2.1 两条直线的位置关系（1）余角补角同步练习（含解析）

2.1两条直线的位置关系（1）余角补角
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?西岗区期末）已知一个角是60°，那么这个角的补角的度数是（　　）
A．120° B．150° C．60° D．30°
2．（2020秋?安定区期末）一个角的余角是它的补角的25，则这个角等于（　　）
A．60° B．45° C．30° D．75°
3．（2020秋?伊通县期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020秋?南岗区期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020秋?道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD＝70°，则∠COE的度数是（　　）
A．70° B．50° C．40° D．35°
6．（2020春?江夏区月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝38°，则∠COE等于（　　）
A．66° B．76° C．109° D．144°
7．（2020秋?长春期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（　　）
A．72° B．98° C．100° D．108°
8．（2020春?新乡期末）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝60°，则∠1的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（2020春?广丰区期末）下面四个图形中∠1与∠2为互为对顶角的说法正确的是（　　）
A．都互为对顶角
B．图1、图2、图3中的∠1、∠2互为对顶角
C．都不互为对顶角
D．只有图3中的∠1、∠2互为对顶角
10．（2020秋?辽阳期末）如图，∠AOB和∠COD都是直角．下列结论：
①∠AOC＝∠BOD；
②∠AOD+∠BOC＝180°；
③若OB平分∠COD，则OC平分∠AOB；
④∠AOD的平分线和∠BOC的平分线是同一条射线．
其中正确的是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?和平区期末）一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
12．（2020秋?鞍山期末）∠1与∠2互为余角，若∠1＝27°18'，则∠2＝　 　．
13．（2020秋?本溪期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，若∠BOD＝30°，∠COE＝40°，那么∠AOF＝　 　．
14．（2020秋?绿园区期末）如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2＝220°，则∠3＝　 　．
15．（2019秋?天心区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，则∠AOC＝　 　°．
16．（2020春?涪城区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF＝4：1，则∠AOE＝　 　．
17．（2020春?滨海新区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC＝20°，则∠BOD的大小为　 　（度）．
18．（2020秋?南京期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?中山市期末）如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线，
（1）说明射线OP是∠COB的平分线；
（2）写出图中与∠COD互为余角的角．
20．（2020秋?南京期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线．
（1）根据题意，补全下列说理过程：
因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD＝180°．
又因为∠AOC+∠　 　＝180°，
根据　 　，所以∠　 　＝∠　 　．
（2）若∠MOC＝72°，求∠AON的度数．
21．（2020秋?本溪期末）如图所示，O为直线AB上一点，且∠COD＝90°，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC+∠DOF＝190°，求∠AOC的度数．
22．（2020秋?惠来县期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
23．（2020春?哈尔滨月考）如图，已知直线AB和CD相交于点O（∠BOD＜45°）．
（1）写出∠AOD与∠BOC的大小关系：　 　，依据是　 　；
（2）在∠BOC的内部，过点O作∠COE＝120°，OF平分∠AOE，OG平分∠AOC，画出符合条件的图形，并求出∠EOF﹣∠COG的度数；
（3）在（2）的条件下，若OB平分∠EOD，求∠COF的度数．
24．（2020春?香坊区期末）直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部．
（1）如图①，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，求∠AOF与∠EOD的度数和；
（2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角；
（3）如图②，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】因为一个角是60°，互补两角的和是180°，
所以这个角的补角的度数是180°﹣60°＝120°，
故选：A．
2．【解析】设这个角的度数是x°，
则90﹣x=25（180﹣x），
解得：x＝30，
即这个角的度数是30°，
故选：C．
3．【解析】A、∠α与∠β互余，不一定相等；
B、∠α＝∠β；
C、∠α＝∠β，但∠α与∠β都是钝角；
D、∵∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，
∴∠α≠∠β；
故选：B．
4．【解析】A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
5．【解析】∵∠BOD＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=12∠AOC=12×70°＝35°，
故选：D．
6．【解析】∵∠1＝38°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝142°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD＝71°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝109°，
故选：C．
7．【解析】设∠BOD＝x，
∵∠BOD：∠BOE＝1：2，
∴∠BOE＝2x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，
∴∠OAC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，
故选：D．
8．【解析】∵∠1+∠2＝60°，又∠1＝∠2，
∴∠1＝30°，
故选：B．
9．【解析】根据对顶角的定义可知：只有图3中的∠1、∠2互为对顶角，
故选：D．
10．【解析】①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD；
故①正确．
②∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
故②正确；
