9.4 矩形、菱形、正方形（第1课时） 课件（共38张PPT）

9.4 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形
第9章 中心对称图形——平行四边形
2020-2021学年度苏科版八年级下册
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补.
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形.
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
一个角是
直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形
四边形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形的一般性质：
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD 即矩形的对角线相等
求证:矩形的对角线相等
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
A
B
C
D
O
矩形的性质
如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.
A
D
C
B
O
小试牛刀
O
D
C
B
A
相等的线段：
AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
已知四边形ABCD是矩形
例1 已知：如图9-20，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.
求证：△AOB是等边三角形．
证明：四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等）,
∴
（矩形的对角线互相平分）
∵ 即
∴
△ABC是等边三角形．
　矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( )
B.对边相等
A.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
营中热身
已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
AB= _____cm
O
D
C
B
A
5
10
4
营中寻宝
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
你还有其它的判定方法吗？
□ ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
情境一：李芳同学由“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
解：∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝4 cm，
∴AC＝BD＝2AO＝8 cm.
1.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形对角线的长.
A
B
D
O
C
证明：∵CE∥DB，∴∠E＝∠ABO，
又矩形对角线相等且互相平分，
∴AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝∠E，
在△AEC中，AC＝EC.
2.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.
求证：AC＝EC.
A
B
D
O
C
E
证明：∵ABCD是矩形，
∴对角线互相平分且相等，∴AO=BO=CO=DO，
又AE=BF=CG=DH，
∴可得EO=FO=GO=HO，∴在EFGH中，对角线互相平分且相等，
故而EFGH是矩形.
1.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点E 、 F 、 G 、 H分别在OA 、 OB 、 OC 、 OD上，且AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
A
H
E
G
F
B
D
C
O
答：可通过测量角度来判定，矩形四个角都是直角.请同学们自由发挥，还有什么其他的判定方式.
2.怎样判断四边形的窗框（如图）是不是矩形？说说你的理由.
1.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交点O，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.
求证：OE=OF=OG=OH.
O
E
F
G
H
B
A
C
D
证明：依次连接各个中点，∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵点E、H分别是AD、AB的中点
∴EH∥BD
同理EF∥AC
∴EH⊥EF
即∠FEH=90?
∴四边形EFGH是矩形，
矩形对角线相等且互相平分,
∴OE=OF=OG=OH.
D
B
C
A
H
E
F
G
O
证明：菱形面积即为由对角线所切割的四个三角形的面积之和，
∴SABCD=SAOD+SCOD+SABO+SCBO
又上述四个三角形均为直角三角形，
∴SAOD=1/2·AO·DO，
∴SABCD=1/2（AO+CO）（BO+DO），
∴原命题得证.
D
B
C
A
H
E
F
G
O
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
情境二：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明:
∵ AB=CD， BC=BC， AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
对角线相等的平行四边形是矩形 .
矩形的判定方法：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴
∵DC=DA，DF平分∠ADC，
∴DF⊥AC，
即 ∠DFC=90°.
同理∠DEC=90°.
∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
例2 已知：如图9-22，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.
求证：四边形DECF是矩形．
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
X
X
X
X
如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
M
平行四边形ABCD，E是CD的中点， △ABE是等边三角形.
求证:四边形ABCD是矩形.
D
A
B
C
E
知识总结
性质
判定
边
两组对边分别平行
两组对边分别相等
有一个角是直角的平行四边形是矩形
角
矩形的四个角都是直角
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线
矩形的两条对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形
(矩形)
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
两条对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
我的收获
谢谢聆听