上海市杨浦高中2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

杨浦高级2020学年度第一学期期末测试高二数学试卷
时间90分钟 满分100分
一、填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.若复数falsefalse（是虚数单位），则false .
2.直线false（是参数，false）的一个方向向量是 .
3.已知复数false，false为纯虚数，则实数false .
4.若椭圆false与双曲线false有相同的焦点，则false .
5.若实数false，false满足false则false的最大值为 .
6.若双曲线的渐近线方程为false，它的焦距为false，则该双曲线的标准方程为 .
7.过点false作倾斜角为false的直线，与抛物线false交于false、false两点，则false .
8.已知false、false，若经过false的直线与线段false有公共点，则直线的倾斜角false的取值范围是 .
9.在直角坐标平面false中，false，false，动点false在圆false：false上，则false的取值范围为 .
10.已知椭圆false：false，false为短轴顶点，椭圆false上两个不同点false满足false，则直线false恒过的定点的横坐标为 .
二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号的空格内填入代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.
11.平面上到两定点false，false的距离之差的绝对值等于6的点false的轨迹是（ ）
A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线
12.以下关于复数false的说法正确的有 个（ ）
①false ②若false，则false在复平面中的轨迹是线段
③若false在复平面中对应的点在false轴上，则false是纯虚数 ④false
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知false、false、false、false、false、false，直线false：false，false：false，则“false”是“直线false与false平行”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 B.充要条件 D.既非充分又非必要条件
14.已知两点false，false，给出下列曲线方程：①false；②false；③false；④false；在曲线上存在点false满足false的所有曲线是（ ）
A.①②③④ B.②③ C.①④ D.②③④
三、解答题（本大题共有5小题，满分false分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.
15.已知直线false过点false且与直线false垂直，圆false与直线false相交于false，false.
（1）求弦长false；
（2）直线false过原点且与已知圆相切，求直线false与false的夹角.（用反三角函数表示）
16.关于false的方程false，false的两个复数根为false，false.
（1）若false，求实数false的值；
（2）若false，求实数false的值.
17.已知曲线false是平面内到false和false的距离之和为false的点的轨迹.
（1）求曲线false的方程；
（2）斜率为1的直线与曲线false相交于点false，false，弦长false，求直线的方程；
（3）求斜率为1的直线交曲线false的弦的中点false的轨迹方程.
18.某校运会上进行无人机飞行表演，飞行水平距离总长60米（即线段false长度为60米）。飞行轨迹如图所示，起点false离地30米（false），最低点false离地10米，从起点飞到最低点水平距离经过20米。最高点false离地50米，从起点到最高点的轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为false，false),达到最高点后的轨迹为线段false，终点N与false点等高.建立合适平面直角坐标系，并求
（1）线段false所在直线与水平线（地面）的夹角的正切值；
（2）在与false等高的false处有摄像机拍摄，false与false的水平距离为10米，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角false的最小值.（精确到false）
19.已知双曲线false：false（false，false）的焦距为4，直线false：false（false）与false交于不同的点false、false，且false时与false的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线false的方程；
（2）若坐标原点false在线段false为直径的圆的内部，求实数false的取值范围；
（3）设false、false分别是false的左、右两顶点，线段false的垂直平分线交直线false于点false，交直线false于点false，求证：false为定值.
杨浦高级2020学年度第一学期期末测试高二数学答案
一、填空题
1.false
2.false
3.false
4.false
5.4
6.false，false
7.8
8.false
9.false
【解析】因为false，设false，
则false，false，
false，
false，
false
10.0
二、选择题
11.D；
12.C；
13.D；
14.B.
三、解答题（本大题共有5小题，满分false分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.
15.false，false
【提示】（1）直线方程为false，圆心到直线的距离false
（2）false：false
16.（1）解：由韦达定量，false，
方程判别式false，
若方程有实根，则false，此时false，
由韦达定量，false（符合false）；
若方程有虚根，则false，
设两个复数根为false（false，false，false），
由false，
则false，false，
因此false，false，
则false（false）.
（2）解：若方程有实根，则false，
则false，
false，
false，
false，
显然false，
若方程有虚数根，则false，
由共轭虚根定理，false，从而false，则false，
综上所述，false或者false.
17.
（1）false
（2）false
false
false，false
（3）点false，false坐标如（1）中所设，设直线的方程为false，代入false，得false，
则false，false，
设false是轨迹上任意一点，则false，false，消去false是false，
即所求的轨迹方程为false（在已知椭圆内的部分）.
18.false，false
若以过false作地面的垂线为false轴，地面为false轴建系
false，false
false
false与false相切
false
∴false
若以false为坐标原点建系
false，false
false
false与false相切
false
∴false
19.（1）false
（2）false或false
（3）false
【解析】（1）当false直线false：false与false的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，false，又焦距为4，则false，
解得false，false，则所求双曲线false的方程为false
（2）设false，false，由false，得false，
则false，false，且false，
又坐标原点false在以线段false为直径的圆内，则false，即false，
即false，即false，
则false，
即false，则false，
即实数false的取值范围false
（3）线段false在false轴上的射影长是false.设false，由（1）得点false，
又点false是线段false的中点，则点false，
直线false的斜率为false，直线false的斜率为false，又false，
则直线false的方程为false，即false，
又直线false的方程为false，联立方程false，
消去false化简整理，得false，又false，
代入消去false，得false，
即false，则false，
即点false的横坐标为false，
则false.故线段false在false轴上的射影为定值.