2.3.2 平行线的性质与判定（培优）同步练习（含解析）

2.7平行线的性质与判定（培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共20小题）
1．（2020秋?长春期末）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
在下列解答中，填空：
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（　 　）．
∴∠ABC＝∠BCD（　 　）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（　 　）（　 　）．
∴∠PBC＝（　 　）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC﹣（　 　），∠2＝∠BCD﹣（　 　），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
2．（2020秋?松北区期末）完成下面的证明：
如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°．
证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（　 　）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（　 　）
∴DF∥AE（　 　）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（　 　）
3．（2020春?丰润区期中）完成下面的证明：
已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠AED＝∠C（已知），
∴　 　∥　 　（　 　），
∴∠B+∠BDE＝180°（　 　），
∵∠DEF＝∠B（已知），
∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），
∴　 　∥　 　（　 　），
∴∠1＝∠2（　 　）．
4．（2020秋?昌图县期末）如图，MN，EF分别表示两面镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，且AB∥CD．求证：MN∥EF．
5．（2019秋?埇桥区期末）如图，一条直线分别与直线AF、直线DF、直线AE、直线CE相交于点B，H，G，D且∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．
6．（2019秋?上蔡县期末）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：DG∥AB；
（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数．
7．（2019秋?泉州期末）如图，AD⊥BC于D点，EF⊥BC于F点，∠ADG＝35°，∠C＝55°．
（1）证明：DG∥AC；
（2）证明：∠FEC＝∠ADG．
8．（2019秋?乐至县期末）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B；
（1）求证：EF∥AB；
（2）求证：DE∥BC；
（3）若∠C＝80°，求∠AED的度数．
9．（2020春?单县期末）已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
10．（2020春?溧阳市期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB、BC于点E、F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DG∥AB；
（2）若∠B＝32°，求∠ADC的度数．
11．（2019秋?万州区期末）如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．根据提示将解题过程补充完整．
解：∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），
又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），
∴∠AEM＝∠CDM
∴AB∥CD，（　 　）
∴∠AEF+（　 　）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝（　 　）
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝（　 　）．（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝（　 　）（两直线平行，内错角相等）
12．（2020春?润州区期末）结合图形填空：已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠DMN（　 　），
∴∠2＝∠DMN（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DBC+∠C＝180°（　 　）．
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（　 　），
∴∠A＝∠F（　 　）．
13．（2020秋?文山市期末）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
14．（2019春?桥西区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝∠CFE
（1）求证：∠BAF＝∠CAD；
（2）求证：AD∥BE；
（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系　 　．（不需证明）
15．（2020秋?南岗区期末）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+12∠FGN，求∠MHG的度数．
16．（2020春?汉阳区校级期中）（1）如图1，AB∥CD，点M为直线AB，CD所确定的平面内的一点，若∠A＝105°+α，∠M＝108°﹣α，请直接写出∠C的度数　 　；
（2）如图2，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P＝30°，求∠AMC的度数；
（3）如图3，点P与直线AB，CD在同一平面内，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCD的平分线于M，若∠AMC＝180°-12∠P，求证：AB∥CD．
17．（2020春?黄陂区期末）如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．
①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；
②直接写出∠DPG的度数为　 　（结果用含α的式子表示）．
18．（2020秋?南岗区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
19．（2020春?汉阳区期末）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝63°，求∠DEC的度数．
20．（2020秋?南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
答案
一．解答题（共20小题）
1．【解析】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．
∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．
2．【解析】证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠CED（两直线平行，同位角相等）
又∵∠BFD＝∠CED（已知），
∴∠A＝∠BFD（等量代换）
