2.3.1 平行线的性质同步练习（含解析）

2.3平行线的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?陕西模拟）如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°32'，则∠2的度数是（　　）
A．55°32′ B．65°28′ C．65°32′ D．75°28′
2．（2020?樊城区模拟）如图，AB∥CD，EF⊥BD垂足为F，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2020?莆田二模）如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则∠1与∠2之间关系一定成立的是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1+∠2＝90°
4．（2020?老城区校级二模）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝34°．则∠BHQ等于（　　）
A．73° B．34° C．45° D．30°
5．（2020?包头）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．55° C．70° D．75°
6．（2020秋?九龙坡区期中）如图，已知AC∥DE，∠B＝50°，∠C＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2020春?江岸区校级月考）如图，若AB∥DE，∠B＝130°，∠D＝35°，则∠C的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
8．（2020?荆州模拟）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．102°
9．（2020?荆门模拟）如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）
A．∠α+∠β＝95° B．∠β﹣∠α＝95° C．∠α+∠β＝85° D．∠β﹣∠α＝85°
10．（2020秋?南关区期末）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020?雅安）如图，a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝　 　．
12．（2020秋?大兴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是　 　．
13．（2019秋?拱墅区期末）如图，点D在△ABC的边AC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝65°，∠B＝40°，则∠D的度数为　 　．
14．（2019秋?邛崃市期末）如图，l1∥l2，则α+β﹣γ＝　 　．
15．（2019秋?兰考县期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系是　 　．
16．（2020春?盱眙县期末）将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，则∠2﹣∠1＝　 　°．
17．（2020?安徽一模）如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是　 　．
18．（2020秋?长春期末）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是　 　°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?二道区期末）如图，AO∥CD，OB∥DE，∠O＝40°，求∠D的度数．
（1）请完成下列书写过程．
∵AO∥CD（已知）
∴∠O＝　 　＝40°（　 　）
又∵OB∥DE（已知）
∴　 　＝∠1＝　 　°（　 　）
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝　 　°．
20．（2020春?广饶县期末）如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN．
（1）如图1，若∠BEF＝150°，MN⊥EF，则∠MNF＝　 　；
（2）作∠EMN的角平分线MQ，且MQ∥CD．求∠MNF与∠AEF之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，连接EN．且EN恰好平分∠BEF，∠MNF＝2∠ENM，求∠EMN的度数．
21．（2020春?市北区期末）按逻辑填写步骤和理由
如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠DAF．请证明：∠3＝∠5．
证明：
∵BA⊥CA（已知）
∴∠BAC＝∠2+∠3＝90°（①　 　）
∵∠1+∠BAC+∠4＝180°（平角的定义）
∴∠1+∠4＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°
∵AC平分∠DAF（已知）
∴∠1＝②　 　（③　 　）
∴∠3＝∠4（④　 　）
∵a∥b（已知）
∴∠4＝∠5（⑤　 　）
∴∠3＝∠5（⑥　 　）
22．（2020秋?肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．
23．（2020春?海淀区校级期末）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG=1n∠BEP，∠DFG=1n∠DFP，（其中n为常数且n＞1），直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
24．（2020秋?香坊区校级期中）如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】∵AB∥CD，
∴∠1+∠AFD＝180°，
∵∠1＝114°32'，
∴∠AFD＝65°28'，
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2＝∠AFD＝65°28'．
故选：B．
2．【解析】∵AB∥CD，
∴∠D＝∠1＝40°．
∵EF⊥BD，
∴∠DFE＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠DFE﹣∠D＝50°．
故选：C．
3．【解析】∵直尺对边互相平行，
∴∠3＝∠1，
∵∠3+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：D．
4．【解析】∵∠AGE＝34°，
∴∠DGE＝146°，
由折叠可得，∠DGH＝∠EGH=12∠DGE＝73°，
∵AD∥BC，
∴∠BHG＝∠DGH＝73°，
∵EG∥QH，
∴∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，
∴∠BHQ＝∠QHG﹣∠BHG＝107°﹣73°＝34°．
故选：B．
5．【解析】∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝55°，
故选：B．
