12.2 证明（第1课时） 课件（共44张PPT）

第1课时
12.2 证明
第12章 证明
2020-2021学年度苏科版七年级下册
欣赏判断
观察图片，蓝色的粗线是直的吗？
观察图形，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？
在图12-1中，两条线段AB与CD哪一条长一些？
图12-1
看上去线段AB比线段CD长．
通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长．
试一试
把图12-2(1)长方形草坪中间lm宽的直道，改成图12-2(2)中处处1m宽的“曲径”.
这两条小道的面积相等吗？
议一议
图12-2
如果将图12-2(2）中小道左边的草坪
向右平移1m，那么得到一个长为（a-1)m、宽为bm的长方形（如图12-3)，它的面积为b(a-1)m2.
于是，“曲径”的面积为ab-b(a-1)=
ab-ab+b=b(m2).
由图12-2(1）可知直道的面积为
1×b=b(m2).
通过图形的平移和计算，可以证实：两条小道的面积等．
图12-3
如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平形四边形，根据图中标明的数据，计算空白部分的面积？
c
c
a
b
A
C
D
B
c
c
a
b
A
C
D
B
图 1
图 2
点拔：这里通过平移，避免了对图形分别计算面积，
使求解简洁方便.
析解：利用“平移不改变图形的形状与大小”这一性质可以迅速解决本题.由图可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，它的长为（a-c)，宽为(b-c)，所以空白部分的面积为：（a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2
1．图12-4(l）是一张8×8的正方形纸片，把它剪成4块，按图12-4(2）重新拼合.
这4块纸片恰好能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？
图12-4
2．画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC.
（1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F（如图12-5(1)）.度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
（2）把三角尺绕点P旋转（如图12-5(2)），PE与PF相等吗？
在后续的学习中，可以证实：图12-4(2)不是长方形；图12-5中PE与PF相等．
图12-5
　如图的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l 是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r，求绿色部分的面积.
　　解：如果以直线l为对称轴，把l左边绿色部分反射到l的右边，那么它们的像恰好填补了右边白色部分．所以图中的绿色部分的面积等于半圆的面积是 .
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可.
要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质、和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明(proof).经过证明的真命题称为定理（theorem).
想一想：
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
1
a
b
c
2
3
　　已知，如图，　直线a//b，　∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
　　求证：∠1＝∠2
已知：如图，直线a∥b， ∠1和∠2
是直线a、b被直线 c截出的内错角 .
求证：∠1=∠2
1
2
3
a
b
c
证明：∵a∥b ( )
∴∠3=∠2
( )
∵ ∠3=∠1 ( )
∴∠1=∠2 ( )
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
等量代换
做一做：
　　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．
求证：∠1+∠2＝180°
证：　　a//b（已知）
　　　　　∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
　　　　　∠1+∠3＝180°（１平角＝180° ）
　　　　　∠1+∠2＝180°（等量代换）
已知：如图，直线a//b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．
　　求证：∠1+∠2＝180°
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
　一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、 求证，这时只要写出“证明”一项就可以了．
例1 已知：如图12-7，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.
求证：MG∥NH.
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）.
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END（已知），
∴∠EMG= ∠EMB，∠ENH= ∠END（角平分线的定义）.
∴∠EMG=∠ENH（等量代换）.
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)：
（1）垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a ， c⊥a
a
b
c
求证：b∥c
做一做
（2）一个角的平分线上的点到这个角的两
边的距离相等；
A
B
O
C
E
F
G
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ，
EG⊥OB于G
求证：EF=EG
做一做
（3）如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，直线a，b，c被直线d所
截，且a∥b ，c∥b，
求证：a∥c
a
b
c
d
做一做
A
B
C
对于三角形，我们已经有哪些认识？
合作探索
定义
分类
内角和
外角和
…………
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果.
A
C
B
图1
B
A
C
图2
B A
C
图3
B A C
图4
求证：三角形三个内角的和等于180?.
1
1
2
A
B
D
2
3
C
1
2
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）.他的想法可行吗？
A
B
C
E
D
证明　过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
　＝∠DAE＝180?（平角的定义）
你还有其他的证明方法么？
辅助线
已知：如图， △ABC.
