［精品］高中数学选修2-1单元测试同步试卷［全套］［人教A版］
文档属性
| 名称 | ［精品］高中数学选修2-1单元测试同步试卷［全套］［人教A版］ |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-12-20 11:39:26 | ||
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文档简介
高中数学选修2-1单元测试同步试卷全套
第一章 常用逻辑用语测试题
1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
真命题与假命题的个数相同 B、真命题的个数一定是奇数
C、真命题的个数一定是偶数 D、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
2、下列命题中是真命题的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④
3、“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）
A、充分不必要条 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
4、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
5、函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A、ab＝0 B、a＋b=0 C、a＝b D、a2＋b2＝0
6、“”是“直线(+2)x+3y+1=0与直线(+2)x+(-2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
7、若""和""都是真命题,其逆命题都是假命题，则""是""的（ ）
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
8、在下列结论中，正确的是（ ）
①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
9、下列命题中: ①、若m>0，则方程x2－x＋m＝0有实根； ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题；③、对任意的x∈{x|-20是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件；其中是真命题的有
10、设集合，那么点P（2，3）的充要条件是
11、若把命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，其中构成它的两个简单命题分别是_______________________________________________。
12、写出下列命题的否定：
（1）所有自然数的平方是正数
（2）任何实数x都是方程5x-12＝0的根
（3）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0
（4）有些质数是奇数
13、已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题； (2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
14、已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
15．已知,求证的充要条件是
16、（12）已知c＞0，设p：函数在R上单调递减；q：不等式＞1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的取值范围。
新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；
17．（12分）给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
19．（14分）设020．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．
参考答案
一、
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以．
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q：，，但不满足q，故选项为B．
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①PA，②BP，B是P的充分非必要条件，③CP，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④DP，PD，D是P的必要不充分条件．
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．
二、
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=AAB但不能得出AB，∴①不正确；
②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．必要不充分．
三、
15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.
17．解：对任意实数都有恒成立
；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.
新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；
17．（12分）给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
19．（14分）设020．（14分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.．
参考答案
一、
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以．
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q：，，但不满足q，故选项为B．
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①PA，②BP，B是P的充分非必要条件，③CP，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④DP，PD，D是P的必要不充分条件．
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．
二、
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=AAB但不能得出AB，∴①不正确；
②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．必要不充分．
三、
15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.
17．解：对任意实数都有恒成立
；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.
第一章 常用逻辑用语 同步测试
（共100分）
一．选择题（每题7分）
1．下列语句中，是命题的个数是( )
①|x+2| ②－5∈Z ③πR ④{0}∈N
A.1 B.2 C.3 D.4
2．若命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )
A.p且q B.p或q
C.非p D.非p且非q
3．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数 D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
4．若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A 或为假 B 假
C 真 D 不能判断的真假
5．a<0,b<0的一个必要条件为( )
A. a+b<0 B. a－b>0
C.>1 D. >－1
二．用“充分、必要、充要”填空（每题6分）
6．已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；
命题， 则的 条件
7. p是q的充分不必要条件， r是q的必要不充分条件，那么p是r的____________条件
8．“”是“”的__________条件
9．为真命题是为真命题的_____________________条件；
三．解答题（13+14+14）
10． 写出下列命题的“”命题：
（1）正方形的四边相等
（2）平方和为的两个实数都为
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角
（4）若，则中至少有一个为
11．已知:b=0,q:函数是偶函数.
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
12．设p: ，则P是什么条件？
B组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1. 有下列四个命题：
①“若 , 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
A ①② B ②③
C ①③ D ③④
2． 设集合,那么“,或”是“”的（ ）
A 必要不充分条件 B 充分不必要条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3．“”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
4．下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆否命题;
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④
5. 在集合{x| mx的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（ ）
A. m B.m<0或m=1 C.m<1 D. m或m=1
二．填空：（每题6分）
6．命题：“若都是偶数，则不是偶数”逆否命题是
7．已知命题，，则是_____________________
8．写出 x<4 的一个必要不充分条件_____________________________.
9．下列四个命题①,
②,是有理数.
③，使
④，使
所有真命题的序号是_____________________.
三．解答题（13+14+14）
10．已知a，b，c都是实数，证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11．已知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围
12．已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围
C组题（共50分）
1．若,使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A B C D
2．若关于的方程有一正一负两实数根，则实数的取值范围_____________
3. 设.求证：不同时大于
4．命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根 若“或”为真命题，求的取值范围
参考答案
A组题（共100分）
一．选择题：
1．C 2．B 3．C 4．B 5．A
二．填空：
6．必要 7．充分
8．充分 9．必要
三．解答题：
10．解：（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为的两个实数不都为；
（3）若是锐角三角形， 则的某个内角不是锐角
（4）若，则中都不为；
11．“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p是q的充要条件.
12．解：∵p:A={x︱-5 1}，：B={ x︱}， A是B的真子集.
∴p是的充分不必要条件.
B组题（共100分）
一．选择题：
1．C 2．A 3．A 4．B 5．D
二．填空：
6．若是偶数，则不都是偶数。
7．，使
8． x<0
9．①，②，④
三．解答题：
10．证明：
(1)充分性：若ac＜0,则Δ=b2－4ac＞0.
方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根，设为x1,x2. ∵ac＜0,∴x1x2=＜0.
即x1、x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
(2)必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1＞0,x2＜0,则x1x2=＜0,∴ac＜0.
由(1)(2)知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.解：
是的必要非充分条件，，即，又，得
12.解：假设三个方程：都没有实数根，则 ，即 ，得
C组题（共50分）
1．D
2．
3．证明：假设都大于，即
，而
得
即，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立
4．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题
当为真命题时，则，得；
当为真命题时，则
当和都是真命题时，得
曲线和方程
学习目标：
1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.
2、会判定一个点是否在已知曲线上.
一、知识回顾并引题：
二、自学课本并记下重点，积极思考问题：
三、自我检测：
1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是吗？
2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是，，。中线为原点）的方程是吗？为什么？
3、已知方程的曲线经过点和点，求、的值。
四、提问、答疑，共同解决：
五、例题分析：
1、若曲线上的点的坐标满足方程，则下列说法正确的是 （ ）
A.曲线的方程是 B.方程的曲线是
C.坐标不满足方程的点都不在曲线上
D. 坐标满足方程的点都在曲线上
2、已知在曲线上，P也在曲线上，
求证：点P在曲线上（）
六、课后作业：
1、点，，是否在方程的图形上？
2、解答下列问题，并说明理由：
（1）点是否在方程所表示的曲线上；
（2）已知方程 表示的曲线F经过点，求m的值。
3、（1）求方程的曲线经过原点的充要条件是 。
（2）求方程的曲线经过原点的充要条件 。
4、（1）已知：，点在曲线上，则的值是 ；
（2）方程表示的图形是 。
5、方程表示的图形是 （ ）
A.两条平行直线 B.两条相交直线
C.有公共端点的两条射线 D.一个点
6、“点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7、若直线与的交点在曲线上，则的值是 。
★★8、求方程所表示的曲线。
★★9、画出方程所表示的曲线。
求曲线的方程
学习目标：
1.进一步熟练求轨迹方程的一般步骤.
