(共35张PPT)
3.万有引力理论的成就
必备知识·自主学习
一、“称量”地球的质量
【情境思考】
阿基米德在研究杠杆原理后,曾经说过一句什么名言?
“给我一个支点,我可以撬动地球。”
给我们一个杠杆(或天平)是否就可以称量地球的质量?
提示:不能
1.合理假设:不考虑地球自转。
2.“称量”依据:地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力,
即mg=G
,由此解得:m地=_____。
二、计算天体的质量
【情境思考】
问题:太阳是一个火热的球体,能否计算太阳的质量?
提示:能
1.计算太阳的质量:行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力
提供,列出方程G
=m
,由此可解得m太=_______。
2.计算行星的质量:与计算太阳的质量一样,若已知卫星绕行星运动的周期T和
轨道半径r,就可计算出行星的质量m行=______。
【易错辨析】
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力。(
)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径,则可以
求出太阳的质量。(
)
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径,可以求出地球的质量。(
)
(4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(
)
×
×
×
√
关键能力·合作学习
知识点一 测量天体的质量
角度1
万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系:如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质
量为m,则物体受到地球的吸引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得F=
G
。引力F可分解为F1、F2两个分力,其中F1为物体随地球自转做圆周运动的
向心力Fn,F2就是物体的重力mg。
2.重力与纬度的关系:地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上:重力和向心力在一条直线上F=Fn+mg,
即G
=mrω2+mg,所以mg=G
-mrω2。
(2)地球两极处:向心力为零,所以mg=F=G
。
(3)其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg,重力的方向
偏离地心。
【典例示范】
【典例1】已知地球表面g=9.8
m/s2,地球半径R=6
400
km,引力常量G=6.67×
10-11
N·m2/kg2,求地球质量。
【解析】由mg=G
可得M=
代入数据,解得M≈6×1024
kg。
答案:6×1024
kg
角度2
中心天体质量的计算
1.计算天体质量的方法:
2.计算天体的密度:
若天体的半径为R,则天体的密度ρ=
将M=
代入上式得ρ=
。
特别地,当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则ρ=
。
【典例示范】
【典例2】为了研究太阳演化进程,需知道太阳的质量M。已知地球的半径R=6.4×106
m,地球的质量m=6×1024
kg,日地中心的距离r=1.5×1011
m,地球表面的重力加速度g=10
m/s2,1年约为3.2×107
s,试估算目前太阳的质量M。(引力常量未知)
【解析】由万有引力提供地球运动的向心力,
对地球表面的物体m′,有m′g=
联立两式得M=
≈2.0×1030
kg
答案:2.0×1030
kg
【素养训练】
1.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道,若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行,环绕n周飞行时间为t,已知引力常量为G,则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是
( )
【解析】选D。对探测器有G
=mω2(R+h),ω=
解得M=
土星的体积V=
πR3,土星的密度ρ=
D正确。
2.我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周
期T=5.19
ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.67×
10-11
N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
( )
A.5×109
kg/m3
B.5×1012
kg/m3
C.5×1015
kg/m3
D.5×1018
kg/m3
【解析】选C。设脉冲星质量为M,密度为ρ,根据天体运动规律知:
代入可得:ρ最小≈5×1015
kg/m3,故C正确。
知识点二 天体运动的定性分析和定量计算
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
2.四个重要结论:
【问题探究】
如图所示,行星在围绕太阳做匀速圆周运动。
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的?
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗?
