(共48张PPT)
4.机械能守恒定律
必备知识·自主学习
一、动能与势能的相互转化
【情境思考】
(1)如图甲是滚摆及其运动的示意图,滚摆在上升过程中,重力做功情况如何?其动能与势能怎样变化?在下降过程中呢?
(2)如图乙所示,在光滑水平面上,弹簧左端固定,右端连接物体,弹簧被压缩到一定程度释放物体,在弹簧恢复到原长的过程中,弹力做功情况如何?弹性势能、物体的动能如何变化?
提示:(1)滚摆在上升过程中,重力做负功,动能减少,重力势能增加;在下降过程中,重力做正功,动能增加,重力势能减少;
(2)在弹簧恢复到原长的过程中,弹力做正功,弹性势能减少,动能增加。
1.重力势能与动能:只有重力做功时,若重力对物体做正功,则物体的重力势能
_____,动能_____,_________转化成了动能;若重力做负功,则_____转化为_____
_____。
2.弹性势能与动能:只有弹簧弹力做功时,若弹力做正功,则弹簧弹性势能_____,
物体的动能_____,弹性势能转化为动能。
3.机械能:_________、弹性势能和_____的统称,表达式为E=Ek+Ep。
减少
增加
重力势能
动能
重力
势能
减少
增加
重力势能
动能
二、机械能守恒定律
【情境思考】
用细绳把铁锁吊在高处,并把铁锁拉到鼻子尖前释放,保持头的位置不动,铁锁摆回来时,会打到鼻子吗?
提示:不会打到鼻子。
1.内容:在只有_____或_____做功的物体系统内,动能和势能会发生相互转化,但
机械能的总量_________。
2.表达式:Ep1+Ek1=
______,即E1=E2。
重力
弹力
保持不变
Ep2+Ek2
【易错辨析】
(1)通过重力做功,动能和重力势能可以相互转化。
(
)
(2)通过弹力做功,动能和弹性势能可以相互转化。
(
)
(3)物体的机械能一定是正值。
(
)
(4)通过重力或弹力做功,机械能可以转化为其他能。
(
)
(5)物体所受的合力为零,物体的机械能一定守恒。
(
)
(6)人乘电梯匀速上升的过程,机械能守恒。
(
)
(7)不计空气阻力及摩擦力时,滚摆在运动过程中机械能守恒。
(
)
√
√
×
×
×
×
√
关键能力·合作学习
知识点一 机械能守恒条件的判断
1.对守恒条件的理解:
(1)物体只受重力或弹力,不受其他力,如自由落体运动;
(2)物体除受重力或弹力外,还受其他力,但其他力不做功,如物体沿光滑固定的斜面下滑,物体受重力和支持力作用,但支持力不做功;
(3)对于物体系统来说,除系统内的重力和弹力做功之外,外力不做功,有内力做功,但内力做功的代数和为零。
2.机械能守恒的判断方法:判断机械能是否守恒的三种基本方法。
(1)做功条件分析法:应用机械能守恒的条件进行判断。分析物体(或系统)的受力情况(包括内力和外力),明确各力做功的情况,若只有重力或弹力做功,没有其他力做功或其他力做功的代数和为零,则物体(或系统)的机械能守恒。
(2)能量转化分析法:从能量转化的角度进行判断。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化,机械能也没有转化成其他形式的能(如内能),则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法:直接从机械能的各种形式的能量增减情况进行判断。若系统的动能与势能均增加或均减少,则系统的机械能不守恒;若系统内各个物体的机械能均增加或均减少,则系统的机械能不守恒。
【问题探究】
如图所示,过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)
过山车下滑时,过山车受哪些力作用?各做什么功?动能和势能怎么变化?机械能守恒吗?