2.巩固直接法，学习代入法求轨迹。
一、巩固练习：
1、求曲线方程的一般步骤：
2、练习：
（1）已知两点A（1，0）、B（-1，0），求到A点与到B点距离之比为2的点的轨迹方程。
（2）求到两定点）（0，0）A（2，0）的距离的平方差为1的点P的轨迹方程。
（3）求到点F（0，-2）的距离比到直线y=3的距离小1的点的轨迹方程。
二、例题分析：
例1、已知两定点间的距离为，求到这两个定点距离之比为m的点的轨迹方程。
例2、过点A（1，0）作直线交已知直线于点B，在线段AB上取一点P，使得AP：PB=1：3，求P点的轨迹方程。
练习：已知点P是曲线上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程。
例3、（1）求曲线，关于点M（2，-1）对称的曲线方程。
（2）求曲线关于直线对称的曲线方程。
练习：1、求直线与曲线的交点的坐标。
2、曲线：关于直线对称的曲线方程为____________________。
高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题
一、选择题
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
2．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
答案：Ｃ
3．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
4．已知双曲线的离心率为，则的范围为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
7．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为 ．
答案：
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
答案：
9．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为 ．
答案：7
10．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为
．
答案：
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为 ．
答案：
12．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 ．
答案：
三、解答题
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程．
答案：解：设所求抛物线的标准方程为，，
则或．
故所求方程为或．
14．如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，
，，且，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
解：设，动点的坐标为，
则．
令，则，，
显然当，即时，有最大值，为原点时，取得最小值0．
故的取值范围为．
抛物线
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1=0
C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0
3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．m B． 2m C．4.5m D．9m
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x
C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C．4a D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 ．
12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
17．动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
20．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．(14分)
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B C B A C C C
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．2 12． 13．（1，0） 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得
消去，得轨迹方程为，即
18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为，由题意可知，
B（4，-5）在抛物线上，所以，得，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米
19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为，
其中分别为A、B的横坐标，．
所以，． 由，得
①
②
联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．
因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去． ∴p=4，．
由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．
20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，
得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，
则 又，
∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ．
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得
， ．
∴ ． 又 为等腰直角三角形，
∴ ， ∴
即面积最大值为
新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于 （ ）
A．85 B． C． D．50
4．与向量平行的一个向量的坐标是 （ ）
A．（，1，1） B．（－1，－3，2）
C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则= （ ）
A． B．
C． D．
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8．空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cos= （ ）
A． B． C． D．0
9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
10． 已知，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．
12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 ．
13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是 ．
14．已知向量，，若成1200的角，则k= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．
16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值
17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．
18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积；
（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：
（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．
19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；
（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
参考答案
一、1．A；解析：=+（－）=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．
3．B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．
4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．
5．C；解析：，计算结果为－1．
6．B；解析：显然．
7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
8．D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．
9．D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．
10．C；
二、
11．；解析：，得，可得结果．
12． ；
解析：
13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．
14．；解析：，得．
三、
15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．
由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．
根据空间两点距离公式，可得
．
16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.
∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.
（2）依题意：，
所以.
设向量和的夹角为θ，则
cosθ=.
17． 证：如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：
展开得
∴，∵≠，≠，
∴⊥（）即SA⊥BC．
同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．
18． （1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.
又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.
∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.
（2）解：设与的夹角为θ，则
cosθ=
V=||·||·sinθ·||=
（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=
∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
20．（1）证明：设=，=，=，则| |=||，∵=－，
∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，
∴C1C⊥BD.
（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.
∵（+），（+）－
∴·（+）·［（+）－］
=（2+2·+2）－·－·
=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.
则||=，||=，∴cosC1OC=
（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.
∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C
∴只须求满足：=0即可.
设=，=，=，
∵=++，=－，
∴=（++）（－）=2+·－·－2=－6，
令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.
评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.2）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．105° D．75°
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）
A． B． C ． D．
5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（ ）
A． B．
C． D．
6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （ ）
A． B． C ． D．
7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （ ）
A． B． C． D．
9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 （ ）
A． B． C ． D．
10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V （ ）
A． B． C ． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 ．
12． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 ．
13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 ．
14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小
16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．
（1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A1到平面的BDEF的距离；
（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．
19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：
（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；
（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．
20．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．
(1)求证：平面EFG∥平面A CB1，并判断三角形类型；
(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．
参考答案
一、1．B；2．A；3．A；4．C；
分析：建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，．
，．
令向量，且，则，
，，
，．
异面直线和之间的距离为：
．
5．A；分析：
为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则
=
== ．
6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，
设平面的一个法向量，则，即，
，平面与平面间的距离
7．D；
8．B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
设，
则 ，，，
∴ ， ， ，，
∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，
∴ 平面ABD， ∴ ，解得 ．
∴ ， ，
∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量．
由
∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为．
评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足．
9．A；取BC的中点O，连AO．由题意 平面平面，，
∴平面，
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，
则 ，，，，
∴ ， ， ，
由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量．
设 平面的法向量为 ，
则 ， ∴ ， ∴ ，
即 ． ∴ 不妨设 ，
由 ，
得． 故所求二面角的大小为．
评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．
10．C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，
则 ， ，
，，
∴ ，，
， 图10
∴ ，
∴ ，
所以 ，
设 平面的方程为：，将点代入得
， ∴ ，
∴ 平面的方程为：，其法向量为
， ∴点到平面的距离，
∴ 即为所求．
评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到．
（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．
二、
11．分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．
12．分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
，；
设面的法向量为，
则有：，
，
，又，所以点到截面的距离为=．
13．1；解：如图建立空间直角坐标系，
＝（1，1，0） ，＝（0，，1）， ＝（1，0，1）
设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：
即 x＋y＝0
y＋z＝0
令x＝1, y=－1, z=, 取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离
14．解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
三、
15． 解：如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）
设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，
由 可解得＝（1，1，1）
易知＝（0，0，1），
所以，＝
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 －arccos．
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
16．证明：如图建立空间直角坐标系，
则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）
＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）
设，，（、、 ，且均不为0）
设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
由 可得 即
解得：＝（1，1，－1）
由 可得 即
解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，
所以平面A1EF∥平面B1MC．
注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．
17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．
（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．
于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）
于是，={－a，a，0}
设与的夹角为θ，则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为．
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
18．解：（1）略．
（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,
则知B（1，1，0），
设
得则
令．
设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．
即点A1到平面BDFE的距离为1．
