2020—2021学年人教版数学七年级下册 5.1.2 垂线 课件（19张）

第五章 相交线与平行线
第2课时 垂线
5.1 相交线
学习目标
1．理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；
3．在具体图形中准确找出同位角、内错角、同旁内角.
2．掌握同位角、内错角、同旁内角的定义；
课堂导入
前面我们学习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题．
直线????????与????????相交于点????，将????????绕点????顺时针旋转（如图）．
?
A
B
C
D
O
90°
C
D
此时AB、CD这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？
新知讲解
1． 垂线的概念
当两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．
当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
A
B
90°
C
D
O
如图，CD叫AB的垂线，AB也叫CD的垂线，
直线AB，CD互相垂直，记作AB⊥CD，
垂足为O．
垂足
新知讲解
A
B
90°
C
D
O
推理过程：（如图）
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例．
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°（垂直定义）．
反之，∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直定义）
新知讲解
2． 垂线的画法
播放《用量角器、三角尺、折纸的方法画垂线》动画，分析过程并回答问题．
探究：
（1）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
新知讲解
画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上．
P
90°
新知讲解
3． 垂线的性质
垂线的性质有哪些呢，我们一起来探究下．
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线；
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新知讲解
探究：
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点B，A1，A2，A3，…，其中PB⊥l（我们称PB为点P到直线l的垂线段）．比较线段PB，PA1，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
????????叫做点????到直线????的垂线段
?
线段????????的长最短
?
线段????????的长叫点????到直线????的距离．
?
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
4．点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
新知讲解
5．总结
垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【例题1】如图，直线????????与????????相交于点????，????????⊥????????于点????，∠????????????∶∠????????????=????∶????，则∠????????????度数为___________．
?
分析：
∠????????????=∠??????????????+??∠????????????
?
∠????????????=∠????????????
?
∠????????????∶∠????????????=????∶????
?
????????°
?
∠????????????=???????? ∠????????????=????????×????????°=????????．????°
?
=????????°+????????．????°=????????????．????°．
?
112.5°
典型例题
连接????????,????????，交点为????，则点????即
为蓄水池的位置，如图．
?
【例题2】如图，有????,????,????,????四个村庄，政府准备修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他问题，请你画图确定蓄水池????的位置，使它到四个村庄的距离和最短；
（2）若要把河水引入蓄水池，怎样开渠最短？说明根．
?
解：
（1）
（2）
过点????作????????⊥????????，垂足为????，如图．
?
则沿????????开渠距离最短．
?
根据是“垂线段最短”．
典型例题
【例题3】如图，在?????????????????????中， ∠????=????????°，设????????=????，????????=????，????????=????．（1）试说明斜边????????是最长的边；
（2）化简?????????+?????????+????+?????????．
?
解：
因为????????⊥????????，????????与????????不垂直，
?
（1）
（2）
所以，?????????
因为????????⊥????????，??????与????????不垂直，
?
所以，?????????
所以，斜边????????是最长的边．
?
????>????，????????，
?
?????????+?????????+????+?????????=?????????+?????????+????+?????????
?
=????．
?
典型例题
1．点到直线的距离是指（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线的长度
B．直线外一点到这条直线上的任一点的距离
C．直线外一点到这条直线的垂线
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
D
????????????
?
2．如图，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5，点P是线段AB上的一动点，则线段CP的最小值是__________．
随堂练习
3．如图，已知AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别是C,D,那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A． CD﹥AD B． AC﹤BC C． BC﹥BD D． CD﹤BD
C
随堂练习
4．如图所示，一辆汽车在直线型的公路AB上由A向B行驶，M,N分别是位于公路AB两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到点P位置时，离村庄M最近，行驶到点Q位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置．
（2）请你在AB上画出点????的位置，使汽车行驶到点????时，离村庄????和村庄????的距离的和最小．
?
解：
（1）如图．
（2）如图．
P
Q
S
●
随堂练习
当两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直．
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
课堂小结
再见