_山东省泰安市肥城市2020——2021学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12个小题，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．1
3．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．70°
4．下列各组图形有可能不相似的是（　　）
A．各有一个角是50°的两个等腰三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．各有一个角是50°的两个直角三角形
D．两个等腰直角三角形
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
6．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线AD的延长线交于点E，若点D是弧AC的中点，且∠ABC＝70°，则∠AEC等于（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
7．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．（4+4sinθ）米2 B．米2
C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
8．如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣2，0）
C．（﹣4，0）或（﹣2，0） D．（﹣3，0）
11．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（　　）
A．20° B．35° C．40° D．55°
12．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM＝AD+MC；
②AM＝DE+BM；
③DE2＝AD?CM；
④点N为△ABM的外心．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题；满分18分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝　 　．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边BC上的高AD＝8cm，cosB＝，则AC＝　 　．
15．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于　 　．
16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　 　．
17．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是　 　．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A'处，若AO＝OB＝2，则图中阴影部分面积为　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，满分0分，解答应写出必要的文字说明？证明过程或推演步骤）
19．（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°+2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求∠A的度数．
20．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．
23．如图，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1：（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠α＝20°．
（1）求∠ABC；
（2）求电线杆CD的高度．（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
24．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
附加题（本题供有兴趣的同学选做，不计入总分）
26．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，求：
（1）BD：DN的值；
（2）面积S△ABN：S△CBN的值．
2020-2021学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据AB＝2BC直接求sinB的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝＝；
∴∠A＝30°
∴∠B＝60°
∴sinB＝
故选：C．
3．已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】先根据垂径定理得出＝，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOB＝70°，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝35°．
故选：B．
4．下列各组图形有可能不相似的是（　　）
A．各有一个角是50°的两个等腰三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．各有一个角是50°的两个直角三角形
D．两个等腰直角三角形
【分析】分别利用相似三角形的判定方法，结合内角度数以及等腰三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、各有一个角是50°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，这两个不相似，故此选项符合题意；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为40°，这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
C、各有一个角是50°的两个直角三角形，再利用两直角，即可得出，这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
D、两个等腰直角三角形，两角对应相等，这两个三角形必相似，故此选项不合题意；
故选：A．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，
∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：A．
6．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线AD的延长线交于点E，若点D是弧AC的中点，且∠ABC＝70°，则∠AEC等于（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，由圆周角定理求出∠ACB＝90°，得出∠BAC＝35°，由弦切角定理得出∠ECA，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
∵D为的中点，
∴AD＝DC，
∴∠EAC＝∠DCA＝×（180°﹣110°）＝35°，
∵EC为⊙O的切线，
∴∠ECA＝∠ABC＝70°，
∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
故选：B．
7．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．（4+4sinθ）米2 B．米2
C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝AC?tanθ＝4tanθ（米），
∴AC+BC＝4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）＝4+4tanθ（米2）；
故选：D．
8．如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由AB∥DE可得△CDE∽△CAB，再由AD＝5，CD＝3，DE＝4，可求AB的长．又CF为AB边上的中线，则F为AB的中点，问题可求．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∵AD＝5，CD＝3，DE＝4，
∴AC＝CD+AD＝8，
∴，
∴AB＝；
又CF为AB边上的中线，
∴F为AB的中点．
∴BF＝＝．
故选：B．
9．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转的性质可得AC′＝AC，∠BAC′＝30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意，AC′＝AC＝1，
∵∠B′AB＝15°，
∴∠BAC′＝45°﹣15°＝30°，
∴C′D＝AC′tan30°＝，
∴S阴影＝AC′?C′D＝×1×＝．
故选：B．
10．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小值时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣2，0）
C．（﹣4，0）或（﹣2，0） D．（﹣3，0）
【分析】连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP＝，故此当AP有最小值时，PQ最短，根据垂线段最短可得到点P的坐标．
【解答】解：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是（﹣3，0）．
故选：D．
11．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（　　）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，由圆周角定理求出∠ACB＝90°，得出∠BAC＝35°，由弦切角定理得出∠MCA＝∠ABC＝55°，由三角形的外角性质得出∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝35°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°，
∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，
∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝55°﹣35°＝20°；
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：
①AM＝AD+MC；
②AM＝DE+BM；
③DE2＝AD?CM；
