1.7平方差公式 （含解析）

1.7平方差公式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?乾安县期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+2）（2+x） B．（12a+b）（b-12a）
C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（x2﹣y）（x+y2）
2．（2020秋?绿园区期末）（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（　　）
A．4x2+1 B．1﹣4x2 C．1+4x2 D．﹣4x2﹣1
3．（2020秋?船营区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
4．（2020秋?思明区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．3014 B．3024 C．3034 D．3044
5．（2020秋?庐阳区校级期中）如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为n，则另一边长是（　　）
A．m+2n B．2m+n C．m+n D．2（m+n）
6．（2020秋?南岗区校级期中）已知；a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
7．（2020秋?蓬溪县期中）计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（　　）
A．1﹣a4 B．1+a4 C．1﹣2a2+a4 D．1+2a2+a4
8．（2020秋?崇川区校级期中）已知a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
9．（2020春?高新区期中）如图，将一张正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，另一边为2m+3，则原正方形边长是（　　）
A．m+6 B．m+3 C．2m+3 D．2m+6
10．（2020秋?新都区月考）若M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2，那么代数式M应为（　　）
A．﹣5x﹣y2 B．﹣y2+5x C．5x+y2 D．5x2﹣y2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?阳信县期中）若a2﹣b2=-116，a+b=-14，则a﹣b的值为　 　．
12．（2020秋?朝阳区期末）若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为　 　．
13．（2020秋?铁力市期末）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝　 　．
14．（2020秋?绥中县期末）（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝　 　．
15．（2020秋?卧龙区期中）填空：（2a+b）（　 　）＝b2﹣4a2．
16．（2020秋?普陀区期中）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是　 　．
17．（2020秋?安居区期中）已知x2﹣y2＝6且2x+2y＝3，则3x﹣3y＝　 　．
18．（2020秋?武都区期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
20．（2020秋?肇源县期末）利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．
21．（2020秋?东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）；
②计算：（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
22．（2020春?江都区月考）观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
利用你发现的规律解决下列问题：
（1）计算：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　．
（2）计算：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝　 　．
（3）利用（2）中结论，求32019+32018+32017+…+3+1的值．
（4）已知：x3+x2+x+1＝0，求x2﹣8x+16的值．
23．（2020秋?朝阳区校级期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
24．（2020春?淮安区期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　．（请选择“A”、“B”、“C”）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：(1-122)(1-132)(1-142)?(1-1102)．
1085850010541000答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】A、原式＝（x+2）2＝x2+4x+4，不符合题意；
B、原式＝b2-14a2，符合题意；
C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；
D、原式＝x3+x2y2﹣xy﹣y3，不符合题意．
故选：B．
2．【解析】（1﹣2x）（1+2x）
＝12﹣（2x）2
＝1﹣4x2，
故选：B．
3．【解析】第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
4．【解析】∵552﹣532＝（55+53）（55﹣53）＝216＜217，
∴在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣512+532））+（﹣532+552）
＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣512+532﹣532+552
＝552﹣12
＝（55+1）（55﹣1）
＝56×54
＝3024，
故选：B．
5．【解析】（m+n）2﹣m2＝m2+2mn+n2﹣m2＝2mn+n2＝n（2m+n），
故选：B．
6．【解析】∵a+b＝3，a﹣b＝1，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．
故选：C．
7．【解析】（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．
故选：A．
8．【解析】∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
故选：B．
9．【解析】设原正方形的边长为x，则x﹣m＝3，
解得，x＝m+3，
故选：B．
10．【解析】∵M（5x﹣y2）＝y4﹣25x2＝（y2+5x）（y2﹣5x）＝（5x﹣y2）（﹣5x﹣y2），
∴M＝﹣5x﹣y2．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】因为a2﹣b2=-116，
所以（a+b）（a﹣b）=-116，
因为a+b=-14，
所以a﹣b=-116÷（-14）=14．
故答案为：14．
12．【解析】∵x+y＝2a，x﹣y＝2b，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2a?2b＝4ab．
故答案是：4ab．
13．【解析】原式＝9x2﹣4．
故答案为：9x2﹣4．
14．【解析】原式＝x2﹣4y2．
故答案为：x2﹣4y2．
15．【解析】因为（b+2a）（b﹣2a）＝b2﹣4a2．
故答案为：b﹣2a，
16．【解析】因为a2﹣9b2＝4，
所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，
所以（a+3b）2（a﹣3b）2
＝[（a+3b）（a﹣3b）]2
＝42
＝16，
故答案为：16．
17．【解析】由2x+2y＝3可得x+y=32，
∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，
∴x﹣y=x2-y2x+y=6÷32=4，
∴3x﹣3y＝3（x﹣y）＝3×4＝12．
故答案为：12．
18．【解析】根据给出的式子的规律可得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1，
则22008+22007+22006+……+22+2+1＝22009﹣1；
故答案为：22009﹣1．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）
＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）
＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2
＝4n2﹣7mn．
20．【解析】20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝1．
21．【解析】①原式＝（2﹣1）?（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（22﹣1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（24﹣1）?（24+1）?（28+1）
＝（28﹣1）?（28+1）
＝216﹣1；
②原式=12（3﹣1）?（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
=12（32﹣1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
=12（34﹣1）?（34+1）?（38+1）
=12（38﹣1）?（38+1）
=12×(316-1)；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
22．【解析】（1）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
∴（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，
故答案为：x5﹣1；
（2）由（1）可得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
故答案为：xn﹣1；
（3）由（2）得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1，
令x＝3，n＝2020得，（3﹣1）（32019+32018+32017+…+3+1）＝32020﹣1，
∴32019+32018+32017+…+3+1=32020-12；
（4）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
∵x3+x2+x+1＝0，
∴x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，x3+x2+x+1≠0，故舍去，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，x2﹣8x+16＝25．
23．【解析】（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）
＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-12019）（1+12019）（1-12020）（1+12020）
=12×32×23×43×34×54×?×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
24．【解析】（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，
∴12＝4（x﹣2y），
即：x﹣2y＝3；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-110）（1+110），
=12×32×23×43×34×54×?×910×1110，
=12×1110，
=1120．