提示:(1)由
得v=
,线速度的大小决定于恒星的质量和行星
的轨道半径。
(2)无关。
【典例示范】
【典例】(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金( )
A.a金>a地>a火
B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金
D.v火>v地>v金
【解析】选A。由万有引力提供向心力
=ma可知轨道半径越小,向心加速
度越大,故知A项正确,B错误;由
得v=
,可知轨道半径越小,
运行速率越大,故C、D都错误。
【素养训练】
1.(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36
000
km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五号”较小的是
( )
A.周期
B.角速度
C.线速度
D.向心加速度
【解析】选A。卫星围绕地球做匀速圆周运动,满足
=mω2r=
m
=ma,由此可推出,半径r越小,周期T越小,选项A正确,半径r越小,角速度
ω、线速度v、向心加速度a越大,选项B、C、D错误。
2.(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的
( )
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为
∶
C.角速度大小之比为2
∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
【解析】选C。由周长公式可得C地=2πr地,C火=2πr火,则火星公转轨道与地球公
转轨道周长之比为
A错误;由万有引力提供向心力,可得G
=ma=m
=mω2r,则有a=
,v=
,ω=
,即
B、D错误,C正确。
【拓展例题】考查内容:天体运动中的临界问题
【典例】一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引
力常量为G,若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零,则天体自转周期
为
( )
【解析】选D。物体随天体一起自转,当万有引力全部提供向心力时,
物体对天体的压力恰好为零,则
又ρ=
,所以T=
,选项D正确。
万有引力
的成就
计算天体质量
1.重力近似等于万有引力
2.万有引力提供向心力
计算天体密度
天体运动的分析
r越大，v越小
r越大，ω越小
r越大，T越大
r越大，a越小
【科技情境】
国际权威杂志《自然》刊发了中国科学院罗俊院士团队引力常量的最新测量结果,罗俊院士的引力实验室因其测出世界最精确的万有引力常量而被外国专家称为“世界引力中心”。
问题:关于引力常量,请判断:
(1)在国际单位制中,引力常量在数值上等于两个质量是1
kg的质点相距1
m时万有引力的大小。
( )
(2)在不同的单位制中,引力常量的数值是相同的。
( )
(3)计算不同物体间相互作用的万有引力时,引力常量的值是不同的。( )
情境·模型·素养
答案:(1)√。提示:根据F=
可知,在国际单位制中,引力常量在数值上等
于两个质量是1
kg的质点相距1
m时万有引力的大小,故(1)正确;
(2)×。提示:在不同的单位制中,引力常量的数值是不相同的,故(2)错误;
(3)×。提示:计算不同物体间相互作用的万有引力时,引力常量的值是相同的,
故(3)错误。
【生产情境】
2020年5月5日18时0分,长征五号B搭载新一代载人飞船试验船和柔性充气式货物返回试验舱,从文昌航天发射场点火升空,约488秒后,载荷组合体与火箭成功分离进入预定轨道,我国空间站阶段的首次飞行任务告捷。若“载荷组合体”绕地心做匀速圆周运动,距离地面的高度为h,地球半径为R
,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。
探究:(1)根据以上信息,试求地球质量M。
(2)“载荷组合体”的运行速度v。
【解析】(1)若不考虑地球自转的影响,在地球表面物体的重力等于地球
对物体的引力:
mg=
解得:M=
(2)根据万有引力提供向心力,得:
解得:v=
答案:(1)
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课时素养评价
十 万有引力理论的成就
(30分钟·70分)
一、选择题(本题共10小题,每题4分,共40分)
1.下列说法正确的是
( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星
【解析】选D。由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的;海王星不是通过观测发现,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道,从而发现了海王星。由此可知,A、B、C错误,D正确。
2.(2018·浙江11月选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T
的匀速圆周运动。已知星球的半径为R,引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是
( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【解析】选D。根据牛顿第二定律可知F=ma=m,所以m=,飞船做圆周运动的周期T=,得半径为R=,根据万有引力提供向心力可得G=m,得M==,故D正确。
3.据报道,目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后,先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行,再调整速度进入地火转移轨道,最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体,已知火星与地球的半径之比为1∶2,密度之比为5∶7,设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g,下列结论正确的是( )
A.g′∶g=4∶1
B.g′∶g=10∶7
C.v′∶v=
D.v′∶v=
【解析】选C。在星球表面的探测器受到的重力等于万有引力:G=mg,
g===πGρR,则:=·=×=,故A、B错误;探测器绕地球表面运行和绕火星表面运行都是由万有引力充当向心力,根据牛顿第二定律有:
G=m,得:v=,M为中心天体质量,R为中心天体半径,M=ρ·πR3,联立得:v=,所以探测器绕火星表面运行和绕地球表面运行线速度大小之比为:===,故C正确,D错误。
4.地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,万有引力常量为G,用上述物理量估算出来的地球平均密度为
( )