提示:过山车下滑时,如果忽略阻力作用,过山车受重力和轨道支持力作用;重力做正功,支持力不做功,动能增加,重力势能减少,机械能保持不变。
【典例示范】
【典例】如图所示,一轻弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让它自由摆下,不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中,下列说法正确的是
( )
A.重物的机械能守恒
B.重物的机械能增加
C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒
【解析】选D。重物由A点摆到B点的过程中,弹簧被拉长,弹簧的弹力对重物做了负功,所以重物的机械能减少,故选项A、B错误;此过程中,由于只有重力和弹簧的弹力做功,所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒,即重物减少的重力势能,等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和,故选项C错误,D正确。
【误区警示】判断机械能是否守恒应注意的问题
(1)物体在共点力作用下所受合外力为0是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为0时,它一定处于匀速直线运动状态或静止状态,但物体的机械能不一定守恒。
(2)合外力做功为0是物体动能不变的条件。合外力对物体不做功,它的动能一定不变,但它的机械能不一定守恒。
(3)只有重力做功或系统内弹簧类弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力或系统内弹簧类弹力做功时,系统的机械能一定守恒。
【素养训练】
1.(母题追问)(多选)在【典例】中,若把轻弹簧竖直放置且连接一个小球,用手托起小球,使弹簧处于压缩状态,如图所示。则迅速放手后(不计空气阻力)
( )
A.放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B.小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒
C.小球的机械能守恒
D.小球向下运动过程中,小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
【解析】选B、D。放手瞬间小球加速度大于重力加速度,A错误;整个系统(包括地球)的机械能守恒,B正确,C错误;向下运动过程中,由于重力势能减小,所以小球的动能与弹簧弹性势能之和增大,D正确。
2.不考虑弹性势能时,下列运动中机械能一定守恒的是
( )
A.自由落体运动
B.竖直方向上做匀变速运动
C.在竖直方向上做匀速直线运动
D.在水平面上做匀加速直线运动
【解析】选A。物体做自由落体运动,只有重力做功,机械能守恒,故A正确;竖直方向上做匀变速运动,只有是自由落体运动时才守恒,其他加速度条件下,有其他力做功,不守恒,B错误;物体在竖直方向上做匀速直线运动,动能不变,重力势能增大或减小,机械能不守恒,故C错误;在水平面上做匀加速直线运动,重力势能不变,动能增加,机械能不守恒,D错误。
【加固训练】
1.物体在平衡力作用下,下列说法正确的是
( )
A.物体的机械能一定不变
B.物体的机械能一定增加
C.物体的机械能一定减少
D.物体的机械能可能增加,可能减少,也可能不变
【解析】选D。物体在平衡力的作用下,保持静止状态或匀速直线运动状态。如果保持静止状态,机械能不变。如果保持匀速直线运动状态,就有多种情况:当物体在水平面上做匀速直线运动时,物体的高度和速度都不变,那么它的动能和势能也不变,所以机械能不变;当物体向上做匀速直线运动时,虽然速度不变,动能不变,但物体的位置升高,势能增加,所以机械能增加;当物体向下做匀速直线运动时,虽然速度不变,动能不变,但物体高度降低,势能减少,所以机械能减少。平衡力做功之和为零,物体动能不变,所以物体在平衡力作用下只能保证速度不变,不能保证高度不变,机械能可能增加,可能减少,也可能不变。D正确。
2.(多选)如图,m机械能守恒的是(均不计空气阻力)
( )
【解析】选C、D。物块沿固定斜面匀速下滑,在斜面上物块受力平衡,重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡,摩擦力做负功,机械能减少;物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时,力F做正功,机械能增加;小球沿光滑半圆形固定轨道下滑,只有重力做功,小球机械能守恒;用细线拴住小球绕O点来回摆动,只有重力做功,小球机械能守恒,选项C、D正确。
知识点二 机械能守恒定律的应用
1.运用机械能守恒定律的基本思路:
(1)选取研究对象——物体系统或物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面,确定研究对象初、末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律列方程,进行求解。
2.对几种表达式的理解:
(1)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。这里应注意等式不是指某两个特别的状态,而是过程中的每一状态机械能的总量都是守恒的,但我们解题时往往选择与题目所述条件或所求结果相关的状态建立方程式。另外表达式中Ep是相对的,建立方程时必须选择合适的参考平面,且每一状态的Ep都应是对同一参考平面而言的。
(2)ΔEk=-ΔEp,系统动能的增加量等于系统势能的减少量,可以不选择参考平面。
(3)ΔEA=-ΔEB,将系统分为A、B两部分,A部分机械能的增加量等于另一部分B的机械能的减少量,可以不选择参考平面。
3.机械能守恒定律和动能定理的比较:
机械能守恒定律
动能定理
表达
式
E1=E2
ΔEk=-ΔEp
ΔEA=-ΔEB
W=ΔEk
物理
意义
重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
合外力对物体做的功是动能变化的量度
应用
范围
只有重力或弹力做功
无条件限制
关注
角度
守恒的条件、初末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合外力做功情况
【问题探究】
如图所示是运动员投掷铅球的动作,如果忽略铅球所受空气的阻力。
(1)铅球在空中运动过程中,机械能是否守恒?