（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则△A1HD为等腰直角三角形，
19．解：建立坐标系如图，则、，，
，，，，，
，，．
（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，
∵
∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为 （即）．
（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，
∵ ，∴ 二面角D－BC1－C的大小为．
（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为．
20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)
(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．
证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．
∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），
∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，
∴⊥ ，
同理 ⊥，
而与不共线且相交于点A，
∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，
∴ 平面EFG∥平面ACB1；
又因为⊥平面EFG，所以 ⊥，
则·=0，
即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，
化简得 xE－yF=0；
同理 xE－zG=0, yF－zG=0，
易得 ==，
∴ △EFG为正三角形．
(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，
∴=
= ·sin600
= (·a)2·
=·a2 ．
此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，
所以异面直线EF与B1C的距离设为d是
d = ==·a．
(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)
单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． 2 D．4
2. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的渐近线l方程为，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为
A．2 B． C． D．2
4、直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ）
5、若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点， 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
7、设离心率为的双曲线（，）的右焦点为，直线过点且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
（实验班）已知定点M（1，给出下列曲线方程：
4x+2y-1=0 ②③④在曲线上存在点P满足
的所有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
8、双曲线两条渐近线的夹角为60 ，该双曲线的离心率为（ ）
A．或2 B．或 C．或2 D．或
9、若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、椭圆上一点M到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
（实验班做）如图，双曲线＝1的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）
注意事项：
⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号 二 三 总分
15 16 17 18
分数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.抛物线的焦点坐标是 ；
12. 椭圆和双曲线的公共点为是两曲线的一个交点, 那么的值是__________________。
13. 椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为 __________
（实验班做）双曲线和直线有交点，则它的离心率的取值范围是______________
14.若焦点在轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数的取值范围是_______________
三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。
16. （12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
（实验班做）已知向量m1=（0，x），n1=（1，1），m2=（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），
又设向量m=m1+n2，n=m2－n1，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
17. （13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由．
18. （13分） 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C B D A B B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。
11．；12． 13. 实验班 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（I）设椭圆方程为
解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 ………………4分
（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得
………………………… 5分
由题意得 ………………………7分
解得 又直线l与坐标轴不平行 ……………10分
故直线l倾斜角的取值范围是 ……………12分
16.解：设点，则依题意有，…………………3分
整理得由于，所以求得的曲线C的方程为…………………………5分
（实验班做）（I）由已知，
…………………………………4分
………………………………5分
即所求曲线的方程是：………………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.…………………9分
由
…………………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.………………………………12分
17.解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．…………………………4分
（2）假若存在这样的k值，由得．
∴． ①
设，、，，则 ②
…………………………………………8分
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分
∴ ． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
18解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．
∴ 两交点坐标为 ，、，．
∵ △PFQ为等边三角形，则有（如图）．
∴ ，即．
解得 ，c＝2a．∴ ．…………………………………………7分
（2）由（1）得双曲线C的方程为把．
把代入得．
依题意 ∴ ，且．
∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
∵ ． ∴ ．
整理得 ．
∴ 或．
∴ 双曲线C的方程为：或
．……………………………13分
第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么 （ ）
（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
（B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上
（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0
（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=0
2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）
（A）x–y= 0 （B）x + y=0 （C）|x|=|y| （D）y=|x|
3．已知椭圆方程为，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ ）
（A）2 （B）2 eq \r(2–|m|) （C）2 （D）2 eq \r(|m|–2)
4．已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于 （ ）
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
5．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )
（A） （B）
（C） (D)
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．椭圆的一个焦点是，那么
7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 .
8．已知点（0, 1)在椭圆内，则m的取值范围是 .
9．椭圆的准线平行于x轴, 则m的取值范围是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．直线x–y–m= 0与椭圆有且仅有一个公共点，求m的值.
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6, 且cos∠OFA= , 求椭圆的方程.
12．若一个动点P(x, y)到两个定点A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程.
(1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ）
（A）3x–4y=0, 且x＞0 （B）4x–3y=0, 且0≤y≤4
（C）4y–3x=0,且0≤x≤3 （D）3y–4x=0,且y＞0
15．椭圆的焦距为2,则m的值等于 （ ）
（A）5或3 （B）8 （C）5 （D）16
16．已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB, 若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e= EQ \F(,2), 则椭圆的方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．若椭圆的离心率为, 则m的值等于 （ ）
（A）18或 （B）18或 （C）16或 （D）16或
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．方程表示椭圆，则k的取值范围是 .
19．椭圆＋＝1上有一点P到一条准线的距离是，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积等于 .
20．已知P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P的横坐标是 。
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为|OB|，则椭圆的离心率等于 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.
23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24. 已知椭圆,P为该椭圆上一点.
(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；
(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且,求的值.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题，每题5分。
25．若实数x，y满足，则x2 + y2有 （ ）
（A）最小值，无最大值 （B）最小值，最大值16
（C）最小值0，无最大值 （D）最小值0，最大值16
26．已知θ∈(0, ), 方程x2sinθ + y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 .
解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由
28．已知直线l: 6x－5y－28=0交椭圆于M , N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得 并证明你的结论.
参考答案
A组
一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A
二、6．1
7．答：. 由解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为.
8．答：[1, 5)(5,+∞).
9．答：m＞1. ∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴,
解得m＞1.
三、10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0,
令△＝0，解得m＝±.
11．解：依题意cos∠OFA= ＝，又2a＝6 , ∴a＝3，c=2，b2＝5.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，椭圆方程为.
12．解：设P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,
即.
(1)当m＝4时，由
化简得点P的轨迹方程是：
.
(2)当m＝2时，由
化简得点P的轨迹方程是：
y=0，（－1≤x≤1)
(3)m＝1时，
无解，∴点P的轨迹不存在.
B 组
13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
18．答：(–16, 4)(4, 24). 由k ∈(–16, 4)(4, 24).
19．答：3. ∵e＝，|PF1|＝e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=,
∴△PF1F2面积等于|PF1|·h＝3.
20．答：x=±. 设P(x,y)，由·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±.
21．答：e＝. ∵ F1(－c, 0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为，e＝，∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
22．分析 因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–，即可得到动点C的轨迹方程.
解 设C(x, y), 则
（x≠±5）
由
所以动点C的轨迹方程为
(x≠±5）
23．解：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y－1=,即，设Q（x,y），则，
解得
所以存在，Q的坐标为。
24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e =.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为,
又两准线间距离为,∴P到右准线的距离为.
(2)由椭圆定义得…①;
又…②,
由①,②联立可解得;在
中,,
∴,
∵为锐角,,
∴.
C组
25．选D.
26. 答：θ∈(, ). 椭圆方程化为,∵椭圆焦点在y轴上，∴
∴, 又θ∈(0, ),∴θ∈(, ).
27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ①
设， ，，则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
28．解 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减得……①,
由,得x1+x2=3c, y1+y2=－b,代入①
得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 …… ③;
由②③解得(b为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,
因此椭圆方程为:.
（2）证明: ,
∴,
∴使的点P不存在.
说明：第23题为2007年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.
第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程所表示的曲线是 （ ）
（A）双曲线 （B）椭圆
（C）双曲线的一部分 （D）椭圆的一部分
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是 （ ）
（A） （B）1或–2 （C）1或 （D）1
3.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ）
（A）2 （B） （C） （D）
4. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为 （ ）
（A）x2=–28y （B）y2=28x （C）y2=–28x （D）x2＝28y
5. 抛物线y2= 4x上一点P到焦点F的距离是10, 则P点的坐标是 （ ）
（A）（9, 6） （B）（6, 9） （C）（±6, 9） （D）（9,±6）
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．双曲线的两个焦点分别为F1、F2, 双曲线上的点P到F1的距离为12, 则P到F2的距离为 .
7．双曲线的焦点到渐近线的距离等于 .
8．经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .
9．已知点P(6, y)在抛物线y2=2px (p＞0)上，F为抛物线焦点， 若|PF|=8, 则点F到抛物线准线的距离等于
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．双曲线（a>0,b>0），过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求 △ABF2的周长.
11．焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,–3)到焦点的距离为5, 求抛物线的标准方程.
12．已知抛物线y2=6x, 过点P(4, 1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
14．设0＜k＜a2, 那么双曲线与双曲线 有 （ ）
（A）相同的虚轴 （B）相同的实轴 （C）相同的渐近线 （D）相同的焦点
15．抛物线y= x2 (a≠0)焦点坐标是 （ ）
（A）(0, )或(0, –) （B）(0, ) （C）（0 , )或(0,–) （D）(0, )
16．若抛物线y2= 2px (p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p的值等于 （ ）
（A）2或18 （B）4或18 （C）2或16 （D）4或16
17．过抛物线y2= 2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是 （ ）
（A）相交 （B）相离 （C）相切 （D）不能确定
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 .
