沪科版数学九年级上册《第22章
相似形》单元测试卷（2）
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四组图形中，不是相似图形的是（
）
2.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（
）
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶4
D.4∶1
3.在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离
是（
）
A．
B.
C.
D.
4.如图，在△中，为边上一点，∠∠，，，则的长为（ ）
A.1
B.4
C.3
D.2
5.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③.其中正确的有（
）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
6.如图，//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（
）
A.4对
B.5对
C.
6对
D.7对
7.如图，已知△，则下列4个三角形中，与△相似的是（
）
8.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线
BD于点F，则EF︰FC等于（
）
A.3︰2
B.3︰1
C.1︰1
D.1︰2
9.如图，点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，
则下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.已知，且，则_______.
12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．
13.如图，在△中，∥，，则______．
14.若，则=__________.
15.如图，是的黄金分割点，，以为边的正方形的面积为，以为边的矩形的面积为，则_______（填“＞”“＜”“=”）．
16.五边形∽五边形，，，，，________.
17.如图，在△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为
.
18.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为
.
三、解答题（共46分）
19.（6分）已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.
20.（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
21.（6分）已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）
22．（7分）如图，在正方形中，分别是边上的点，
连接并延长交的延长线于点
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
23．(7分)
如图，为线段的中点，与交于点，
∠∠∠且交于点F，交于．
写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对.
24.（7分）如图，梯形中，∥，点在上，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：△∽△；
（2）当点是的中点时，过点作∥交于点，若求
的长．
25.(7分)如图，是的直径，是上的两点，
且，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：△∽△；
（2）若，，求的长．
第22章
相似形检测题参考答案
一、选择题
1.D
解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项都为相似图形，D项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.
2.C
解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果.△ABC与△A′B′C′的面积的比为1∶4.故选C.
3.D
解析：
4.D
解析：∵
在△中，为边上一点，，，
∴
△∽△，∴
.
又∵
，，∴
,∴
．
5.A
解析：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.
6.C
解析：△∽△∽△∽△.
7.C
解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△相似.
8.D
解析：∵
AD∥BC，∴
，，
∴
△DEF∽△BCF，∴
.
又∵，∴
，∴
9.C
解析：根据黄金分割的定义可知，．
10.B
解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B正确.
二、填空题
11.4
解析：因为，所以设
所以，所以所以
12.90
270
解析：设另一三角形的其他两边为由题意得，所以
又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为
13.9
解析：在△中，因为∥，所以∠∠∠
∠，所以△∽△，所以，所以，所以
14.
解析：由，得，，，所以
15.
解析：由黄金分割的概念知，又所以所以．
16.
解析：因为五边形∽五边形
所以
又因为五边形的内角和为所以.
17.18
解析：∵
DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，∴
.
∵
△ADE的面积为8，∴
解得=18.
18.(3，3)
解析：因为，所以点A（6，6）经过缩小变换后点C的坐标为(3，3).
三、解答题
19.解：.
理由如下：
∵
∥∴
∠∠.
又∴
.
又∵
∴
△∽△，
∴
即.
20.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵
∠ABD=∠ABE=90°，
∴
△BAD∽△BCE.∴
，
∴
.∴
BD=13.6.
∴
河宽BD是13.6米.
21.证明：（1）∵，∴
∠．
∵∥，∴
，．
∴．
∵，∴△∽△．
（2）由△∽△，得，∴
．
由△∽△，得．
∵∠∠，∴
△∽△．∴．
∴．
∴
．
22.（1）证明：在正方形中，，.
∵
∴
，
∴
，∴.
（2）解：∵
∴
.
由（1）知，∴
，
∴.
由∥，得，∴
△∽△，
∴，∴.
23.解：△∽△，△∽△，△∽△（写出两对即可）.
以下证明△∽△．
∵
∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝∠，∠＝∠，
∴
△∽△．
24.
（1）证明：∵
梯形中，∥，∴
∴
△∽△．
（2）解：
由（1）知，△∽△，
又是的中点，∴
∴△≌△
∴
又∵
∥∥，
∴
∥，得．
∴
∴
．
25.（1）证明：∵
，∴
．
∴
∠∠．
又∠∠，∴
△∽△．
（2）解：∵
△∽△，∴
．
∵
，，∴
．
∴
．∴
．
∵
是的直径，∴
∠°．
在Rt△中，∴
．
A
B
C
D
第8题图
第10题图
F
G
H
M
N
A
B
C
D
E
第13题图
第15题图
第18题图
第17题图
第20题图
B
C
A
D
E
F
G
第21题图
Ac
E
Dc
F
B
Cc
G
第22题图
A
B
M
F
G
D
E
C
第23题图沪科版数学九年级上册《第22章
相似形》单元测试卷（1）
注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟.
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1﹒如果x：(x+y)＝3：5，那么的值是（
）
A.
B.
C.
D.
2﹒若＝＝＝k，则直线y＝kx+k一定经过（
）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
3﹒已知线段a＝2，c＝6，线段b是a、c的比例中项，则线段b的值为（
）
A.±2
B.±4
C.
2
D.12
4﹒已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（
）
A.（2，3）
B.（3，1）
C.（2，1）
D.（3，3）
5﹒已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（
）
A.AB2＝ACBC
B.BC2＝ACBC
C.AC＝BC
D.BC＝AB
6﹒如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为（
）
A.