(2)若铅球被抛出时速度大小一定,铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗?
提示:(1)由于阻力可以忽略,铅球在空中运动过程中,只有重力做功,机械能守恒。
(2)根据机械能守恒定律,落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
【典例示范】
【典例】(2020·青岛高一检测)如图所示,竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆
弧①
ab和抛物线bc组成,圆弧半径Oa水平,b点为抛物线顶点。已知h=2
m,s=
m,
g取10
m/s2。
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下,当其在bc段轨道运
动时,与轨道之间无相互作用力②,求圆弧轨道的半径;
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下,求环到达c点
时速度的水平分量的大小③。
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
物体受力分析
只受重力,机械能守恒
②
平抛运动的特点
小环的运动为平抛运动
③
合运动与分运动的性质
确定c点速度与水平方向的夹角
【解析】(1)小环在bc段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,即小环在该段以
某一初速度vb做平抛运动,运动轨迹与轨道bc重合,故有s=vbt、h=
gt2
从ab滑落过程中,小环机械能守恒,选b点所在平面为参考平面,则有0+mgR=
+0
联立三式可得R=
=0.25
m。
(2)小环在下滑过程中,初速度为零,只有重力做功,小环机械能守恒,再选c点所在
平面为参考平面,
则有0+mgh=
+0
因为小环滑到c点时与竖直方向的夹角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c点时
速度与竖直方向的夹角,
设为θ,则根据平抛运动规律可知sinθ=
,
根据运动的合成与分解可得sinθ=
,
联立可得v水平=
m/s。
答案:(1)0.25
m (2)
m/s
【规律方法】应用机械能守恒定律的解题步骤
【素养训练】
1.如图所示,质量为m的物体,以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动,不计空
气阻力,若物体通过轨道最低点B时的速度为3
,求:
(1)物体在A点时的速度大小;
(2)物体离开C点后还能上升多高。
【解析】(1)物体在运动的全过程中只有重力做功,机械能守恒,选取B点为零势
能点。设物体在B点的速度为vB,则
mg·3R+
得v0=
(2)设从B点上升到最高点的高度为HB,由机械能守恒可得
mgHB=
,HB=4.5R
所以物体离开C点后还能上升
HC=HB-R=3.5R。
答案:(1)
(2)3.5R
2.如图所示,质量m=70
kg的运动员以10
m/s的速度从高h=10
m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下,以最低点B所在的水平面为零势能面,一切阻力可忽略不计。(取g=10
m/s2)求运动员:
(1)在A点时的机械能;
(2)到达最低点B时的速度大小;
(3)相对于B点能到达的最大高度。
【解析】(1)运动员在A点时的机械能
E=Ek+Ep=
mv2+mgh=
×70×102
J+70×10×10
J=10
500
J。
(2)运动员从A运动到B过程,根据机械能守恒定律得
E=
解得vB=
m/s=10
m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点过程,由机械能守恒得E=mgh′,