19．若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则该双曲线的方程为 ．
20．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .
21．点M到点F(0, –2)的距离比它到直线l：y–3=0的距离小1, 则点M的轨迹方程是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.
23．双曲线 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab=;(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.
24．过抛物线y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB, 抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P, 求动点P的轨迹方程.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题。
25．双曲线右支上一点Ｐ(a, b)到直线l：y = x的距离则a+b= （ ）（A）– （B） （C）或 （D）２或–2
26．已知抛物线y2=–x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是 .
解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27. 直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点（－2,0）和AB的中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.
28．如图所示，点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：
参考答案
A组
一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D.
二、6、答：2或22. ||PF2|－12|=2a=10，∴|PF2|＝12±10.
7、答：2. 焦点F(3, 0)到渐近线2x－y＝0的距离为 = 2.
8、答：y2=x或x2=–8y. 当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2=ax，P点代入解得a＝1；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为x2=ay，P点代入解得a＝－8. ∴抛物线方程为y2=x或x2=–8y.
9、答：4. 由|PF|=6＋＝8,得p=4，即焦准距等于4.
三、10. 解 ∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|AF1|＝2a，
∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a,
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，
∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)=4a＋m.
∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
11、 解：依题意，设抛物线方程为为x2=－2py (p>0)
点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x轴的距离为2，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2=–8y.
12、解：设l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，由y12=6x1、y22=6x2，
得 (y1－y2)(y1+y2)=6(x1－x2)，
又P(4, 1)是A、B的中点，∴y1＋y2=2，
∴直线l的斜率k= ＝3，∴直线l的方程为3x–y–11= 0.
B组
四、13、选A. 设P到右焦点的距离为|PF1|＝8，则P到左焦点的距离|PF2|＝2a＋|PF1|＝24.
e＝，∴P到左准线的距离d＝＝.
14、选D.
15、B. 将抛物线方程化为x2= ay，当a>0时，p＝，焦点为(0, )，
当a<0时，p＝－，焦点为(0, －)，也是(0, ).
16、A.
17、C. 设AB中点为M，AD⊥l于D，BC⊥l于C，MN⊥l于N. ∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=(|AD|+|BC|)=|AB|,∴以AB为直径的圆于抛物线的准线l相切.
五、18、(1, +∞), ∵双曲线的焦点在y轴上，∴, ∴k>2.
∴c2=k－1＋k－2＝2k－3>1，∴c>1.
19．．
20. 答：. ∵ OA的垂直平分线的方程是，令y=0得到抛物线的焦点为（， 0），∴抛物线的准线方程为.
21、答x2=–8y. 设M(x,y), 依题意，且y<3.
化简得x2=–8y.
六、22. 解 设双曲线方程为y2－3x2=k (k0),
当k>0时，a2=k,b2=,c2=此时焦点为(0,),
由题意得3=,解得k=27，双曲线方程为 y2－3x2=27；
当k<0时，a2= －,b2=－k,c2= －,此时焦点为(,0),
由题意得3= ,解得k=－9,双曲线方程为y2－3x2=－9,
即3x2－y2=9.
∴所求双曲线方程为
y2－3x2=27或3x2－y2=9.
23. 解:设直线l: y= (x－c)，令x=0，得P(0, ),
设λ= ，Q(x,y)，则有，
又Q()在双曲线上, ∴b2(c)2－a2(－c)2= a 2b2,
∵a2+b2=c2,∴, 解得=3,又由ab=,可得,
∴所求双曲线方程为.
24、解法一：设
由消去y得：，.
∵OA ⊥OB，∴∴，
所以,b≠0，
∴ b＝1，∴ 直线AB过定点M(0, 1),
又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为.
解法二：设P(x,y)，lOB ：，lOA ：，分别代入y= x2，
得.
由得，消去k得点P的轨迹方程为
.
C组
七、25、选B. ∵点P在直线l：y = x的下方，所以b26、答：直角三角形. 由得，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∵x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1－+1)=0，
∴·＝0，∴OA⊥OB，所以△AOB是直角三角形.
八、27. 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+1与x2－y2=1联立得
(1－k2)x2－2kx－2=0…………①,
又1－k20,方程①有两个不大于－1的不等实根,
∴, 即,
解得1直线l的方程为y=, 截距b= ,
∴
28、解：（1）设
则
由 ①
0，0，即并代入①，
得为所求.
（2）设l的方程为
设则
说明：1、第15题为2007年广东高考理科数学试题.
3、第23题为自编题，揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规律.
2、第28题改编题，综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是这类问题命题的一个趋势.
第三章 空间向量与立体几何
一、选择题
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，，，
则<>的值是（ ）
A． B． C．－ D．
二、填空题
1．若向量，则__________________。
2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量，若，则______；若则______。
4．已知向量若则实数______，_______。
5．若，且，则与的夹角为____________。
6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。
7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。
8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 。
空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）
1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设.
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.
由于，
在三棱柱中有
,
设
又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
第三章 空间向量
一、选择题
1．D 而零向量与任何向量都平行
2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3．C
4．A ，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5．C
，当时，取最小值
6．D
二、填空题
1． ，
2．垂直
3．若，则；若，则
4．
5．
6．
7．
8．
设
则，而另可设
，
空间向量练习题1
选择题：
1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．若向量、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是 （ ）
A． B． C． D．
4．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
则△BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不确定
5．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B．
C． D．
二．解答题：
6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
求证：MN⊥平面PCD
7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
8．长方体中，，为与的交点，
为与的交点，又，求长方体的高．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，
求证：EF⊥平面B1AC
10．在正方体中，为的中点，求异面直线和间的距离.
11．已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与
第一章 常用逻辑用语测试题
1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
真命题与假命题的个数相同 B、真命题的个数一定是奇数
C、真命题的个数一定是偶数 D、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
2、下列命题中是真命题的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④
3、“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）
A、充分不必要条 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
4、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
5、函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A、ab＝0 B、a＋b=0 C、a＝b D、a2＋b2＝0
6、“”是“直线(+2)x+3y+1=0与直线(+2)x+(-2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
7、若""和""都是真命题,其逆命题都是假命题，则""是""的（ ）
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
8、在下列结论中，正确的是（ ）
①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
9、下列命题中: ①、若m>0，则方程x2－x＋m＝0有实根； ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题；③、对任意的x∈{x|-2
10、设集合，那么点P（2，3）的充要条件是
11、若把命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，其中构成它的两个简单命题分别是_______________________________________________。
12、写出下列命题的否定：
（1）所有自然数的平方是正数
（2）任何实数x都是方程5x-12＝0的根
（3）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0
（4）有些质数是奇数
13、已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题； (2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
14、已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
15．已知,求证的充要条件是
16、（12）已知c＞0，设p：函数在R上单调递减；q：不等式＞1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的取值范围。
新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；
17．（12分）给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
19．（14分）设0
参考答案
一、
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以．
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q：，，但不满足q，故选项为B．
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①PA，②BP，B是P的充分非必要条件，③CP，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④DP，PD，D是P的必要不充分条件．
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．
二、
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=AAB但不能得出AB，∴①不正确；
②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．必要不充分．
三、
15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.
17．解：对任意实数都有恒成立
；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.
