g的大小。
(2)该星球的质量。
【解析】(1)由平抛运动的知识知,在竖直方向小球做自由落体运动,
h=
gt2,所以g=
。
(2)在星球表面,物体的重力和所受的万有引力相等。
故有:mg=G
,所以M=
答案:(1)
(2)
公式
卡文迪什
G=6.67×10-11
N·m2/kg2
特征
普遍性
相互性
宏观性
与重力的关系
1.赤道上：
2.地球两极：
3.其他位置：
【实验情境】
卡文迪什扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T形架,倒挂在一根石英丝N的下端。T形架水平部分的两端各装一个质量是m的小球。T形架的竖直部分装一面小平面镜M,它能把射来的光线反射到刻度尺上,这样就能比较精确地测量石英丝N的扭转角度。
情境·模型·素养
探究:(1)引力常量的测定采用了什么方法?
(2)测定引力常量的物理意义是什么?
【解析】(1)实验中采用了放大法。
(2)a.证明了万有引力的存在。
b.开创了测量弱力的新时代。
c.使万有引力定律有了真正的实用价值,可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。
答案:见解析
【生产情境】
2019年春节黄金档推出由刘慈欣同名小说改编的《流浪地球》,影片主要讲述了科学家突然发现太阳加速老化,未来几百年发生氦闪,从而造成体积膨胀,进而吞噬地球,面对危机,人们团结一致,建造行星发动机,借助于赤道发动机使地球停止自转,再利用木星的“引力弹弓”加速,离开太阳系,进入离太阳最近的恒星“比邻星”。每个行星发动机地下5
000
m建造一个容纳30万人口的地底城,连接地底城电梯的加速度为5
m/s2,最大运行速度为100
m/s。(地球是一质量分布均匀的球体,密度均匀的球壳对球壳内物体引力为零)
生活在地底城的人们受到地球的引力比在地球表面大还是小,简述原因。
【解析】小,密度均匀的球壳对球壳内物体引力为零,生活在地底城的人到地心
的距离为r,地球的半径为R,设地球密度为ρ,可得M=ρ·
πR3,地球表面对人
的引力F=
GρπRm,在地底城的人们受到的引力为F1=
Gρπrm,
因为r答案:见解析
