2020——2021学年北师大版八年级下册数学 1.2直角三角形 同步练习 (word版含解析)

1.2直角三角形 同步练习
一．选择题
1．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（　　）
A．5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平分∠ADB，则∠DBA等于（　　）
A．22.5° B．30° C．25° D．40°
4．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为（　　）
A．8 B．7 C．5 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（　　）
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD
C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）
A．10° B．12° C．15° D．18°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝1，CD＝，则BE＝（　　）
A． B．2 C． D．
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB＝30°，BD＝1，则AB的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 　．
13．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　 　．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝　 　．
三．解答题
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．
求：（1）∠BCD的度数；
（2）若DE＝3，求AB的长．
17．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．
18．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是线段AC的中点．
（1）求证：OB＝OD；
（2）若∠ACD＝30°，OB＝6，求△AOD的周长．
参考答案
一．选择题
1．解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，
所以＝2.5，
故选：B．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2CB＝4，
故选：C．
3．解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠B＝30°．
故选：B．
4．解：
过C作CD⊥BA，交BA的延长线于D，则∠D＝90°，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，
∴CD＝＝，
故选：C．
5．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，
∵AD＝2，
∴DE＝8，
∵CD为AB边上的高，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故选：D．
6．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；
BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；
∵∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；
∵∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
7．解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于2；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴AP的长不能大于4，
故选：D．
8．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，
∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），
故选：C．
9．解：连接DE，
∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝AC＝AE，
∴∠EDA＝∠DAC＝45°，
∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，
同理，∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝90°+60°＝150°，
∵DE＝AC，BE＝AC，
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝×（180°﹣150°）＝15°，
故选：C．
10．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，CD＝，
∴AB＝2CD＝2．
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC．
∵点D是斜边AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又∵DE＝1，
∴BC＝2，
∴AC＝＝＝4．
∴CE＝AC＝2，
∴在Rt△BCE中，BE＝＝＝2．
故选：B．
二．填空题
11．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠DCB＝30°，
∴2BD＝BC，
∵CD⊥AB，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
∴2BC＝AB，
∴AB＝4BD，
∵BD＝1，
∴AB＝4．
故答案为：4．
12．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），
又∵DE＝3，AB＝AC，
∴AB＝6，
故答案为：6．
13．解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：
则∠BFE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝8，
∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，
∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，
∴BF＝BE＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵ED＝EC，EF⊥BC，
∴DF＝CF＝2，
∴BD＝BF﹣DF＝4；
故答案为：4．
14．解：连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE，
∴DE＝BE，
∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠EDB＝（180°﹣∠DEB）＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为：15°．
15．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝30°，AD＝BD，
∴∠DAC＝∠C，BD＝2AD，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝CD+2CD＝24，
∴CD＝8，
故答案为：8．
三．解答题
16．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD＝AD，DE⊥AC，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，
（2）∵∠B＝60°
∴∠BCD＝∠B＝60°
∴BD＝CD，
∴BD＝CD＝AD＝AB，
∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝6，
∴AB＝2AD＝12．
17．解：∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
AB＝15×（9.5﹣8）＝22.5，
∴AB＝BC＝22.5，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝11.25，
∴从B到D用的时间为11.25÷15＝小时＝45分钟，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，
∴OB＝AC，OD＝AC，
∴OB＝OD；
（2）解：∵OB＝6，OD＝OB，
∴OD＝6，
∵∠ADC＝90°，O为AC的中点，
∴AC＝2OD＝12，
∵∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，
∴OA＝AC＝6，
即OA＝AD＝OD＝6，
∴△AOD的周长是OA+AD+OD＝6+6+6＝18．