2020-2021学年高二数学人教A版（2019）选择性必修三6.2.1排列 课件（共31张PPT）

(共30张PPT)
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种
不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么
完成这件事共有： 种不同的方法．
分步乘法计数原理（乘法原理）
完成一件事需要分成两个步骤，做第1步有m种不同
的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件
事共有： 种不同的方法．
分类加法计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；
分步乘法计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
五个人排成一队有多少种排法？
等公交车时的站队问题
通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能够利用定义判断排列问题.
（重点）排列的定义
（难点）将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义.
学习目标：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
【解题关键】把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
探究点1 排列
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法.
如果把上面问题中被取的对象叫做元素,那么问题可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
ab, ac, ba, bc, ca, cb
不同的排列方法种数为
3×2=6.
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个
排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
【解题关键】解决这个问题分三个步骤：
第一步先确定百位上的数，在4个数字中任取1个，有4种方法；
第二步确定中间的数，从余下的3个数中去取，有3种方法；
第三步确定右边的数，从余下的2个数中去取，有2种方法.
由分步乘法计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列，由此可写出所有的排法.
解：从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”
“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4
这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定
后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中
去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数
字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数
字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百位”“十位”“个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
4×3×2=24，
因而共可得到24个不同的三位数，如下图所示．
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，
213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，
412，413，421，423，431，432.
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素a,b,c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
abc，abd，acb, acd，adb，adc，
bac, bad，bca，bcd，bda，bdc
cab，cad，cba，cbd，cda，cdb
dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
不同的排列方法种数为
4×3×2=24.
问题3．问题1、问题2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
定义：一般地，从n个不同元素中取出m (m ≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列的特征：
1.排列的两个基本内容：
一是取出元素，二是按照一定顺序排列.
2.两个排列相同的条件：
元素相同，元素的顺序也一定相同.
说明：
1.元素不能重复.n个元素不能重复，m个元素也不能重复.
2.“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.
3.根据排列定义，两个排列相同的充要条件是：
两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
如：123和125不相同，123和321也不相同
4.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”.
排列中的列举问题－树状图
1.适用范围：解决排列元素个数不多的问题．　　　　　　
2.策略：在操作中先将元素按照一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后按照树状图写出排列.
　　【例】从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
　　
解析：组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出树状图：
由树状图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
下列问题是排列问题吗？请说明理由．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做减法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？
(3)有12个车站，共需准备多少种车票？
(4)从学号1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？
(5)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？
【即时训练】
问题 各问题研析 结果
(1) 由减法定义知，结果都与两数相减的顺序有关，故(1)是排列 (1)
(3)
(2) 由乘法定义知，结果都与两数相乘的顺序无关，故(2)不是排列 (3) 车票与始点站和终点站有关，由排列定义知(3)是排列 (4) 所选取两名同学参加座谈会，无顺序之分，故(4)不是排列 (5) 两点确定一条直线，与两点顺序无关，故(5)不是排列 解:
是否有顺序，有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列， 　
【总结提升】
判断一个问题是否为排列问题的依据
检验它是否有顺序的依据
变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
判断下列问题是否是排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和指数，有多少不同对数值？
(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
【变式练习】
(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个
元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭
圆方程
解： (1)是排列问题．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．
(2)是排列问题．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．
(3)是排列问题．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．
(4)不是排列问题．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a＞b，a、b的大小一定．
应用举例：
　　【例1】某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他队在主、客场分别比赛一场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的一场比赛，可以看做是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：从6支队伍中选2支，按“主队、客队”进行排列，分两步，第一步选1支做主队，有6种选法，第二步从剩下的5支队中选1支做客队，按照乘法计数原理，每组进行的比赛场次为 6×5=30.
　　【例2】（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选1种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可以看做是从这5盘菜中选取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列。
解：（1）可以先从这盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，然最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙，按乘法分步计数原理，不同的选法种数为 5×4×3=60.
（2）可以先让甲同学从5种菜中选1种，有5种选法；再让乙同学从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让丙同学从5种菜中选1种，同样有5种选法.按乘法分步计数原理，不同的选法种数为 5×5×5=125.
【练习】
课本：P16 练习题
1．下列问题中：
(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；
(2)10位同学互通一次电话；
(3)10位同学互通一封信；
(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．
属于排列的有(　　)
A．1个　B．2个 C．3个 D．4个
解：(1)(3)是排列问题，(2)(4)不是排列问题．
B
2．用1,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项.
(2)这个数列共有多少项．
解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,
131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．
排列
按一定顺序排列
取出元素
不仅与选取的元素有关
而且与选取的元素排列顺序有关
布置作业：
1.完成课本P26 习题6.2第5，9题；
2.课时训练三。