1.8完全平方公式 （含解析）

1.8完全平方公式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?喀什地区期末）计算（a+b）2的正确结果是（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a2+b2+2ab D．a2﹣2ab+b2
2．（2020秋?肇州县期末）已知x2+kx+36是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
3．（2020秋?集贤县期末）已知4a2+12ab+m是一个完全平方式，那么m为（　　）
A．3b2 B．b2 C．9b2 D．36b2
4．（2020秋?伊通县期末）已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（　　）
A．21 B．23 C．25 D．29
5．（2020秋?香坊区期末）正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（　　）
A．15cm2 B．25cm2 C．36cm2 D．49cm2
6．（2020秋?河西区期末）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．﹣3
7．（2020秋?涪城区校级期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则ab的值为（　　）
A．14 B．12 C．34 D．54
8．（2020秋?和平区期末）下列多项式是完全平方式的是（　　）
A．a2﹣4a+4 B．1+4a2 C．4b2+4b﹣1 D．a2+ab+b2
9．（2019秋?海珠区期末）如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2020秋?莘县期中）如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．32 C．5 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?大安市期末）如果25x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为　 　．
12．（2020秋?永吉县期末）若ab＝﹣2，a2+b2＝5，则（a﹣b）2的值为　 　．
13．（2020秋?金昌期末）已知ab＝2，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值是　 　．
14．（2020秋?镇原县期末）已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为　 　．
15．（2020秋?肇州县期末）若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝　 　．
16．（2020秋?香坊区期末）若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2的值为　 　．
17．（2020秋?武都区期末）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝　 　．
18．（2020秋?铜梁区校级期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a，b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，则下列关系式：①a+b＝11；②（a﹣b）2＝13；③ab＝27；④a2+b2＝76，其中正确的是　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
20．（2020秋?朝阳区期末）若a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
21．计算：（1）（2a+5b）2；
（2）（12x﹣2y）2；
（3）（﹣4a+3b）2；
（4）（﹣x﹣y）2．
22．（2020秋?肇源县期末）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
23．（2020秋?南安市期中）用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．
（1）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多5cm时，它的面积就多75cm2，求中间小正方形的边长．
24．（2020秋?卧龙区期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为　 　；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．
方法一：　 　；
方法二：　 　；
（3）观察图②，写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：　 　；
（4）计算：（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝　 　．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故选：C．
2．【解析】∵x2+kx+36是一个完全平方式，
∴k＝±12，
故选：D．
3．【解析】∵4a2+12ab+m是一个完全平方式，
∴12ab＝2×2a×m，
∴m＝9b2．
故选：C．
4．【解析】∵a+b＝5，ab＝﹣2，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝25+4＝29．
故选：D．
5．【解析】设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，
解得：x＝5．
则这个正方形原来的面积是25cm2，
故选：B．
6．【解析】∵a﹣b＝3，
∴a＝b+3，
∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．
故选：A．
7．【解析】（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝4ab
＝7﹣4
＝3，
ab=34．
故选：C．
8．【解析】a2﹣4a+4＝（a﹣2）2．
故选：A．
9．【解析】∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
10．【解析】设AB＝a，AD＝b，由题意得，
8a+8b＝24，2a2+2b2＝12，
即a+b＝3，a2+b2＝6，
∴ab=(a+b)2-(a2+b2)2=9-62=32，
即长方形ABCD的面积为32，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵25x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
∴m＝±2×5×3＝±30．
故答案为：±30．
12．【解析】∵ab＝﹣2，a2+b2＝5，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
＝a2+b2﹣2ab
＝5﹣2×（﹣2）
＝9．
故答案为：9．
13．【解析】当ab＝2时，原式＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab＝8，
故答案为：8
14．【解析】∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
15．【解析】∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19，
∴a2﹣ab+b2＝16．
故答案为：16．
16．【解析】∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×12
＝25．
故答案为：25．
17．【解析】（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17 ①，
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11 ②，
①+②得：2（a2+b2）＝28，
∴a2+b2＝14．
故答案为14．
18．【解析】∵大正方形的面积为121，
∴大正方形的边长为11，
即a+b＝11，因此①正确；
又∵中间空缺的小正方形的面积为13，中间小正方形的边长为a﹣b，
∴（a﹣b）2＝13，
因此②正确；
由拼图可知：4S矩形的面积＝S大正方形﹣S小正方形，
∴4ab＝121﹣13，
∴ab＝27，
因此③正确；
∵a+b＝11，ab＝27，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝112﹣2×27
＝121﹣54
＝67，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】原式＝2（a2﹣2ab+b2）﹣（a2+4ab﹣12b2）
＝2a2﹣4ab+2b2﹣a2﹣4ab+12b2
＝a2﹣8ab+14b2．
20．【解析】（1）∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19；
（2）∵a2+b2＝19，ab＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝13，
∴（a﹣b）2＝13，
∴a﹣b＝±13．
21【解析】（1）（2a+5b）2
＝4a2+20ab+25b2；
（2）（12x﹣2y）2
=14x2﹣2xy+4y2；
（3）（﹣4a+3b）2
＝16a2﹣24ab+9b2；
（4）（﹣x﹣y）2
＝x2+2xy+y2．
22．【解析】∵a+b＝3，
∴a2+2ab+b2＝9，
∵ab＝2，
∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．
23．【解析】（1）方法一，小正方形的边长为（a﹣b），因此，小正方形的面积是（a﹣b）2，
方法二，大正方形的面积减去四个长方形的面积可得，小正方形的面积为：（a+b）2﹣4ab，
可以发现（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
答：（a﹣b）2，或（a+b）2﹣4ab，
可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（2）解：依题意，得(a+b)-(a-b)=5(a+b)2-(a-b)2=75，
解得a=152b=52，
∴a﹣b＝5，
答：小正方形的边长是5cm．
24．【解析】（1）由拼图可知，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为（m﹣n）2；
方法二：从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，
即（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）的两种方法可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2
＝（10.5﹣2）2+4×10.5×2﹣（10.5﹣2）2
＝4×10.5×2
＝84．
故答案为：84．