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝45°，则∠AOC＝90°﹣45°＝45°
∴OC平分∠AOB；
故③正确．
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．
故④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】设这个角为x，
由题意得，180°﹣x＝4（90°﹣x）﹣60°，
解得x＝40°．
故答案为：40．
12．【解析】∵∠1与∠2互为余角，且∠11＝27°18'，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣27°18'＝62°42′．
故答案为62°42′．
13．【解析】∵∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，∠BOD＝30°，∠COE＝40°，
∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝60°，∠EOF＝90°﹣∠COE＝50°，
∴∠AOF＝∠COF+∠DOF﹣90°＝60°+50°﹣90°＝20°，
故答案为：20°，
14．【解析】∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝220°，
∴∠1＝∠2＝110°，
∴∠3＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
15．【解析】∵∠COE＝100°，
∴∠DOE＝80°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°，
故答案为：40．
16．【解析】∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOF，∠BOF＝∠DOF，
∵∠AOD：∠BOF＝4：1，
∴∠AOD：∠BOD＝4：2，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，∠BOD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠BOF＝∠DOF=12×60°=30°，
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=12∠COF=12×150°=75°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135°．
17．【解析】∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝∠AOC＝20°，
故答案为：20．
18．【解析】∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠AOC＝∠AOD﹣90°＝∠AOD﹣∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB，
∵射线OP是∠AOD的平分线；
∴∠POA＝∠POD，
∴∠POA﹣∠AOB＝∠POD﹣∠COD，
∴∠POB＝∠POC，
∴射线OP是∠COB的平分线；
（2）∵∠COD＝∠AOB，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOE＝∠BOC，
∵∠COD+∠BOC＝90°，
∴图中与∠COD互为余角的角有∠BOC和∠AOE．
20．【解析】（1）因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD＝180°．
又因为∠AOC+∠BOC＝180°，
根据同角的补角相等，所以∠AOD＝∠BOC，
故答案为：BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；
（2）∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC＝2∠MOC＝2×72°＝144°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°﹣144°＝36°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON=12∠AOD＝18°．
21．【解析】∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=12∠BOD，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=12∠AOE，
设∠BOE＝x，则∠AOE＝180°﹣x，
∴∠EOF=90°-12x，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣2x，
∵∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，
∴∠DOF=90°-32x，
∵∠BOC+∠DOF＝190°，
∴90°+2x+90°-32x=190°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝50°．
22．【解析】（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=12×140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD=12∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC=12∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°+12∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°-12∠AOF＝90°﹣90°+12∠AOE=12∠AOE．
23．【解析】（1）根据对顶角相等可得，
∠AOD＝∠BOC，
理由：对顶角相等，
故答案为：∠AOD＝∠BOC，对顶角相等；
（2）如图，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF=12∠AOE，
又∵OG平分∠AOC，
∴∠COG＝∠AOG=12∠AOC，
∴∠EOF﹣∠COG=12∠AOE-12∠AOC=12（∠AOE﹣∠AOC）=12∠COE=12×120°＝60°；
（3）∵∠COE＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣120°＝60°，
又∵OB平分∠DOE，
∴∠DOB＝∠BOE=12∠DOE＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝120°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝150°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE＝75°
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝75°﹣30°＝45°．
24．【解析】（1）∵∠DOE+∠EOF+∠AOF＝∠AOD＝150°且∠EOF＝30°，
∴∠DOE+∠AOF＝∠150°﹣30°＝120°；
（2）根据补角的定义可知图中与∠BOC互补的角有∠BOD、∠AOC、∠EOF；
（3）∠AOF＝∠EOF，理由如下：
∵OM平分∠AOD，
∴∠DOM＝∠AOM，
∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM
＝∠DOM﹣∠FOM
＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM
＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM
＝∠FOM﹣∠MOE
＝∠EOF，
∴∠AOF＝∠EOF．