解得h′=
m=15
m。
答案:(1)10
500
J (2)10
m/s (3)15
m
【加固训练】
如图所示,AB是倾角θ为45°的直轨道,CD是半径R=0.4
m的圆弧轨道,它们通过一段曲面BC平滑相接,整个轨道处于竖直平面内且处处光滑。一个质量m=1
kg的物体(可以看作质点)从高H的地方由静止释放,结果它从圆弧最高点D点飞出,垂直斜面击中P点。已知P点与圆弧的圆心O等高,g取10
m/s2。求:
(1)物体击中P点前瞬间的速度;
(2)在C点轨道对物体的支持力大小;
(3)物体静止释放时的高度H。
【解析】(1)物体从D点运动到P点,做平抛运动,
在竖直方向上满足
=2gR,
求得vy=
m/s,
物体击中P点的速度v=
=4
m/s。
(2)物体在D点的速度为平抛运动的水平速度
vD=vytanθ=2
m/s
根据机械能守恒定律
由牛顿第三定律得N-mg=
解得支持力N=70
N,即在C点轨道对物体的支持力大小为70
N。
(3)由A点到D点,物体的机械能也守恒,故
mgH=
+mg·2R
解得H=1.2
m。
答案:(1)4
m/s (2)70
N (3)1.2
m
【拓展例题】考查内容:含弹簧类机械能守恒问题
【典例】(多选)(2016·全国卷Ⅱ)如图,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端
固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中
经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN
<
。在小球从M点运动到N点的过程中
( )
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【解析】选B、C、D。由于小球在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且
∠ONM<∠OMN<
,所以小球在M处弹簧处于压缩状态,弹簧给小球压力;在N处弹
簧处于拉伸状态,弹簧给小球拉力。因为∠ONM<∠OMN<
,所以,小球向下运动
过程中,弹簧先缩短再伸长,故弹力对小球先做负功再做正功后做负功,选项A错
误;弹簧的长度等于原长时小球所受的合力等于重力,弹簧处于水平时,小球在
竖直方向上合力也等于重力,这两个时刻小球的加速度等于重力加速度,选项B
正确;弹簧长度最短时,弹力的方向垂直于杆,在弹力的方向上小球的速度为零,
故弹力对小球做功的功率为零,选项C正确;因为小球在M、N两点处,弹簧对小球
的弹力大小相等,则小球在M、N两点处,弹簧的缩短量和伸长量相同,弹性势能
也相同,弹簧对小球做的功为零,根据动能定理可知,小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差,选项D正确。
机械能：重力势能、弹性势能和动能的总和
转化方式：通过重力或弹力做功
结果：一种形式转化成另一种形式
条件：物体系统内只有重力或弹力做功
表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
变化：外力做功等于机械能的变化
动能与势能的相互转化
机械能守恒
【实验情境】
小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”,一支可伸缩的圆珠笔,内有一根弹簧,尾部有一个小帽,压一下小帽,笔尖就伸出。如图所示,手握笔杆,使笔尖向上,小帽抵在桌面上,在压下后突然放手,笔杆将竖直向上跳起一定的高度。
探究:在某次实验中,小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12
cm,请你帮他分析:
(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中,能量发生了怎样的变化?