求证：
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
A
B
C
1
2
D
E
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
A
B
C
E
图1
E
A
B
C
D
F
图2
A
N
B
C
T
S
图3
P
Q
R
M
A
N
B
C
T
S
图4
P
Q
R
M
关于辅助线：
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定，平时做题时要注意总结.
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论：
已知：
求证：
证明：
如图，∠ACD是△ABC的一个外角
∠ACD =∠A+∠B
A
B
C
D
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800.
A
B
C
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
A
B
C
1
2
D
E
∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ
∴ ∠ACD >∠A，
∠ACD >∠B
三角形内角和定理的几何表述：
例2 已知：如图12-9，AC、BD相交于点O.
求证：∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D.
证明：在△AOB中， ∠A+ ∠B+ ∠AOB=180 °（三角形三个内角的和等于180 °）.
∴ ∠A+ ∠B=180 °-∠AOB（等式性质）.
在△COD中，同理可得
∠C+ ∠D=180 °-∠COD.
∵∠AOB= ∠COD（对顶角相等）.
∴ ∠A+ ∠B=∠C+ ∠D（等量代换）.
已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.这个命题是真命题还是假命题？
A
D
B
E
C
F
如果是真命题，请给出证明；
如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为真命题.你有几种不同的添加方法？
1．图中两条线段AB与BC的长度相等吗？请你先观察，再度量．
观察AB与BC，容易得到AB比BC长．
经过度量，得到AB=BC，可见直接观察是不准确的．
2．图中两组圆的中央各有一个圆，这两个圆一样大吗？请你先观察，在度量．
观察两个圆，容易得到周围是小圆的圆较大．
经过度量，两个圆的大小是相等的，观察是不准确的．
3．（1）任意写2个相邻偶数，计算较大偶数的平方 减去较小偶数的平方差；
（2）换2个相邻偶数，仿照（1）再试试，你发现了什么？
（3）证实你发现的结论．
（1）例如：取4，2；则42-22=12．
（2）例如：取8，6；则82-62=28．
发现（2（n+1））2-（2n）2=4（2n+1）（n为正整数）．
（3）证明：
取n为正整数，则一偶数为2n，相邻的偶数可取2（n+1）；
（2（n+1））2-（2n）2
=4（n2+2n+1）-4n2
=4（2n+1）．
填写下列推理中的空格（第1、2题）：
1．如图，点A、B、E在一条直线上．
（1）∵∠1=∠3（已知）
∴AB∥DC（ ）；
（2）∵∠DAE=∠CBE（已知），
∴AD∥BC（ ）；
（3）∵∠CDA+∠DAB=180?（已知），
∴AB∥DC（ ）；
（4）∠2=∠4（已知），
∴___________∥___________（内错角相等，两直线平行）；
　
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
AD
BC
（5）∵∠DCB+∠ABC=180?（已知），
∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）；
（6）∵∠DAB+∠ABC=180?（已知），
∴___________∥____________（同旁内角互补，两直线平行）．
AB
DC
AD
BC
2．已知：如图，∠BAD=∠DCB，∠1=∠3．
求证：AD∥BC．
证明：∵∠BAD=∠DCB，∠1=∠3（ ），
∴∠BAD-∠_________=∠DCB-∠_________（等式性质），
即 ∠___________=∠___________．
∴AD∥BC（ ）．
已知
1
3
2
4
内错角相等，两直线平行
3．已知：如图，a∥b，c∥d，∠1=50?．
求证：∠2=130?．
3
4
证明：
在图上另取两个角∠3，∠4，如图所示：
∵ c∥d ，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）；
又∵ a∥b，
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）；
∴∠1= ∠4，
∴∠2=180?- ∠4=180?-∠1=130?
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B．
求证：∠ADE=∠DAE．
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC；
∵∠BAD+∠B= ∠ADE（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和），
∠EAC+ ∠DAC= ∠DAE；
又∵ ∠EAC=∠B，
∴ ∠ADE=∠DAE．
经过刚才的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
小结
（1）根据题意，画出图形.
（2）在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论.
（3）在“证明”中写出推理过程，并且步步有据.
谢谢聆听