④点N为△ABM的外心．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM＝MC+AD；根据△ABG∽△ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM＝GM＝BG+BM，即可得出AM＝DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2＝CM×CF，据此可得DE2＝AD?CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．
【解答】解：∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠D＝∠ECF＝90°，∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，AE＝FE，
又∵ME⊥AF，
∴ME垂直平分AF，
∴AM＝MF＝MC+CF，
∴AM＝MC+AD，故①正确；
如图，延长CB至G，使得∠BAG＝∠DAE，
由AM＝MF，AD∥BF，可得∠DAE＝∠F＝∠EAM，
可设∠BAG＝∠DAE＝∠EAM＝α，∠BAM＝β，则∠AED＝∠EAB＝∠GAM＝α+β，
由∠BAG＝∠DAE，∠ABG＝∠ADE＝90°，可得△ABG∽△ADE，
∴∠G＝∠AED＝α+β，
∴∠G＝∠GAM，
∴AM＝GM＝BG+BM，
由△ABG∽△ADE，可得＝，
而AB＜BC＝AD，
∴BG＜DE，
∴BG+BM＜DE+BM，
即AM＜DE+BM，
∴AM＝DE+BM不成立，故②错误；
∵ME⊥FF，EC⊥MF，
∴EC2＝CM×CF，
又∵EC＝DE，AD＝CF，
∴DE2＝AD?CM，故③正确；
∵∠ABM＝90°，
∴AM是△ABM的外接圆的直径，
∵BM＜AD，
∴当BM∥AD时，＝＜1，
∴N不是AM的中点，
∴点N不是△ABM的外心，故④错误．
综上所述，正确的结论有2个，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，则∠C＝　75°　．
【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，
∴cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，
∴cosA＝，sinB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故答案为：75°．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜边BC上的高AD＝8cm，cosB＝，则AC＝　10cm　．
【分析】先利用等角的余角相等证明∠B＝∠CAD，然后在Rt△ACD中利用∠CAD的余弦求AC的长．
【解答】解：∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠DAB＝90°，
∵∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴cos∠CAD＝cosB＝，
在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝，
∴AC＝＝10（cm）．
故答案为10cm．
15．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于　15　．
【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
∴＝，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴＝＝，
∵EF＝6，
∴CD＝15，
故答案为15．
16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　2　．
【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA＝可得答案．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝＝4，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝＝＝2．
故答案为：2．
17．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是　30海里　．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠C，进而得到∠C＝∠CAB，根据等腰三角形的判定定理得到BC＝AB，根据题意计算，得到答案．
【解答】解：根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛B到灯塔C的距离是30海里，
故答案为：30海里．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A'处，若AO＝OB＝2，则图中阴影部分面积为　　．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝2OA＝2OB＝4，BC＝2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′＝AB，
∴BA′＝2OB，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠A′BA＝60°，
即旋转角为60°，
S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′
＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝
＝．
故答案为：．
三．解答题
19．（1）计算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°+2cos45°；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求∠A的度数．
【分析】（1）代入特殊锐角的三角函数值进行计算即可；
（2）由锐角三角函数定义的定义得tanA＝＝，即可得出答案．
【解答】解：（1）tan60°+9tan30°﹣8sin60°+2cos45°
＝+9×﹣8×+2×
＝+3﹣4+
＝；
（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
20．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD＝BC，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；
（2）由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E＝∠BAC＝60°，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，
由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，
∴BE＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
23．如图，防洪大堤的横截面ABGH是梯形，背水坡AB的坡度i＝1：（垂直高度AE与水平宽度BE的比），AB＝20米，BC＝30米，身高为1.7米的小明（AM＝1.7米）站在大堤A点（M，A，E三点在同一条直线上），测得电线杆顶端D的仰角∠α＝20°．
（1）求∠ABC；
（2）求电线杆CD的高度．（结果精确到个位，参考数据sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，≈1.7）
【分析】（1）由tan∠ABE＝i＝1：，得出∠ABE＝30°，即可得出结果；
（2）过M点作MN垂直于CD的于点N，含30°角直角三角形的性质得出AE＝AB＝10，由三角函数定义得出BE＝ABcos30°＝10，则CN＝AE+AM＝11.7，MN＝CB+BE＝30+10，求出DN＝MNtan20°＝12+4，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵i＝1：，
∴tan∠ABE＝i＝1：，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝150°；
（2）过M点作MN垂直于CD的于点N，如图所示：
∵AB＝20m，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝×20＝10，
BE＝ABcos30°＝20×＝10，
∴CN＝AE+AM＝10+1.7＝11.7，
MN＝CB+BE＝30+10，
∵∠NMD＝20°，MN＝30+10，
∴DN＝MNtan20°＝（30+10）×0.4＝12+4，
∴CD＝CN+DN＝11.7+12+4＝23.7+4≈31．
答：电线杆CD的高度约为31米．
24．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A＝48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得＝，可得结论．
【解答】解：（1）当AD＝CD时，如图3，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
∵△BCD∽△BAC，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S阴影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）连接OE，
∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．
∴∠ABC＝∠ACD＝60°，
∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EAO＝∠DAC+∠CAB＝60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△AEO
＝S扇形﹣OA?OE?sin60°
＝×22﹣×2×2×
＝﹣．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
26．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，求：
（1）BD：DN的值；
（2）面积S△ABN：S△CBN的值．
【分析】（1）过C作CE∥AM交BA延长线于点E，延长BN交CE于点F，根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理计算；
（2）根据两三角形高相等，则底边的比等于面积比计算．
【解答】解：（1）过C作CE∥AM交BA延长线于点E，延长BN交CE于点F．
∵CE∥AM，
∴∠DAN＝∠FCN，∠ADN＝∠CFN，
∴△DAN∽△FCN，
∴＝，
又∵AD＝DM，
∴＝，
∵CE∥AM，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴BD：DN＝3：＝7：1．
（2）由（1）得：△DAN相似于△FCN，
∴＝＝
∴S△ABN：S△CBN＝AN：CN＝3：4．