6．【解析】∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAE＝∠B+∠C＝70°，
∵AC∥DE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠E＝70°，
故选：D．
7．【解析】过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CM∥DE，
∴∠1+∠B＝180°，∠2＝∠D＝35°，
∵∠B＝130°，
∴∠1＝50°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝85°，
故选：B．
8．【解析】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠3＝40°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝∠1﹣∠A＝80°，
故选：A．
9．【解析】过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，
∵∠BCD＝95°，
∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，
∴∠β﹣∠α＝85°．
故选：D．
10．【解析】∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】
∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，
故答案为：130°．
12．【解析】∵∠ACB＝90°，∠ACD＝55°，
∴∠BCE＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE＝35°．
故答案为：35°．
13．【解析】延长ED，如图所示：
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣65°﹣40°
＝75°，
又∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠CDF，
∴∠CDE＝105°．
故答案为：105°．
14．【解析】∵l1∥l2，
∴∠1＝α，
∵∠1＝180°﹣β﹣γ，
∴α＝180°﹣β﹣γ，
即α+β﹣γ＝180°．
故答案为：180°．
15．【解析】∵CD∥EF，
∴∠2+∠CEF＝180°，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3+∠CEF，
∴∠CEF＝∠1﹣∠3，
∴∠2+∠1﹣∠3＝180°，
即∠1﹣∠3+∠2＝180°．
故答案为：∠1﹣∠3+∠2＝180°．
16．【解析】∵AD∥BC，∠EFG＝52°，
∴∠DEF＝∠FEG＝52°，∠1+∠2＝180°，
由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°，
∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝104°，
∴∠2﹣∠1＝104°﹣76°＝28°．
故答案为：28．
17．【解析】过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，
∵∠2＝95°，∠3＝150°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，
故答案为：115°．
18．【解析】如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝115°，
∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝115°﹣92°＝23°．
故答案为：23．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）∵AO∥CD（已知），
∴∠O＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等），
又∵OB∥DE（已知），
∴∠D＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；
（2）若在平面内取一点M，作射线MP∥OA，MQ∥OB，则∠PMQ＝（40或140）°．
故答案为：（40或140）．
20．【解析】（1）∵AB∥CD，∠BEF＝150°，
∴∠DEF＝30°，
∵MN⊥EF，
∴∠FMN＝90°，
∴∠MNF＝60°；
（2）如图，
∵AB∥CD，MQ∥CD，
∴MQ∥AB，
∴∠MNF＝∠NMQ，∠EMQ＝∠AEF，
∵MQ是∠EMN的角平分线，
∴∠NMQ＝∠EMQ，
∴∠MNF＝∠AEF；
（3）∵AB∥CD，
∴∠ENF＝∠BEN，
∵EN平分∠BEF，
∴∠BEN＝∠FEN，
∴∠ENF＝∠FEN，
∵∠MNF＝∠AEF，∠MNF＝2∠ENM，
∴8∠ENM＝180°，
解得∠ENM＝22.5°，
∴∠EMN＝2∠MNF＝4∠ENM＝90°．
故答案为：60°．
21．【解析】证明：∵BA⊥CA（已知），
∴∠BAC＝∠2+∠3＝90°（①垂直的性质），
∵∠1+∠BAC+∠4＝180°（平角的定义），
∴∠1+∠4＝180°﹣∠BAC＝180°﹣90°＝90°，
∵AC平分∠DAF（已知），
∴∠1＝②∠2（③角平分线的定义），
∴∠3＝∠4（④等角的余角相等），
∵a∥b（已知），
∴∠4＝∠5（⑤两直线平行，内错角相等），
∴∠3＝∠5（⑥等量代换）．
故答案为：垂直的性质；∠2；角平分线的定义；等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．
22．解析】（1）∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥C′F，
∴∠MEA′＝∠MFC′，
∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，
即∠1＝∠2；
（2）由折叠知，∠C′FN=180°-∠22=70°，
∵A′E∥C′F，
∴∠A′EN＝∠C′FN＝70°，
∵∠1＝∠2，
∴∠BEF＝70°+40°＝110°．
23．【解析】证明：（1）如图1，过点P作PG∥AB，
，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）如图2，
，
由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ=12（∠BEP+∠DFP）=12[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]=12（360﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
（3）由（1）可得：
∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵∠BEP=1n∠BEG，∠DFP=1n∠DFG，
∴∠EPF＝∠BEP+∠DFP=1n（∠BEG+∠DFG）=1n[360°﹣（∠AEG+∠CFG）]=1n×（360°﹣∠EGF），
∴∠EGF+n∠EPF＝360°．
24．【解析】证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．