(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大?(g取10
m/s2)
情境·模型·素养
【解析】(1)圆珠笔弹簧的弹性势能减少,转化为圆珠笔的动能,离开桌子后,圆
珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能,圆珠笔运动到最高点时,圆珠笔
的重力势能最大,动能为零。
(2)由机械能守恒定律得:
mgh=
,
代入数据得:
v0≈1.55
m/s。
答案:(1)圆珠笔弹簧弹性势能
圆珠笔动能
圆珠笔重力势能
(2)1.55
m/s
【体育情境】
滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”,滑板运动员可在不同的滑坡上滑行。如
图所示,abcde为同一竖直平面内依次平滑连接的滑行轨道,其中bcd是一段半径R
=2.5
m的圆弧轨道,O点为圆心,c点为圆弧的最低点。运动员脚踩滑板从高H=3
m
处由静止出发,沿轨道自由滑下。运动员连同滑板可视为质点,其总质量m=60
kg。
忽略摩擦阻力和空气阻力,取g=10
m/s2,
探究:运动员滑经c点时轨道对滑板的支持力的大小。
【解析】运动员从开始滑下至c点,
由机械能守恒定律得mgH=
mv2
①
运动员滑至最低点时,由牛顿运动定律和向心力公式得
N-mg=m
②
由①②得N=mg(1+
)=2
040
N。
答案:2
040
N温馨提示：
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课时素养评价
十五 机械能守恒定律
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题,每题6分,共36分)
1.关于机械能守恒定律的适用条件,下列说法中正确的是
( )
A.只有重力和弹力作用时,机械能才守恒
B.当有其他外力作用时,只要合外力为零,机械能守恒
C.除重力、系统内弹力外,当有其他外力作用时,只要其他外力不做功,机械能守恒
D.炮弹在空中飞行不计阻力时,仅受重力作用,所以爆炸前后机械能守恒
【解析】选C。机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”,“做功”和“作用”是两个不同的概念,A项错误,C项正确;物体受其他外力作用且合外力为零时,机械能可以不守恒,如拉一物体匀速上升,合外力为零,物体的动能不变,重力势能增加,故机械能增加,B项错误;在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能,机械能不守恒,故D项错误。
2.(2020·海口高一检测)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出,不计空气阻力,则落在同一水平地面时的速度大小
( )
A.一样大
B.水平抛的最大
C.斜向上抛的最大
D.斜向下抛的最大
【解析】选A。不计空气阻力,小球在空中只受重力作用,机械能守恒。抛出时高度、速度大小相等,落地时速度大小一定相等。
3.如图所示,P、Q两球质量相等,开始两球静止,将P上方的细绳烧断,在Q落地之前,下列说法正确的是(不计空气阻力)
( )
A.在任一时刻,两球动能相等
B.在任一时刻,两球加速度相等
C.在任一时刻,系统动能和重力势能之和保持不变
D.在任一时刻,系统机械能是不变的
【解析】选D。细绳烧断后,由于弹簧处于伸长状态,通过对P、Q两球受力分析可知aP>aQ,在任一时刻,两球的动能不一定相等,选项A、B错误;系统内有弹力做功,弹性势能发生变化,系统的动能和重力势能之和发生变化,选项C错误;Q落地前,两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功,整个系统的机械能守恒,选项D正确。
4.(2020·金华高一检测)高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将弹性长绳(质量忽略不计)的一端系在双脚上,另一端固定在高处的跳台上,运动员无初速度地从跳台上落下。若不计空气阻力,g为重力加速度,则
( )
A.弹性绳开始拉伸时,运动员的速度最大
B.整个下落过程中,重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功
C.整个下落过程中,运动员的机械能守恒
D.从弹性绳开始拉伸到最低点的过程中,运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和不断增大
【解析】选B。弹性绳开始拉伸时,弹力开始从零增加,此时重力仍大于弹力,向下做加速运动,当弹力等于重力时,速度最大,A错误;运动员的速度从零开始,到零结束,故重力对运动员所做的功等于运动员克服弹性绳弹力所做的功,B正确;整个下落过程中,弹力对运动员做功,机械能不守恒,C错误;从弹性绳开始拉伸到最低点的过程中,运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和与动能相互转化,动能增加,势能之和减小,动能减小,势能之和增加,即先减小后增加,D错误。
5.(2020·济宁高一检测)如图所示,质量为m的小球以速度v0离开桌面。若以桌面为零势能面,则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力,重力加速度为g)
