上海市上海高级中学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含简答

上海中学高二期末数学试卷
2021.01
一. 填空题
1. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
2. 函数（，是虚数单位）的值域可用集合表示为
3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
4. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，它的一个焦点
在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
5. 若点是抛物线（）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则
6. 把参数方程（为参数，）化成普通方程是
7. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则
的中点到轴的距离是
8. 已知复数满足条件，那么的最大值为
9. 若曲线与直线没有公共点，则实数、分别应满足的条件是
10. 已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，
则
11. 已知双曲线（，）的右焦点为，过点向双曲线的一条
渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近
线方程为
12. 直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积
为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，
则的最小值为
二. 选择题
1. 已知椭圆（）与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离
心率为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于
（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
3. 已知圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，点在、之间，过作直线的平行线交直线于点，当变
化时的轨迹是（ ）
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆
在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，
其方程为，给出下列四个结论，正确的有（ ）
（1）星形线的参数方程为：（为参数）；
（2）若，则星形线及其内部包含33个整点；
（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线在星形线的内部（包含边界）；
（4）设星形线围成的面积为，则；
A. （1）（3）（4） B.（1）（2）（3）（4）
C. （2）（3） D.（1）（2）（3）
三. 解答题
1. 已知复数，求实数、，使得.
2. 已知关于的复系数一元二次方程（）有实数根，求复数的最小值.
3. 已知直线（）与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
4. 已知关于的一元二次方程（）.
（1）当方程有实根时，求点的轨迹方程；
（2）求方程的实根的取值范围.
5. 已知抛物线（）过点.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于点、，直线，
分别交直线于点、，求的值.
6. 已知椭圆，点为椭圆外一点.
（1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满
足，证明：点总在某定直线上.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 2 6. 7. 8. 4
9. ， 10. 4 11. 12. 10
二. 选择题
1. D 2. C 3. B 4. D
三. 解答题
1. ，或，.
2. .
3. 或.
4.（1）点的轨迹方程为；（2）.
5.（1），4；（2）1.
6.（1）；（2）证明略，点总在直线上.