新人教A版高二数学同步测试（1）—（2-1第一章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 （ ）
A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0
2．“至多有三个”的否定为 （ ）
A．至少有三个 B．至少有四个 C．有三个 D．有四个
3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在 （ ）
A．金盒里 B．银盒里
C．铅盒里 D．在哪个盒子里不能确定
4．不等式 对于恒成立，那么的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．“a和b都不是偶数”的否定形式是 （ ）
A．a和b至少有一个是偶数 B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数 D．a和b都是偶数
6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 （ ）
A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福
C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们不幸福
7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则 （ ）
A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假
8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）
A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
10．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．下列命题中_________为真命题．
①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
12．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为___ _____．
13．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件,q是s的充分条件，则s是q的 条件，r是q的 条件，p是s的 条件．
14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的 条件．
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数．
16．（12分）写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假．
（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；
17．（12分）给定两个命题,
：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
18．（12分）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
19．（14分）设0
参考答案
一、
1．D；解析：若a2+b2=0，即a=b=0时，f（－x）=（－x）|x+0|+0=－x|x|=－f（x）
∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的充分条件.又若f（x）为奇函数即f（－x）=－x|（－x）+a|+b=－（x|x+a|+b），则必有a=b=0，即a2+b2=0，∴a2+b2=0是f（x）为奇函数的必要条件.
2．B；提示：这是一个含有量词的命题的否定．
3．B；本题考查复合命题及真值表．解析：∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．评述：本题考查充要条件的基本知识，难点在于周期概念的准确把握.
4．B；解析：注意二次项系数为零也可以．
5．A；解析：对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．
6．D；解析：该题考察的是互为逆否命题的真值相同，也就是在选项中找到该命题逆否命题．
7．B；解析：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．
8．A；解析：由我们学习过的不等式的理论可得，但满足q：，，但不满足q，故选项为B．
9．D；解析：由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，记为P，则①PA，②BP，B是P的充分非必要条件，③CP，C既不是P的充分条件，也不是P的必要条件，④DP，PD，D是P的必要不充分条件．
10． A；提示：举例：a=1.2，b=0.3，则a+b=1.5<2，∴逆命题为假．
二、
11．②④；
解析：本题是一道开放性题，考查四种命题间的关系及充要条件．
①A∩B=AAB但不能得出AB，∴①不正确；
②否命题为：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
12．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形；
解析：本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
13．必要，充分，必要．
提示：画出箭头图．
14．必要不充分．
三、
15．本题考查四种命题间的关系．
解：（1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．
（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．
16．解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：
p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.
∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.
（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：
p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.
17．解：对任意实数都有恒成立
；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．
18．本题考查充要条件、充分条件、必要条件．对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定．
解：p、q、r、s的关系如图所示，由图可知
答案：（1）s是q的充要条件 （2）r是q的充要条件 （3）p是q的必要条件
19．证明：用反证法，假设，①+②+③得：
，左右矛盾，故假设不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同时大于.
20．解析：先证充分性，而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性：
①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
评析：充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念，在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性，还是充分且必要.对于证明题、计算题等，往往只需满足命题条件的充分性，即由条件进行推理、演绎得出结论；而对于求参数的范围，求不等式的解集，求函数的值域等许多问题，则必需保证推理的充要性.
第一章 常用逻辑用语 同步测试
（共100分）
一．选择题（每题7分）
1．下列语句中，是命题的个数是( )
①|x+2| ②－5∈Z ③πR ④{0}∈N
A.1 B.2 C.3 D.4
2．若命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )
A.p且q B.p或q
C.非p D.非p且非q
3．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A.真命题与假命题的个数相同 B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数 D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
4．若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A 或为假 B 假
C 真 D 不能判断的真假
5．a<0,b<0的一个必要条件为( )
A. a+b<0 B. a－b>0
C.>1 D. >－1
二．用“充分、必要、充要”填空（每题6分）
6．已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；
命题， 则的 条件
7. p是q的充分不必要条件， r是q的必要不充分条件，那么p是r的____________条件
8．“”是“”的__________条件
9．为真命题是为真命题的_____________________条件；
三．解答题（13+14+14）
10． 写出下列命题的“”命题：
（1）正方形的四边相等
（2）平方和为的两个实数都为
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角
（4）若，则中至少有一个为
11．已知:b=0,q:函数是偶函数.
命题“若p，则q”是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？
12．设p: ，则P是什么条件？
B组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1. 有下列四个命题：
①“若 , 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
A ①② B ②③
C ①③ D ③④
2． 设集合,那么“,或”是“”的（ ）
A 必要不充分条件 B 充分不必要条件
C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3．“”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
4．下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题;
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆否命题;
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题
A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④
5. 在集合{x| mx的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（ ）
A. m B.m<0或m=1 C.m<1 D. m或m=1
二．填空：（每题6分）
6．命题：“若都是偶数，则不是偶数”逆否命题是
7．已知命题，，则是_____________________
8．写出 x<4 的一个必要不充分条件_____________________________.
9．下列四个命题①,
②,是有理数.
③，使
④，使
所有真命题的序号是_____________________.
三．解答题（13+14+14）
10．已知a，b，c都是实数，证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11．已知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围
12．已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围
C组题（共50分）
1．若,使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A B C D
2．若关于的方程有一正一负两实数根，则实数的取值范围_____________
3. 设.求证：不同时大于
4．命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根 若“或”为真命题，求的取值范围
参考答案
A组题（共100分）
一．选择题：
1．C 2．B 3．C 4．B 5．A
二．填空：
6．必要 7．充分
8．充分 9．必要
三．解答题：
10．解：（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为的两个实数不都为；
（3）若是锐角三角形， 则的某个内角不是锐角
（4）若，则中都不为；
11．“若p，则q”的命题是真命题，它的逆命题是真命题，p是q的充要条件.
12．解：∵p:A={x︱-5 1}，：B={ x︱}， A是B的真子集.
∴p是的充分不必要条件.
B组题（共100分）
一．选择题：
1．C 2．A 3．A 4．B 5．D
二．填空：
6．若是偶数，则不都是偶数。
7．，使
8． x<0
9．①，②，④
三．解答题：
10．证明：
(1)充分性：若ac＜0,则Δ=b2－4ac＞0.
方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根，设为x1,x2. ∵ac＜0,∴x1x2=＜0.
即x1、x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.
(2)必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1＞0,x2＜0,则x1x2=＜0,∴ac＜0.
由(1)(2)知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
11.解：
是的必要非充分条件，，即，又，得
12.解：假设三个方程：都没有实数根，则 ，即 ，得
C组题（共50分）
1．D
2．
3．证明：假设都大于，即
，而
得
即，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立
4．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题
当为真命题时，则，得；
当为真命题时，则
当和都是真命题时，得
曲线和方程
学习目标：
1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.
2、会判定一个点是否在已知曲线上.