B.2
C.
D.
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
7﹒如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，若AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比是（
）
A.2：3
B.2：5
C.4：9
D.：
8﹒如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（
）
A.
B.
C.
D.
9﹒如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为顶点向△ABC内做正方形DECF，使正方形的另三个顶点D，E，F分别在的边AB，BC，AC上.若BC＝6，AB＝10，则正方形DECF的边长为（
）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边
中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC
于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；
③AC＝2DF；④EFAB＝CFBC，其中正确结论的个数是
（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为_______.
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是___________.
13.如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到B点止，动点E从点C出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是_______________.
14.如图，正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H.给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PHPB；④＝.其中正确的是________.（填写正确结论的序号）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知实数x、y、z满足，试求的值.
16.在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请你按要求完成下列各小题：
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；
（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.
18.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；
（2）求证：PC2＝PEPF.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BDCE＝CDDE.
20.某市经济开发区建有B、C、D三个工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上（如图所示），他们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应是怎样设计？请你在图中画出他们的路线；
（2）求出各工厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
六、（本题满分12分）
21.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF.
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由.
七、（本题满分12分）
22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ.
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.
八、（本题满分14分）
23.如图，已知反比例函数y＝（k＞0，k为常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.
（1）写出反比例函数的解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.
参考答案
一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
A
D
D
C
C
B
C
二、细心填一填（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11.
5
.
12.
18
.
13.
3s或4.8s
.
14.
①③④
.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解答：∵x、y、z满足，
∴，∴＝，＝＝，
∴＝＝＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝＝＝.
16.解答：（1）证明：由图形结合勾股定理可得：AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）△ABC与△DEF相似，
由图形结合勾股定理可得：DE＝4，DF＝2，EF＝2，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DE；
（3）如图，△P2P4P5为所画三角形，它与△ABC相似.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.解答：（1）如图所示，C1（2，－2）；
（2）如图所示，C2（1，0）；
（3）∵A2C22＝20，B2C22＝20，A2B22＝40，
∴A2C22＝B2C22，且A2C22+
B2C22＝A2B22，
∴△△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是××＝10（平方单位）.
18.解答：（1）图中△APD与△CPD全等，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
又∵PD＝PD，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）证明：由（1）知：△APD≌△CPD，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴＝，即PA2＝PEPF，
由△APD≌△CPD得，PC＝PA，
∴PC2＝PEPF.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD，
∵OE＝OB，∴OE＝OB＝DO＝BD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°，
∴∠OEB+∠OED＝90°，即∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴＝，即BDCE＝CDDE.
20.解答：（1）过点B、C、D分别向AN作垂线段BH、CF、DG，垂足分别为H、F、G，则线段BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道的路线；画图如下：
（2）由题意知：BE＝BC－CE＝1200米，
由勾股定理得：AE＝＝1500米，
∵四边形ABCD是矩形，CF⊥AN，
∴∠ABE＝∠CFE＝90°，
又∵∠AEB＝∠CEF，
∴△ABE∽△CFE，∴＝，即＝，
解得：CF＝300（米），
∵BH⊥AN，CF⊥AN，∴BH∥CF，
∴△BHE∽△CFE，∴＝，即＝，
解得：BH＝720（米），
∵DG⊥AN，∴∠ABE＝∠DGA＝90°，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAG，
∴∴△ABE∽△DGA，∴＝，即＝，
解得：DG＝1020（米），
∴B、C、D三个工厂所建自来水管道的最低造价分别为720×800＝576000（元），300×800＝240000（元），1020×800＝816000（元）.
六、（本题满分12分）
21.解答：（1）△BMN是等腰直角三角形，
证明：AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，
∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵BN平分∠ABE，∴∠ABN＝∠ABE，
∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝(∠BAE+∠ABE)＝45°，
∴△BMN是等腰直角三角形；
（2）△MFN∽△BDC，
证明：∵F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝AC，
∵AC＝BD，∴FM＝BD，即＝，
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM＝BM＝BC，即＝，
∴＝，
∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°，
∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，
∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，
∴△MFN∽△BDC.
七、（本题满分12分）
22.解答：（1）①△BPQ与△ABC相似时，
则＝，
∵BP＝5t，QC＝4t，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴＝，解得：t＝1；
②△BPQ与△BCA相似时，
则＝，即＝，
解得：t＝，
综合上述：当t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似
（2）过点P作PM⊥BC于点M，设AQ与CP相交于点N，则有PB＝3t，MC＝8－4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
又∵∠ACQ＝∠CMP＝90°，
∴△ACQ∽CMP，
∴＝，即＝，
解得：t＝.
八、（本题满分14分）
23.解答：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，4），点B（m，n），
∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵点A（1，4），点B（m，n），
∴AC＝4－n，BC＝m－1，ON＝n，OM＝1，
∴＝＝－1，
∵点B（m，n）在y＝上，
∴＝n，∴＝m－1，而＝，
∴＝，
又∵∠ACB＝∠NOM＝90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，
∴m－1＝2，∴m＝3，
∴B（3，），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB所在直线的解析式为y＝－x+.
第10题图