( )
A.m+mgh
B.m-mgh
C.m
D.m+mg(H-h)
【解析】选C。由机械能守恒定律可知,小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等,其大小为m,故C正确。
6.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上,P球的质量大于Q球的质量,悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起,使两绳均被水平拉直,如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点,
( )
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【解析】选C。两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功,机械能守恒,取轨迹的最低点为零势能点,则由机械能守恒定律得mgL=mv2,
v=,因LPmQ,则两球的动能无法比较,选项A、B错误;在最低点绳的拉力为F,则F-mg=m,则F=3mg,因mP>mQ,则FP>FQ,选项C正确;向心加速度a==2g,选项D错误。
【加固训练】
如图所示,有一内壁光滑的闭合椭圆形管道,置于竖直平面内,MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发,初速率为v0,沿管道MPN运动,到N点的速率为v1,所需时间为t1;若该小球仍由M点以初速率v0出发,而沿管道MQN运动,到N点的速率为v2,所需时间为t2。则
( )
A.v1=v2,t1>t2
B.v1t2
C.v1=v2,t1D.v1【解析】选A。根据机械能守恒,可知v1=v2,小球向上运动的平均速率小于向下运动的平均速率,根据平均速率=可知t1>t2,A正确。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要标明单位)
7.(12分)(2020·金华高一检测)如图所示,小球以一个未知的初速度v0沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道,轨道半径为R,小球在轨道的最高点对轨道的压力等于小球的重力。问:
(1)小球离开轨道落到距地面高处时,小球水平位移是多少;
(2)小球落地时速度为多大;
(3)小球初速度v0至少为多大时能通过轨道的最高点。
【解析】(1)
小球在轨道的最高点对轨道的压力等于小球的重力mg+mg=m
在最高点速度v=
平抛运动2R-=gt2
运动时t=
水平位移x=vt=R
(2)从最高点到落地,根据动能定理
mv′2-mv2=2mgR
解得:v′=
(3)设在最高点时最小速度vmin对应重力提供向心力
mg=m
vmin=
从初态到最高点m-m=-2mgR
解得最小速度v0=
答案:(1)R (2) (3)
8.(12分)图为一跳台的示意图。假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下,不借助其他器械,沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大?当他落到离B点竖直高度为10
m的雪地C点时,速度又是多大?(设这一过程中运动员没有做其他动作,忽略摩擦和空气阻力,取g=10
m/s2)
【解析】运动员在滑雪过程中只有重力做功,故运动员在滑雪过程中机械能守恒。取B点所在水平面为参考平面。由题意知A点到B点的高度差h1=4
m,B点到C点的高度差h2=10
m,从A点到B点的过程由机械能守恒定律得m=mgh1,
故vB==4
m/s;
从B点到C点的过程由机械能守恒定律得
m=-mgh2+m,
故vC==2
m/s。
答案:4
m/s 2
m/s
(15分钟·40分)
9.(6分)(2020·锦州高一检测)如图,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是( )
A.2R B. C. D.
【解题指南】本题考查对机械能守恒定律的理解和应用。
(1)本题中,A、B系统的机械能守恒。
(2)A、B的高度变化不同。
【解析】选C。运用机械能守恒定律:当A下落到地面前,对AB整体有:2mgR-mgR
=×2mv2+mv2,所以mv2=mgR,即A落地后B还能再升高,上升的最大高度为R,故选项C正确,A、B、D错误。
【加固训练】
(多选)内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,一根长度为R的轻杆,一端固定有质量为m的小球甲,另一端固定有质量为2m的小球乙,将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点,如图所示。由静止释放后( )
A.下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能
C.甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点
D.杆从右向左滑回时,乙球一定能回到凹槽的最低点