A. B. C. D.
【解析】选A。联立以下三式:G=mg、V=πR3、ρ=,解得:ρ=。
5.“嫦娥一号”发射后先在近地圆轨道绕行3周,再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行。若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的,月球半径为地球半径的,下列说法不正确的是
( )
A.绕月与绕地飞行周期之比为∶
B.绕月与绕地飞行周期之比为∶
C.绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6
D.月球与地球质量之比为1∶96
【解析】选B。根据近地(近月)飞行时,重力提供圆周运动的向心力可得:
mg=mR,可得周期:T=2π,根据已知条件:R月∶R地=1∶4,g月∶g地=1∶6,代入上式解得周期之比:T月∶T地=∶,故A正确,B错误;根据近地(近月)飞行时,重力提供圆周运动的向心力可得:a向=g,所以绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6,故C正确;若不考虑星球自转的影响,在星球表面重力和万有引力相等,可知:G=mg,所以M=,所以月球和地球的质量之比为:M月∶M地=g月∶
g地=1∶96,故D正确。
6.我国古代神话传说中:地上的“凡人”过一年,天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”,某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的,则该卫星上的航天员24
h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)
( )
A.1
B.8
C.16
D.24
【解析】选B。根据天体运动的公式=mr得=,解得卫星运行的周期为3
h,故24
h内看到8次日出,B项正确。
7.据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重量为600
N的人在这个行星表面的重量将变为960
N。由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为
( )
A.0.5
B.2
C.3.2
D.4
【解析】选B。在忽略地球自转的情况下,万有引力等于物体的重力,即G地=G,同样在行星表面有G行=G,解得==2,故该行星的半径与地球的半径之比约为2。
8.两颗互不影响的行星P1、P2,各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a,横轴表示某位置到行星中心距离r平方的倒数,a-关系如图所示,卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0。则
( )
A.S1的质量比S2的大
B.P1的质量比P2的大
C.P1的第一宇宙速度比P2的小
D.P1的平均密度比P2的大
【解析】选B。万有引力充当向心力,故有G=ma,解得a=GM,故图像的斜率k=GM,因为G是恒量,M表示行星的质量,所以斜率越大,行星的质量越大,故P1的质量比P2的大,由于计算过程中,卫星的质量可以约去,所以无法判断卫星质量关系,A错误,B正确;因为两个卫星是近地卫星,所以其运行轨道半径可认为等于行星半径,根据第一宇宙速度公式v=可得v=,从题图中可以看出,当两者加速度都为a0时,P2半径要比P1小,故P1的第一宇宙速度比P2的大,C错误;星球的密度ρ====,故星球的半径越大,密度越小,所以P1的平均密度比P2的小,D错误。
9.(2020·温州高一检测)登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响。根据表格,火星和地球相比
( )
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B.火星做圆周运动的加速度较小
C.火星表面的重力加速度较大
D.火星的第一宇宙速度较大
【解析】选B。由表格数据知,火星的轨道半径比地球的大,根据开普勒第三定律知,火星的公转周期较大,故A错误。根据G=ma,得加速度a=,则知火星做圆周运动的加速度较小,故B正确。在行星表面,由g=可知火星表面的重力加速度较小,故C错误。设行星的第一宇宙速度为v,则G=m,得v=。代入可得火星的第一宇宙速度较小,故D错误。
10.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径约为
( )
A.R
B.R
C.2R
D.R
【解析】选C。对于任意一个行星,设其表面重力加速度为g,根据平抛运动的规律得:h=gt2,得到:t=
,则水平射程x=v0t=v0,可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比==。根据G=mg,得g=,可得=·,解得行星的半径R行=R地·=R×·=2R,选项C正确,A、B、D错误。
二、计算题(本题共2小题,共30分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
11.(12分)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略该天体自转。若卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的密度是多少?
