9.4 矩形、菱形、正方形（第6课时） 课件（共23张PPT）

第6课时
9.4 矩形、菱形、正方形
第9章 中心对称图形——平行四边形
2020-2021学年度苏科版八年级下册
画一画，猜一猜
　请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形.
正方形


定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫做正方形.
一个角是直角
一个角是直角
一个角是直角，一组邻边相等
一组邻边相等
一组邻边相等
平行四边形的对边平行且相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
性质：
特有性质：
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
特有性质：
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互
相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角
性质：
正方形两组对边平行，
四条边都相等
正方形的四个角都是直角
正方形的对角线相等，互
相平分且垂直，并且每一
条对角线平分一组对角
正方形中：（按组说）
1、相等的边有哪些？
2、相等的角有哪些？
3、等腰三角形有哪些？
4、直角三角形有哪些？
5、全等三角形有哪些？
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
例5 已知：如图9-30，在正方形ABCD中，点A′、
B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A'B'C'D'是正方形．
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=DA（正方形的四个角都是直角，四条边相等）.
∵AA′=BB′=CC′=DD′，
∴D′A=A′B=B′C=C′D.
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴∠2=∠3，D′A′=A′B′=B′C′=C′D′.
∴四边形A′B′C′D′ 是菱形（四边相等的四边形是菱形）
∵∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°
∵∠2=∠3，
∴∠1+∠3=90°.
∴∠D′A′B′=90°.
∴菱形A'B'C'D'是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
1、 已知：如图22-6-2，在正方形ABCD中，点E在
对角线AC上．
求证：BE=DE
证明：在△AED和△AEB中，
∵AD=AB，AE=AE,
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴△AED≌△AEB,
∴BE=DE.
2、 已知：如图22-6-3，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形．
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
证明：∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠ABE=∠DCE=30°.
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°.
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
1、已知:正方形ABCD中，点E、F、G 、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫做正方形.
2、如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN.　　　　　　　　　
你能完成证明吗???
　AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °　　条件够吗？
　　还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有：
3、如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN.　　　　　　　　　
证明：
　　∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ，
　　　∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
下面大家自己完成证明.
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相　　　　　　　交于点O，且AB＝acm，如图(2).
　求：AC的长及正方形的面积S.　　　　　　　　　　　
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
　BD相交于点O，且AC＝6 cm，如图
求：正方形的面积S.　　　　　　　　　　　
4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形，只须证△MDF是等腰三角形，即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试
看能不能完成证明???
△CMD≌△ADF
5、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
证明：
　∵CE⊥AF
∴∠ADC＝∠AEM＝90°
又∵∠CMD＝∠AME
∴∠1＝∠2
　又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC
　∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(AAS)
∴DM=DF

下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H.
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
证明：
6、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N.
求证：∠CEA＝∠ABG　　　　　　　　　　　　　　　
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形.
　　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°
　　　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
　　　　 ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
　　　　∴∠EAC＝∠BAG
　　　　∴△AEC≌△ABG　(SAS)
　　 ∴∠CEA＝∠ABG
7、已知:正方形ABCD中，点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上，且AE=BF=CG=DH，试判断四边形EFGH是正方形吗？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
在正方形ABCD中，AC是对角线，AE平分∠BAC，试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
G
F
E
D
A
B
C
谢谢聆听