1.3.1 线段的垂直平分线（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.3
线段的垂直平分线
第1课时
线段的垂直平分线1
【知识清单】
1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也叫做线段的中垂线)；
2、线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
3、线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【经典例题】
例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，
求证：点D在AB的垂直平分线上．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点
到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“AAS”证明
△ADC和△ADE全等，根据全等三角形的对应边相等可得
AE=AC，再求出BE=AE，即可得证．
【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△ADE中，
∵，
∴△ADC≌△ADE(AAS)，
∴AE=AC，
∵AB=2AC，
∴AB=2AE，AB=AE+BE，
∴2AE=AE+BE，
∴AE=
BE，
∴点D在AB的垂直平分线上．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
例题2、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，若BM=3cm，则CM=(　　)
A．3cm
B．5cm
C．6cm
D．9cm
【考点】?线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30°的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CM，即CM=2BM．
【解答】如图，连接AM，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=(180°120°)=30°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM=3cm，
∴∠BAM=∠B=30°，
∠CAM=∠BAC∠BAM=120°30°=90°，
在Rt△ACM中，CM=2AM=2×3=6cm．
故选C．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【夯实基础】
1、如图，AC垂直平分BC，垂足为D，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB=AC
B．AD平分∠BEC
C．△ABE≌△ACE
D．AB=BC
2、如图，在△ABC中，∠B=22.5°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若BE=2，
∠ACB:
∠ECB=3:1，则AC的长为(
)
A．2??
B．??
C．??
D．4
3、如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AC+BC=20，则△BDC的周长为(
)
A．10??
B．15??
C．20??
D．30
4、如图所示，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，∠A=56°，
则∠BDC=(
)
A．56°
B．112°
C．126°
D．140°
5、已知点C在线段AB的垂直平分线上，CA=15，则CB=　　
　　?．
6、已知线段AB和点C，D，且CA=CB，DA=DB，则直线CD是线段AB的_垂直平分线
．
7、等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为
．
8、如图所示，BC=AD，AC=BD，点O是AD，BC的交点，E是AB的中点.求证:OE是线段AB的垂直平分线.?
9、如图，在△ABC中，GE是边BC的中垂线，交BC于点G，交AB于点E，AD是△ABC的高，连接CE，交AD于点F，试说明E在线段AF的垂直平分线上.
【提优特训】
10、如图，△ABC中，∠BAC=126°，AD是BC边上的高，若AB+BD=DC，则∠C等于(
)?
?A．38°
B．28°
C．20°
D．18°
11、如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=(
)?
?A．10°
B．15°
C．20°
D．25
12、下列命题中：
①过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线；②线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；③任何一条线段有且只有一条垂直平分线；④到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；⑤线段的垂直平分线可以是直线，也可以是射线，也可以是线段.其中正确的个数是(
)
?A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13、如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=12，AD=18，则图中阴影部分的面积是(　)
A．216
B．108
C．54
D．27
14、如图所示，在△ABC中，∠BAC=110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ=
.
15、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，延长BC到点D，使BC=DC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接ED，则∠AED的度数是
.
16、如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为7cm，
且ACBC=1cm，则AB=
cm，BC=
cm．
17、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，BC=2，求AC的值.
18、如图所示，已知△ABC，AP是∠BAC的平分线，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，连接MN，交AP于点D.求证：AP垂直平分MN.
【中考链接】
19、(2020?山东枣庄)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为(?
)
?A．8
B．11
C．16
D．17
?
20、(2020?湖南益阳)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为(?
)
?A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
21、(2020?江苏南京)如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=
．
22、(2020?江苏常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=
.
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、B
5、15
6、垂直平分线
7、36°
10、D
11、C
12、C
13、B
14、40°
15、115°
16、4，3
19、B
20、B
21、78°
22、30°
8、如图所示，BC=AD，AC=BD，点O是AD，BC的交点，E是AB的中点.求证:OE是线段AB的垂直平分线.?
证明：在△ABC和△BAD中，
∵，
∴△ABC≌△BAD(SSS)，
∴∠CBA=∠DAB，
即∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．
又∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴OE⊥AB．
∴OE是线段AB的垂直平分线.?
9、如图，在△ABC中，GE是边BC的中垂线，交BC于点G，交AB于点E，AD是△ABC的高，连接CE，交AD于点F，试说明E在线段AF的垂直平分线上.
解：∵GE是边BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠1=90°，∠BCE+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AE=FE，
∴E在AF的垂直平分线上.
17、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，BC=2，求AC的值.
解：连接AD，如图所示：
∵ED垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
又∵∠B=15°，
∴∠DAB=∠B=15°，
∵∠ADC为△ADB的外角，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，
又∵∠C=90°，
∴△ACD为直角三角形，
设AC=x，则AD=2AC=2x，
∴DB=DA=2x，
在Rt△ACD中，DC=，
∴BC=BD+DC=2，
即：2x+=2，
解得：x=，
∴AC=.
18、如图所示，已知△ABC，AP是∠BAC的平分线，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，连接MN，交AP于点D.求证：AP垂直平分MN.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，，
∴∠BAP=∠CAP.
∵PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∴∠PMA=∠PNA=90°.
在△APM和△APN中，
∵，
∴△APM≌△APN(AAS)，
∴∠MAP＝NAP，
∴AM=AN，
在△AMD和△AND中，
∵，
∴△AMD≌△AND(AAS)，
∴AM=AN，
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠ADM+∠ADN＝180°，
∴∠ADM=∠AND=90°，
∴AP垂直平分MN.
第1题图
例题1图
第2题图
第15题图
第17题图
第17题图
第14题图
第18题图
第9题图
例题2图
第22题图
第13题图
第8题图
第9题图
第4题图
第7题图
第10题图
第8题图
第18题图
第11题图
例题2图
第3题图
例题1图
第17题图
第19题图
第20题图
第21题图
第16题图
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精品试卷·第
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