一、知识回顾并引题：
二、自学课本并记下重点，积极思考问题：
三、自我检测：
1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是吗？
2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是，，。中线为原点）的方程是吗？为什么？
3、已知方程的曲线经过点和点，求、的值。
四、提问、答疑，共同解决：
五、例题分析：
1、若曲线上的点的坐标满足方程，则下列说法正确的是 （ ）
A.曲线的方程是 B.方程的曲线是
C.坐标不满足方程的点都不在曲线上
D. 坐标满足方程的点都在曲线上
2、已知在曲线上，P也在曲线上，
求证：点P在曲线上（）
六、课后作业：
1、点，，是否在方程的图形上？
2、解答下列问题，并说明理由：
（1）点是否在方程所表示的曲线上；
（2）已知方程 表示的曲线F经过点，求m的值。
3、（1）求方程的曲线经过原点的充要条件是 。
（2）求方程的曲线经过原点的充要条件 。
4、（1）已知：，点在曲线上，则的值是 ；
（2）方程表示的图形是 。
5、方程表示的图形是 （ ）
A.两条平行直线 B.两条相交直线
C.有公共端点的两条射线 D.一个点
6、“点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7、若直线与的交点在曲线上，则的值是 。
★★8、求方程所表示的曲线。
★★9、画出方程所表示的曲线。
求曲线的方程
学习目标：
1.进一步熟练求轨迹方程的一般步骤.
2.巩固直接法，学习代入法求轨迹。
一、巩固练习：
1、求曲线方程的一般步骤：
2、练习：
（1）已知两点A（1，0）、B（-1，0），求到A点与到B点距离之比为2的点的轨迹方程。
（2）求到两定点）（0，0）A（2，0）的距离的平方差为1的点P的轨迹方程。
（3）求到点F（0，-2）的距离比到直线y=3的距离小1的点的轨迹方程。
二、例题分析：
例1、已知两定点间的距离为，求到这两个定点距离之比为m的点的轨迹方程。
例2、过点A（1，0）作直线交已知直线于点B，在线段AB上取一点P，使得AP：PB=1：3，求P点的轨迹方程。
练习：已知点P是曲线上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程。
例3、（1）求曲线，关于点M（2，-1）对称的曲线方程。
（2）求曲线关于直线对称的曲线方程。
练习：1、求直线与曲线的交点的坐标。
2、曲线：关于直线对称的曲线方程为____________________。
高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题
一、选择题
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
2．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
答案：Ｃ
3．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
4．已知双曲线的离心率为，则的范围为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
7．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为 ．
答案：
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
答案：
9．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为 ．
答案：7
10．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为
．
答案：
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为 ．
答案：
12．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 ．
答案：
三、解答题
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程．
答案：解：设所求抛物线的标准方程为，，
则或．
故所求方程为或．
14．如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，
，，且，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
解：设，动点的坐标为，
则．
令，则，，
显然当，即时，有最大值，为原点时，取得最小值0．
故的取值范围为．
抛物线
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1=0
C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0
3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．m B． 2m C．4.5m D．9m
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x
C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C．4a D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 ．
12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
17．动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
20．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．(14分)
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B C B A C C C
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．2 12． 13．（1，0） 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得
消去，得轨迹方程为，即
18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为，由题意可知，
B（4，-5）在抛物线上，所以，得，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米
19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为，
其中分别为A、B的横坐标，．
所以，． 由，得
①
②
联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．
因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去． ∴p=4，．
由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．
20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，
得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，
则 又，
∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ．
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得
， ．
∴ ． 又 为等腰直角三角形，
∴ ， ∴
即面积最大值为
新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于 （ ）
A．85 B． C． D．50
4．与向量平行的一个向量的坐标是 （ ）
A．（，1，1） B．（－1，－3，2）
C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则= （ ）
A． B．
C． D．
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8．空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cos= （ ）
A． B． C． D．0
9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
10． 已知，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．
12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为 ．
13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是 ．
14．已知向量，，若成1200的角，则k= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．
16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（1）求向量的坐标；
（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值
17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．
18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积；
（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：
（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．
19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；
（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
参考答案
一、1．A；解析：=+（－）=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．
3．B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．
4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．
5．C；解析：，计算结果为－1．
6．B；解析：显然．
7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
8．D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．
9．D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．
10．C；
二、
11．；解析：，得，可得结果．
12． ；
解析：
13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．
14．；解析：，得．
三、
15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．
由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．
根据空间两点距离公式，可得
．
16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.
∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.
（2）依题意：，
所以.
设向量和的夹角为θ，则
cosθ=.
17． 证：如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：
展开得
∴，∵≠，≠，
∴⊥（）即SA⊥BC．
同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．
18． （1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.
又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.
∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.
（2）解：设与的夹角为θ，则
cosθ=
V=||·||·sinθ·||=
（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=
∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
20．（1）证明：设=，=，=，则| |=||，∵=－，
∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，
∴C1C⊥BD.
（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.
∵（+），（+）－
∴·（+）·［（+）－］
=（2+2·+2）－·－·
=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.
则||=，||=，∴cosC1OC=
（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.
∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C
∴只须求满足：=0即可.
设=，=，=，
∵=++，=－，
∴=（++）（－）=2+·－·－2=－6，
令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.
评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.2）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．105° D．75°
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）
A． B． C ． D．
5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（ ）
A． B．
C． D．
6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （ ）
A． B． C ． D．
7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （ ）
A． B． C． D．
9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 （ ）
A． B． C ． D．
10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V （ ）
A． B． C ． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 ．
12． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 ．
13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 ．
14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小
16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．
（1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A1到平面的BDEF的距离；
（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．
19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：
（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；
（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．
20．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．
(1)求证：平面EFG∥平面A CB1，并判断三角形类型；
(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．
参考答案
一、1．B；2．A；3．A；4．C；
分析：建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
，
，．
，．
令向量，且，则，
，，
，．
异面直线和之间的距离为：
．
5．A；分析：
为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则
=
== ．
6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，
设平面的一个法向量，则，即，
，平面与平面间的距离
7．D；
8．B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
设，
则 ，，，
∴ ， ， ，，
∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G，
∴ 平面ABD， ∴ ，解得 ．
∴ ， ，
∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量．
由
∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为．
评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足．
9．A；取BC的中点O，连AO．由题意 平面平面，，
∴平面，
以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，
则 ，，，，
∴ ， ， ，
由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量．
设 平面的法向量为 ，
则 ， ∴ ， ∴ ，
即 ． ∴ 不妨设 ，
由 ，
得． 故所求二面角的大小为．
评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．
10．C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，
则 ， ，
，，
∴ ，，
， 图10
∴ ，
∴ ，
所以 ，
设 平面的方程为：，将点代入得
， ∴ ，
∴ 平面的方程为：，其法向量为
， ∴点到平面的距离，
∴ 即为所求．
评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到．
（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．
二、
11．分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．
12．分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
，；
设面的法向量为，
则有：，
，
，又，所以点到截面的距离为=．
13．1；解：如图建立空间直角坐标系，
＝（1，1，0） ，＝（0，，1）， ＝（1，0，1）
设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：
即 x＋y＝0
y＋z＝0
令x＝1, y=－1, z=, 取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离
14．解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
三、
15． 解：如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）
设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，
由 可解得＝（1，1，1）
易知＝（0，0，1），
所以，＝
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 －arccos．
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
16．证明：如图建立空间直角坐标系，
则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）
＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）
设，，（、、 ，且均不为0）
设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
由 可得 即
解得：＝（1，1，－1）
由 可得 即
解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，
所以平面A1EF∥平面B1MC．
注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．
17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．
（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．
于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）
于是，={－a，a，0}
设与的夹角为θ，则由
cosθ=
AE与CD所成角的余弦值为．
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．
18．解：（1）略．
（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,
则知B（1，1，0），
设
得则
令．
设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．
即点A1到平面BDFE的距离为1．
（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则△A1HD为等腰直角三角形，
19．解：建立坐标系如图，则、，，
，，，，，
，，．
（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，
∵
∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为 （即）．
（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，
∵ ，∴ 二面角D－BC1－C的大小为．
（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为．
20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)
(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．
证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．
∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），
∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，
∴⊥ ，
同理 ⊥，
而与不共线且相交于点A，
∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，
∴ 平面EFG∥平面ACB1；
又因为⊥平面EFG，所以 ⊥，
则·=0，
即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，
化简得 xE－yF=0；
同理 xE－zG=0, yF－zG=0，
易得 ==，
∴ △EFG为正三角形．
(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，
∴=
= ·sin600
= (·a)2·
=·a2 ．
此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，
所以异面直线EF与B1C的距离设为d是
d = ==·a．
(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)
单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共120分．考试时间105分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题本题共有10个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在试卷指定的位置上。
1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． 2 D．4
2. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线的渐近线l方程为，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为
A．2 B． C． D．2
4、直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，且，则（ ）
5、若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6、已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点， 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A. B. C. D.