【解析】设卫星的质量为m,天体的质量为M。
卫星距天体表面的高度为h时,忽略自转有
G=m(R+h),
M=
ρ===
答案:
12.(18分)在不久的将来,人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚。已知地球表面的重力加速度为10
N/kg,月球的质量约为地球质量的,月球的半径约为地球半径的,试计算一个体重(连同装备)为200
kg
的旅行者:
(1)在航行到离地球表面等于半径高度处时所受的地球引力是多少。
(2)在登上月球后所受的月球引力又是多少。
【解析】设地球的质量为M,半径为R。
(1)旅行者(连同装备)在地面所受引力
F1=G=mg=200×10
N=2
000
N
旅行者(连同装备)在离地球表面等于半径高度处时所受的地球引力
F2=G=G==500
N
(2)旅行者在月球上所受的月球引力
F3=G=G=mg=395
N
答案:(1)500
N (2)395
N
(20分钟·30分)
13.(3分)据报道,科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍,半径约为地球半径的2倍。那么,一个在地球表面能举起64
kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g取10
m/s2)
( )
A.40
kg B.50
kg C.60
kg D.30
kg
【解析】选A。根据万有引力等于重力=mg,得:g=,因为行星质量约为地球质量的6.4倍,其半径是地球半径的2倍,则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍,而人的举力F认为是不变的,则在地球表面上:F=m0g,则人在行星表面:F=m·1.6g,联立可以得到:m==
kg=40
kg,A正确,B、C、D错误。
14.(3分)若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B。设飞船的质量为m,它做圆周运动的半径为行星半径R,则G=m()2R,所以行星的质量为M=,行星的平均密度ρ===,B项正确。
15.(3分)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51
Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51
Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
A.
B.1
C.5
D.10
【解析】选B。由G=mr得M∝。已知=,=,则=()3×()2≈1,B项正确。
16.(3分)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动,若测得土星到太阳的距离为R,土星绕太阳运动的周期为T,万有引力常量G已知,根据这些数据,不能求出的量有
( )
A.土星线速度的大小
B.土星加速度的大小
C.土星的质量
D.太阳的质量
【解析】选C。根据已知数据可求:土星的线速度大小v=、土星的加速度a=R、太阳的质量M=,无法求土星的质量,所以选C。
17.(9分)(2020·朝阳区高一检测)2018年6月14日11时06分,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球的地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星。“鹊桥”可为卫星、飞船等飞行器提供数据中继和测控服务,并实现科学数据实时下传至地面。若已知月球的质量为M,万有引力常量为G,月球的半径为R,“鹊桥”卫星绕月球转n圈所用的时间为t,求:
(1)“鹊桥”卫星的周期大小。
(2)“鹊桥”卫星离月球表面的高度大小。
(3)“鹊桥”卫星的线速度大小。
【解析】(1)由题意知,“鹊桥”卫星绕月球转n圈所用的时间为t,
则其周期为:T=;
(2)根据万有引力提供向心力有:G=m(R+h)
解得:h=-R;
(3)根据v=
解得:v=。
答案:(1) (2)-R (3)
18.(9分)某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840
N,在火箭发射阶段,发现当飞船随火箭以a=的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度),其身体下方体重测试仪的示数为1
220
N。已知地球半径R=6
400
km。地球表面重力加速度g取10
m/s2(求解过程中可能用到=1.03,=1.02)。问:
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍?
(2)该位置距地球表面的高度h为多大?
(3)地球的平均密度是多少?
【解析】(1)飞船起飞前,对宇航员受力分析有G=mg,得m=84
kg。
在h高度处对宇航员受力分析,应用牛顿第二定律有F-mg′=ma,得=。
(2)根据万有引力公式可知,在地面处有=mg。
在h高度处有
=mg′。
解以上两式得h=0.02R=128
km。
(3)根据=mg可得,地球质量M=
地球的密度ρ==
代入数据得ρ=5.6×103
kg/m3
答案:(1)倍 (2)128
km (3)5.6×103
kg/m3
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