2.1 两条直线的位置关系（2）垂线同步练习（含解析）

2.2两条直线的位置关系（2）垂线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
2．（2020春?丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
3．（2020春?高州市期中）如图，直线AB⊥CD于O，直线EF交AB于O，∠COF＝70°，则∠AOE等于（　　）
A．20° B．30° C．35° D．70°
4．（2020春?文水县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中能说明AB⊥CD的有（　　）
①∠AOD＝90°；
②∠AOD＝∠AOC；
③∠AOC+∠BOC＝180°；
④∠AOC+∠BOD＝180°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020春?抚顺县期末）O为直线AB上一点，OC⊥OD，若∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2020?南海区校级模拟）如图，CA⊥AB，EA⊥AD，已知∠DAB＝45°，那么∠EAC的大小是（　　）
A．50° B．45° C．30° D．60°
7．（2020春?澄迈县期末）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝34°，则∠2等于（　　）
A．34° B．45° C．56° D．60°
8．（2020春?孝义市期末）下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020春?江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是（　　）
A．AD的长度 B．AE的长度 C．AC的长度 D．CF的长度
10．（2019秋?仁寿县期末）如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠DOG+∠BOE＝180°； ②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°； ④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?肇源县期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有　 　．
12．（2020春?黄埔区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝118°，则∠EOC的度数为　 　．
13．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝　 　°．
14．（2020秋?南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝　 　．
15．（2020春?太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有　 　（填序号）．
16．（2020春?鱼台县期末）如图，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是　 　．
17．（2020春?东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为　 　cm．
18．（2020春?岳阳期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列结论正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
①∠ADB＝90°；
②∠A＝∠DBC；
③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；
④点B到直线AC的距离为6013．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
20．（2020秋?长春期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．
21．（2019秋?姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．
（1）求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
22．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF＝74°，求∠BOD的度数．
23．（2019秋?翠屏区期末）如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠AOB的补角的度数．
24．（2019秋?市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝　 　；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝　 　；（直接写出结论即可）
（2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝　 　；（直接写出结论即可）
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由；
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
故选：B．
2．【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
3．【解析】∵AB⊥CD，
∴∠COB＝90°，
∵∠COF＝70°，
∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，
∴∠AOE＝20°，
故选：A．
4．【解析】①∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项符合题意；
②∠AOD和∠AOC是邻补角，邻补角相等和又是180°，所以可以得到∠AOC＝90°，能判定垂直，故此选项符合题意；
③∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，不能判定垂直，故此选项不符合题意；
④∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项符合题意．
综上所述，①②④共3个正确，
故选：C．
5．【解析】∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
6．【解析】∵CA⊥AB，
∴∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝90°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠CAD＝45°，
∵EA⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
7．【解析】∵CO⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠1＝34°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
故选：C．
8．【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，
∴C选项的画法正确，
故选：C．
9．【解析】图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度，
故选：B．
10．【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，
∴可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOB＝180°，
∴2α+2β＝180°，
∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．
∵∠DOC＝90°，
∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，
∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF＝∠DOF=12（α﹣β）．
①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠DOG+∠BOE＝180°，
故本选项结论正确；
②∵∠AOE＝α，∠DOF=12（α﹣β），
∴∠AOE﹣∠DOF＝α-12（α﹣β）=12（α+β）＝45°，
故本选项结论正确；
③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，
∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，
故本选项结论正确；
④∵∠AOE+∠DOF＝α+12（α﹣β）=32α-12β=32α-12（90°﹣α）＝2α﹣45°，
∴当α＝67.5°时，∠AOE+∠DOF＝90°，
但是题目没有α＝67.5°的条件，
故本选项结论错误．
综上所述，正确的有：①②③共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】两条直线相交所构成的四个角，
①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；
③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；
④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
故答案为：①③④．
12．【解析】∵∠AOD＝118°，
∴∠BOC＝∠AOD＝118°，
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝28°，
故答案为：28°．
13．【解析】∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2＝2∠1，
∴3∠1＝90°，
∴∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°，
故答案为：30．
14．【解析】∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，
∴∠BOC＝180°×45=144°，∠AOB＝180°×15=36°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝18°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，
故答案为：72°或108°．
15．【解析】①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，故原题说法正确；
②两条直线的交点叫交点，故原题说法错误；
③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB，故原题说法正确，
正确的说法有2个，
故答案为：①③．
16．【解析】村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
17．【解析】因为∠C＝90°，
所以AC⊥BC，
所以A到BC的距离是AC，
因为线段AC＝9cm，
所以点A到BC的距离为9cm．
故答案为：9．
18．【解析】①∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，故①正确；
②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠A＝∠DBC，故②正确；
③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误；
④点B到直线AC的距离为12×5×12×2÷13=6013，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．
20．【解析】∵∠BON＝20°，
∴∠AOM＝20°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝20°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．
21．【解析】证明：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；
（2）∵∠AOD＝3∠1，
∴∠NOD＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；
∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．
故答案为：（1）90°； （2）45°，135°．
22．【解析】∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，
∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，
答：∠BOD的度数为32°．
23．【解析】（1）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
即6x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠COD＝45°；
（2）∵∠AOB＝9×15°＝135°，
∴∠AOB的补角的度数为45°．
24．【解析】（1）若∠BOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，
若∠AOC＝135°，
则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；
故答案为：145°；45°；
（2）如图2，若∠AOC＝140°，
则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD
＝360°﹣140°﹣90°﹣90°
＝40°；
故答案为：40°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，
CD⊥OB时，∠AOD＝45°，
CD⊥AB时，∠AOD＝75°，
OC⊥AB时，∠AOD＝60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．