7、设离心率为的双曲线（，）的右焦点为，直线过点且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
（实验班）已知定点M（1，给出下列曲线方程：
4x+2y-1=0 ②③④在曲线上存在点P满足
的所有曲线方程是 （ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
8、双曲线两条渐近线的夹角为60 ，该双曲线的离心率为（ ）
A．或2 B．或 C．或2 D．或
9、若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10、椭圆上一点M到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
（实验班做）如图，双曲线＝1的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）
第 Ⅱ 卷 （非选择题 共70分）
注意事项：
⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号 二 三 总分
15 16 17 18
分数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.抛物线的焦点坐标是 ；
12. 椭圆和双曲线的公共点为是两曲线的一个交点, 那么的值是__________________。
13. 椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，的周长为20，则椭圆的离心率为 __________
（实验班做）双曲线和直线有交点，则它的离心率的取值范围是______________
14.若焦点在轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数的取值范围是_______________
三、解答题(本大题4小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。
16. （12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
（实验班做）已知向量m1=（0，x），n1=（1，1），m2=（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），
又设向量m=m1+n2，n=m2－n1，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
17. （13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由．
18. （13分） 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．
南海中学高二单元测试题-圆锥曲线
数学（理）参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C B D A B B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。
11．；12． 13. 实验班 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（I）设椭圆方程为
解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 ………………4分
（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得
………………………… 5分
由题意得 ………………………7分
解得 又直线l与坐标轴不平行 ……………10分
故直线l倾斜角的取值范围是 ……………12分
16.解：设点，则依题意有，…………………3分
整理得由于，所以求得的曲线C的方程为…………………………5分
（实验班做）（I）由已知，
…………………………………4分
………………………………5分
即所求曲线的方程是：………………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.…………………9分
由
…………………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.………………………………12分
17.解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．…………………………4分
（2）假若存在这样的k值，由得．
∴． ①
设，、，，则 ②
…………………………………………8分
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分
∴ ． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
18解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．
∴ 两交点坐标为 ，、，．
∵ △PFQ为等边三角形，则有（如图）．
∴ ，即．
解得 ，c＝2a．∴ ．…………………………………………7分
（2）由（1）得双曲线C的方程为把．
把代入得．
依题意 ∴ ，且．
∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
∵ ． ∴ ．
整理得 ．
∴ 或．
∴ 双曲线C的方程为：或
．……………………………13分
第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么 （ ）
（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
（B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上
（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0
（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=0
2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）
（A）x–y= 0 （B）x + y=0 （C）|x|=|y| （D）y=|x|
3．已知椭圆方程为，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ ）
（A）2 （B）2 eq \r(2–|m|) （C）2 （D）2 eq \r(|m|–2)
4．已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于 （ ）
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
5．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )
（A） （B）
（C） (D)
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．椭圆的一个焦点是，那么
7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 .
8．已知点（0, 1)在椭圆内，则m的取值范围是 .
9．椭圆的准线平行于x轴, 则m的取值范围是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．直线x–y–m= 0与椭圆有且仅有一个公共点，求m的值.
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6, 且cos∠OFA= , 求椭圆的方程.
12．若一个动点P(x, y)到两个定点A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程.
(1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ）
（A）3x–4y=0, 且x＞0 （B）4x–3y=0, 且0≤y≤4
（C）4y–3x=0,且0≤x≤3 （D）3y–4x=0,且y＞0
15．椭圆的焦距为2,则m的值等于 （ ）
（A）5或3 （B）8 （C）5 （D）16
16．已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB, 若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e= EQ \F(,2), 则椭圆的方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．若椭圆的离心率为, 则m的值等于 （ ）
（A）18或 （B）18或 （C）16或 （D）16或
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．方程表示椭圆，则k的取值范围是 .
19．椭圆＋＝1上有一点P到一条准线的距离是，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积等于 .
20．已知P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P的横坐标是 。
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为|OB|，则椭圆的离心率等于 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.
23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24. 已知椭圆,P为该椭圆上一点.
(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；
(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且,求的值.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题，每题5分。
25．若实数x，y满足，则x2 + y2有 （ ）
（A）最小值，无最大值 （B）最小值，最大值16
（C）最小值0，无最大值 （D）最小值0，最大值16
26．已知θ∈(0, ), 方程x2sinθ + y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 .
解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点 请说明理由
28．已知直线l: 6x－5y－28=0交椭圆于M , N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得 并证明你的结论.
参考答案
A组
一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A
二、6．1
7．答：. 由解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为.
8．答：[1, 5)(5,+∞).
9．答：m＞1. ∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴,
解得m＞1.
三、10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0,
令△＝0，解得m＝±.
11．解：依题意cos∠OFA= ＝，又2a＝6 , ∴a＝3，c=2，b2＝5.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，椭圆方程为.
12．解：设P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,
即.
(1)当m＝4时，由
化简得点P的轨迹方程是：
.
(2)当m＝2时，由
化简得点P的轨迹方程是：
y=0，（－1≤x≤1)
(3)m＝1时，
无解，∴点P的轨迹不存在.
B 组
13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
18．答：(–16, 4)(4, 24). 由k ∈(–16, 4)(4, 24).
19．答：3. ∵e＝，|PF1|＝e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=,
∴△PF1F2面积等于|PF1|·h＝3.
20．答：x=±. 设P(x,y)，由·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±.
21．答：e＝. ∵ F1(－c, 0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为，e＝，∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
22．分析 因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–，即可得到动点C的轨迹方程.
解 设C(x, y), 则
（x≠±5）
由
所以动点C的轨迹方程为
(x≠±5）
23．解：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y－1=,即，设Q（x,y），则，
解得
所以存在，Q的坐标为。
24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e =.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为,
又两准线间距离为,∴P到右准线的距离为.
(2)由椭圆定义得…①;
又…②,
由①,②联立可解得;在
中,,
∴,
∵为锐角,,
∴.
C组
25．选D.
26. 答：θ∈(, ). 椭圆方程化为,∵椭圆焦点在y轴上，∴
∴, 又θ∈(0, ),∴θ∈(, ).
27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ①
设， ，，则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
28．解 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减得……①,
由,得x1+x2=3c, y1+y2=－b,代入①
得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 …… ③;
由②③解得(b为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,
因此椭圆方程为:.
（2）证明: ,
∴,
∴使的点P不存在.
说明：第23题为2007年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.
