2020-2021学年人教版八年级数学下册第18章18.2.3：正方形的性质与判定 课件（共29张）

正方形的性质与判定
18.2.3 正方形
学习目标
1.能说出正方形的意义及性质.
2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系（共性与个性）.
3.知道正方形的判定方法.
一、新课引入 ,回顾旧知。
矩形
菱形
性质
1.四个角都________
1.四条边都是_______
2.对角线__________
2.对角线互相_________
且平分每组________
判定
1.有一个角是______的
___________
1.有一组邻边______的
__________
2.有三个角是_____的
_________
2.对角线互相______的
________
3.对角线________的
__________
3.四条边_______的
________
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
1　
　　如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成
正方形．请说说图中∠1的变化过程．
1　
　　现在，你对正方形有哪些新的认识？
　　
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，它既是矩形又是菱形，既具有矩形的性质，又有菱形的性质　
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
正方形
正方形既是_____形，又是_____形.即
（1）有一组 相等的矩形是正方形.
（2）有一个角是 的菱形是正方形.
矩
菱
邻边
直角
四条边_______，四个角都是_______的四边形叫做正方形.
相等
直角
认真阅读课本内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
正方形的性质
1、正方形具有_____的性质，同时又具有______的性质．
边：对边 ，四边 ；
角：四个角都是 ；
线：对角线相等，互相 ，每条对角线平分一组 ．
形：是 对称图形.
矩形
菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形（4条对称轴）
正方形的性质：
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
练一练 如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
解：根据勾股定理：
BC2=EC2-EB2
=302-102
=800
∴BC=
∴这块场地的面积=
=800
对角线=
=40
正方形的判定方法
问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角
是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
1、直接用正方形的定义判定；
2、先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是______ ，那么这个四边形是正方形；
3、先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是 ____________，那么这个四边形是正方形.
菱形
矩形
满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．
四边形EFMN是正方形吗?为什么?
M
N
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN
∠A=∠B=∠C=∠D
AN=BE=CF=DM
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF
∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
归纳小结
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
正方形判定定理的应用
F
A
B
E
C
D
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；
45°
45°
随堂演练
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每一条对角线平分一组对角
C
2.如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点O，点M，N分别在AC，BD上，且OM=ON，求证：BM=CN.
2
3.已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
1
4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
5. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
你有什么收获？
你还有哪些疑问？