12.3 互逆命题（第2课时） 课件（共26张PPT）

12.3 互逆命题
第2课时
第12章 证明
2020-2021学年度苏科版七年级下册
1.命题:
2.结构：
3.命题真假：
回顾
填表
a＝b
a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
a2＝b2
a＝b
⑶如果a＝b，那么a2＝b2.
两直线平行
同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行
同位角相等
两直线平行
⑴两直线平行，同位角相等
结论
条件
命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
我们把其中的一个叫做原命题，
另一个叫做它的逆命题.
说出下列命题的逆命题，并判定原命题
与逆命题的真假.
判断
(1)同位角相等；
相等的角是同位角.
(2)面积相等的三角形全等.
全等三角形的面积相等.
(3)在一个三角形中，等角对等边.
在一个三角形中，等边对等角.
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
真命题
思考：每个命题都有逆命题吗？
真命题的逆命题是真命题吗？
在数学命题中，请举例说出一个原命题是真命题，
逆命题是假命题的例子；
(4)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.
假命题
真
下列说法哪些正确，哪些不正确？
（1）每个命题都有逆命题.
（2）假命题没有逆命题.
（3）真命题的逆命题是真命题.
√
×
×
辨别
例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图12-10，直线a、b、c中，b∥a，c∥a.
求证：b∥c.
证明：作直线d，使它与直线a、b、c都相交.
∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
例2 证明：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图12-11，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形三个内角和等于180°）.
∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质）.
∵∠C=90°.（已知），
∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换）.
即 ∠A+∠B=90°.
⑴任意作一条线段，并画出它的中垂线
⑵线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？
A
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
O
D
C
P
⑶请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
按要求作答：
A
P
B
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且ＰＡ＝ＰＢ.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
O
C
解:　这个命题的逆命题是: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
B
P
P
P
P
P
P
A
作PC⊥AB于点O
证明:
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一性质）
∴PC是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上
⑵当点P在线段AB上，结论显然成立；
⑴当点P不在线段AB上时，
显然，上述两个命题可称为互逆命题.
线段垂直平分线性质定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
A
P
B
几何语言：
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线性质定理的逆命题：
结论
例、写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明逆命题是真命题.
试试
挑战
已知命题：“P是等边三角形ABC内一点.若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC.”证明这个命题，并写出它的逆命题，判断其逆命题成立吗？
举反例说明下列命题是假命题：
（1）如果│a│=│b│，那么a=b；
（2）任何数的平方大于0；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点事这条线段的中点．
（1）取a=-1，b=1，则│a│=│b│=1，而a≠b；则该命题是假命题．　
（2）取x=0，则x2=02=0，则该命题是假命题．　
（3）取∠A=15，∠B=12，则∠A+ ∠B=27，则该命题是假命题．
（4）取直线外一点a，令到直线的距离相等，但是该点不是线段的中点，则该命题是假命题．
1．（1）如图，AB∥CD，AB、DE相交于点G，∠B=∠D．
在下列括号内填写推理的依据：
∵AB∥CD（已知）
∴∠EGA=∠D（ ）．　
又∵∠B=∠D（已知）
∴∠EGA=∠B（ ）．　
∴DE∥BF（ ）．
两直线平行，同位角相等
等价的传递性
同位角相等，两直线平行
（2）上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？
1）．两直线平行，同位角相等．　
2）．同位角相等，两直线平行．
2．（1）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90?，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
求证：CD⊥AB．
证明：
∵ ∠ACD+∠DCB= ∠ACB=90?，
∠ACD=∠B，
∴ ∠DCB+ ∠B =∠ACB=90?；
又∵∠CDA= ∠DCB+ ∠B =90?，
∴ CD⊥AB．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
交角为90?的两条直线垂直；
两条直线相互垂直，交角为90?．
判断下列说法是否正确：
（1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题． （ ）
（2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题． （ ）
（3）每个命题都有逆命题． （ ）
（4）“面积相等的两个三角形是全等三角形”与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形”是一对互逆命题 ． 　（ ）
×
×
√
×
练 一 练
练习：
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90°.
求证：AB∥CD.
证明：∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90°.（已知）
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°.
（三角形内角和等于180°）
∴∠BAC+∠ACD=180°.（已求）
∴ AB∥CD.（同旁内角互补，两直线平行）
2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上的一点.过点D作DF⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为点F，E.求证：∠FDE=∠C .
证明：
∵ ∠B=∠C， DF⊥BC，DE⊥AB.
∴∠EDB=∠CFD，（同角的余角相等）
∴∠C+∠CFD=∠C+∠EDB
=∠EDF+∠EDB=90°.
∴∠FDE=∠C .
谈谈本节课的收获
谢谢聆听