【解析】选A、C、D。根据题意,甲、乙两球及轻杆组成的系统在该运动过程中机械能守恒,甲球下落重力势能减少,乙球上升重力势能增加,并且两球的动能都增加了,因此,甲球减少的重力势能等于甲、乙两球增加的动能和乙球增加的重力势能之和,即甲球减少的机械能等于乙球增加的机械能,故选项A正确,而选项B错误;甲球滑到凹槽最低点时,乙球上升到与甲球的初始位置等高的位置,若这样,系统的机械能增加,因此,选项C正确;杆从右向左滑时,由于系统的机械能守恒,系统一定能恢复初始状态,故选项D正确。
10.(6分)(多选)(2020·烟台高一检测)如图所示,在光滑固定的曲面上,放有两个质量分别为1
kg和2
kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根轻质弹簧相连,用手拿着A竖直放置,AB间距离L=0.2
m,小球B刚刚与曲面接触且距水平面的高度h=0.1
m。此时弹簧的弹性势能Ep=1
J,自由释放后两球以及弹簧从静止开始下滑到光滑地面上,此后一直沿光滑地面运动,不计一切碰撞时机械能的损失,g取10
m/s2。则下列说法中正确的是
( )
A.下滑的整个过程中弹簧和A球组成的系统机械能守恒
B.下滑的整个过程中两球及弹簧组成的系统机械能守恒
C.B球刚到地面时,速度是
m/s
D.当弹簧处于原长时,以地面为参考平面,两球在光滑水平面上运动时的机械能为6
J
【解析】选B、D。系统涉及弹簧和A、B两个小球,机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功。本题中需特别注意的是弹簧对A、B都有作用力。由于弹簧和B之间有作用力,弹簧和A球组成的系统机械能不守恒,A项错;由于没有摩擦,系统只有弹簧弹力和重力做功,则B项正确;因为弹簧作用于B,并对B做功,B的机械能不守恒,而
m/s是根据机械能守恒求解出的,所以C项错;根据系统机械能守恒,到地面时的机械能与刚释放时的机械能相等,又弹簧处于原长,则E=mAg(L+h)+mBgh+Ep=6
J,D项正确。
11.(6分)(多选)(2020·全国Ⅰ卷)一物块在高3.0
m、长5.0
m
的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑,其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度取10
m/s2,则
( )
A.物块下滑过程中机械能不守恒
B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物块下滑时加速度的大小为6.0
m/s2
D.当物块下滑2.0
m时机械能损失了12
J
【解析】选A、B。下滑5
m的过程中,重力势能减少30
J,动能增加10
J,减少的重力势能并不等于增加的动能,所以物块下滑过程中机械能不守恒,故选项A正确;设斜面倾角为θ,物块在斜面顶端时的重力势能mgh=30
J,而h=3
m,则物块质量m=1
kg,下滑5
m过程中,对物块由动能定理有mgh-μmgcosθ·s=Ek-0,而cosθ=、Ek=10
J,解得μ=0.5,故选项B正确;对物块由牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma,解得a=2
m/s2,故选项C错误;物块下滑2.0
m时,重力势能减少12
J,动能增加4
J,所以机械能损失了8
J,故选项D错误。
【加固训练】
如图所示,倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上,斜面顶端固定一光滑的小定滑轮,质量分别为m和2m的两个小物块A、B用轻绳连接,其中B被垂直斜面的挡板挡住而静止在斜面上,定滑轮与A之间的绳子水平,已知绳子开始时刚好拉直,且A与定滑轮之间的距离为l。现使A由静止下落,在A向下运动至O点正下方的过程中,下列说法正确的是(重力加速度为g)
( )
A.物块B始终处于静止状态
B.物块A运动到最低点时的速度大小为
C.物块A运动到最低点时的速度方向为水平向左
D.绳子拉力对物块B做正功
【解析】选D。若物块B不会滑动,则当物块A向下运动到最低点时,绳子上的拉力必大于mg,故物块B一定会向上滑动,所以A错误;设物块A运动到最低点时,定滑轮与A之间的距离为x,对A、B由机械能守恒有:+=
mgx-2mg(x-l)sinθ,得vA=,则vA<,A的速度方向不垂直于绳子,B、C错误;B向上运动,绳子拉力做正功,D正确。
12.(22分)(2020·潍坊高一检测)如图所示,竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径,管道中心到圆心距离为R,A端与圆心O等高,AD为水平面,B端在O的正下方,小球自A点正上方由静止释放,自由下落至A点进入管道,当小球到达B点时,管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍。不计空气阻力,求:
(1)释放点距A的竖直高度;
(2)落点C与A的水平距离。
【解析】(1)设小球到达B点的速度为v1,因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍,所以有9mg-mg=m
又由机械能守恒定律得
mg(h+R)=m
所以h=3R
(2)设小球到达最高点的速度为v2,落点C与A的水平距离为s
由机械能守恒定律得
m=m+mg·2R
由平抛运动规律得R=gt2
R+s=v2t
由此可解得s=(2-1)R
答案:(1)3R (2)(2-1)R
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