第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程所表示的曲线是 （ ）
（A）双曲线 （B）椭圆
（C）双曲线的一部分 （D）椭圆的一部分
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是 （ ）
（A） （B）1或–2 （C）1或 （D）1
3.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ）
（A）2 （B） （C） （D）
4. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为 （ ）
（A）x2=–28y （B）y2=28x （C）y2=–28x （D）x2＝28y
5. 抛物线y2= 4x上一点P到焦点F的距离是10, 则P点的坐标是 （ ）
（A）（9, 6） （B）（6, 9） （C）（±6, 9） （D）（9,±6）
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．双曲线的两个焦点分别为F1、F2, 双曲线上的点P到F1的距离为12, 则P到F2的距离为 .
7．双曲线的焦点到渐近线的距离等于 .
8．经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .
9．已知点P(6, y)在抛物线y2=2px (p＞0)上，F为抛物线焦点， 若|PF|=8, 则点F到抛物线准线的距离等于
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．双曲线（a>0,b>0），过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求 △ABF2的周长.
11．焦点在y轴上的抛物线上一点P(m,–3)到焦点的距离为5, 求抛物线的标准方程.
12．已知抛物线y2=6x, 过点P(4, 1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线l的方程.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
14．设0＜k＜a2, 那么双曲线与双曲线 有 （ ）
（A）相同的虚轴 （B）相同的实轴 （C）相同的渐近线 （D）相同的焦点
15．抛物线y= x2 (a≠0)焦点坐标是 （ ）
（A）(0, )或(0, –) （B）(0, ) （C）（0 , )或(0,–) （D）(0, )
16．若抛物线y2= 2px (p＞0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p的值等于 （ ）
（A）2或18 （B）4或18 （C）2或16 （D）4或16
17．过抛物线y2= 2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是 （ ）
（A）相交 （B）相离 （C）相切 （D）不能确定
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 .
19．若双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，则该双曲线的方程为 ．
20．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）,若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .
21．点M到点F(0, –2)的距离比它到直线l：y–3=0的距离小1, 则点M的轨迹方程是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知焦点在坐标轴上的双曲线,它的两条渐近线方程为y,焦点到渐近线的距离为3,求此双曲线的方程.
23．双曲线 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab=;(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.
24．过抛物线y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB, 抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P, 求动点P的轨迹方程.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题。
25．双曲线右支上一点Ｐ(a, b)到直线l：y = x的距离则a+b= （ ）（A）– （B） （C）或 （D）２或–2
26．已知抛物线y2=–x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是 .
解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27. 直线y=kx+1与双曲线x2－y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点（－2,0）和AB的中点,求直线l在y轴上截距b的取值范围.
28．如图所示，点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：
参考答案
A组
一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D.
二、6、答：2或22. ||PF2|－12|=2a=10，∴|PF2|＝12±10.
7、答：2. 焦点F(3, 0)到渐近线2x－y＝0的距离为 = 2.
8、答：y2=x或x2=–8y. 当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2=ax，P点代入解得a＝1；当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程为x2=ay，P点代入解得a＝－8. ∴抛物线方程为y2=x或x2=–8y.
9、答：4. 由|PF|=6＋＝8,得p=4，即焦准距等于4.
三、10. 解 ∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|AF1|＝2a，
∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a,
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，
∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)=4a＋m.
∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
11、 解：依题意，设抛物线方程为为x2=－2py (p>0)
点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x轴的距离为2，∴＝2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2=–8y.
12、解：设l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，由y12=6x1、y22=6x2，
得 (y1－y2)(y1+y2)=6(x1－x2)，
又P(4, 1)是A、B的中点，∴y1＋y2=2，
∴直线l的斜率k= ＝3，∴直线l的方程为3x–y–11= 0.
B组
四、13、选A. 设P到右焦点的距离为|PF1|＝8，则P到左焦点的距离|PF2|＝2a＋|PF1|＝24.
e＝，∴P到左准线的距离d＝＝.
14、选D.
15、B. 将抛物线方程化为x2= ay，当a>0时，p＝，焦点为(0, )，
当a<0时，p＝－，焦点为(0, －)，也是(0, ).
16、A.
17、C. 设AB中点为M，AD⊥l于D，BC⊥l于C，MN⊥l于N. ∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=(|AD|+|BC|)=|AB|,∴以AB为直径的圆于抛物线的准线l相切.
五、18、(1, +∞), ∵双曲线的焦点在y轴上，∴, ∴k>2.
∴c2=k－1＋k－2＝2k－3>1，∴c>1.
19．．
20. 答：. ∵ OA的垂直平分线的方程是，令y=0得到抛物线的焦点为（， 0），∴抛物线的准线方程为.
21、答x2=–8y. 设M(x,y), 依题意，且y<3.
化简得x2=–8y.
六、22. 解 设双曲线方程为y2－3x2=k (k0),
当k>0时，a2=k,b2=,c2=此时焦点为(0,),
由题意得3=,解得k=27，双曲线方程为 y2－3x2=27；
当k<0时，a2= －,b2=－k,c2= －,此时焦点为(,0),
由题意得3= ,解得k=－9,双曲线方程为y2－3x2=－9,
即3x2－y2=9.
∴所求双曲线方程为
y2－3x2=27或3x2－y2=9.
23. 解:设直线l: y= (x－c)，令x=0，得P(0, ),
设λ= ，Q(x,y)，则有，
又Q()在双曲线上, ∴b2(c)2－a2(－c)2= a 2b2,
∵a2+b2=c2,∴, 解得=3,又由ab=,可得,
∴所求双曲线方程为.
24、解法一：设
由消去y得：，.
∵OA ⊥OB，∴∴，
所以,b≠0，
∴ b＝1，∴ 直线AB过定点M(0, 1),
又OP⊥AB，∴点P的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为.
解法二：设P(x,y)，lOB ：，lOA ：，分别代入y= x2，
得.
由得，消去k得点P的轨迹方程为
.
C组
七、25、选B. ∵点P在直线l：y = x的下方，所以b
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∵x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1－+1)=0，
∴·＝0，∴OA⊥OB，所以△AOB是直角三角形.
八、27. 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+1与x2－y2=1联立得
(1－k2)x2－2kx－2=0…………①,
又1－k20,方程①有两个不大于－1的不等实根,
∴, 即,
解得1
∴
28、解：（1）设
则
由 ①
0，0，即并代入①，
得为所求.
（2）设l的方程为
设则
说明：1、第15题为2007年广东高考理科数学试题.
3、第23题为自编题，揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规律.
2、第28题改编题，综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是这类问题命题的一个趋势.
第三章 空间向量与立体几何
一、选择题
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，，，
则<>的值是（ ）
A． B． C．－ D．
二、填空题
1．若向量，则__________________。
2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量，若，则______；若则______。
4．已知向量若则实数______，_______。
5．若，且，则与的夹角为____________。
6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。
7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。
8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 。
空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）
1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设.
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.
由于，
在三棱柱中有
,
设
又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
第三章 空间向量
一、选择题
1．D 而零向量与任何向量都平行
2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3．C
4．A ，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5．C
，当时，取最小值
6．D
二、填空题
1． ，
2．垂直
3．若，则；若，则
4．
5．
6．
7．
8．
设
则，而另可设
，
空间向量练习题1
选择题：
1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．若向量、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
3．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是 （ ）
A． B． C． D．
4．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
则△BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不确定
5．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B．
C． D．
二．解答题：
6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
求证：MN⊥平面PCD
7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
8．长方体中，，为与的交点，
为与的交点，又，求长方体的高．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，
求证：EF⊥平面B1AC
10．在正方体中，为的中点，求异面直线和间的距离.
11．已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与