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
∴∠EGF+∠AEG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
3．【解析】∵∠AED＝∠C（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠B+∠BDE＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠DEF＝∠B（已知），
∴∠DEF+∠BDE＝180° （等量代换），
∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE；BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
4．【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠3，
∴MN∥EF．
5．【解析】证明：∵∠1＝∠2，
∴AE∥DF，
∴∠AEC＝∠D．
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠A，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
6．【解析】（1）证明：∵AD∥EF（已知），
∴∠2+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠1＝∠BAD（同角的补角相等），
∴DG∥AB （内错角相等，两直线平行）；
（2）∵DG是∠ADC的角平分线，
∴∠GDC＝∠1＝30°，
又∵DG∥AB，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
7．【解析】证明：（1）∵AD⊥BC于D点，∠ADG＝35°，
∴∠BDG＝90°﹣35°＝55°，
又∵∠C＝55°，
∴∠BDG＝∠C，
∴DG∥AC；
（2）∵AD⊥BC于D点，EF⊥BC于F点，
∴AD∥EF，
∴∠CEF＝∠CAD，
又∵DG∥AC，
∴∠ADG＝∠CAD，
∴∠FEC＝∠ADG．
8．【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴EF∥AB；
（2）∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE，
∵∠3＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（3）∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝80°，
∴∠AED＝80°．
9．【解析】（1）∵EF∥CD
∴∠1+∠ECD＝180°
又∵∠1+∠2＝180°
∴∠2＝∠ECD
∴GD∥CA
（2）由（1）得：GD∥CA，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
10．【解析】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠1＝∠3．
∴DG∥AB；
（2）∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠1＝2∠4．
由（1）知DG∥AB，
∴∠4＝∠B＝32°，
∴∠ADC＝2∠4＝64°．
11．【解析】∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），
又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），
∴∠AEM＝∠CDM（同角的补角相等），
∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF+（∠EFC）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝（118°）
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝（59°）．（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝（59°）（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠EFC；118°；59°；59°．
12．【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠DMN（对顶角相等），
∴∠2＝∠DMN（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
13．【解析】∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
14．【解析】（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAF＝∠DAE+∠CAF，
∴∠BAF＝∠CAD；
（2）∵∠BAC＝∠DAF，∠ACB＝∠CFE＝∠AFD，
∴∠B＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴AD∥BE；
（3）如图2，∵AD∥BE，
∴∠E＝∠1＝∠2，
∵BF平分∠ABC，
∴∠3＝∠4，
∵∠AFB是△BEF的外角，
∴∠AFB＝∠4+∠E＝∠4+∠1，
∴∠AFB＝3+∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2＝180°，
即2∠AFB+∠CAF＝180°．
故答案为：2∠AFB+∠CAF＝180°．
15．【解析】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠EGF＝∠AEG+∠GFC；
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM=12∠BGM=12(180°-∠AGM)=90°-α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠M=∠N+12∠FGN，
∴2α+β=2α+12∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点N作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CGH＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
16．【解析】（1）如图1，连接AC，
在△AMC中，∠AMC+∠MAC+∠MCA＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAM+∠M+∠MCD＝180°+180°＝360°，
∵∠BAM＝105°+α，∠M＝108°﹣α，
∴∠MCD＝360°﹣[105°+α+（108°﹣α）]＝147°，
故答案为：147°；
（2）如图2，延长BA与CP交于点Q，CQ与AM交于点H，
∵AN平分∠PAB，
∴∠BAN＝∠PAN，
∴∠QAP＝180°﹣2∠BAN，
∵∠P＝30°，
∴∠CQA＝∠P+∠QAP＝30°+180°﹣2∠BAN＝210﹣2∠BAN，
∠MHC＝∠NHP＝∠NAP﹣∠P＝∠BAN﹣30°，
∵AB∥CD，
∴∠ECQ＝∠CQA＝210°﹣2∠BAN，
∵CM平分∠PCE，
∴∠MCH=12∠ECP=12×（210°﹣2∠BAN）＝105°﹣∠BAN，
∵∠AMC＝180°﹣∠MHC﹣∠MCH，
∴∠AMC＝180°﹣（∠BAN﹣30°）﹣（105°﹣∠BAN）＝105°；
（3）如图3，连接AC，
则∠PAC+∠PCA＝180°﹣∠P，∠MAC+∠MCA＝180°﹣∠M，
∵∠AMC＝180°-12∠D，
∴∠MAC+∠MCA=12∠P，
∴∠MAC+∠MCA+∠PAC+∠PA＝180°-12∠P，
即∠PAM+∠PCM＝180°-12∠P，
∵AN平分∠PAB，MC平分∠PCD，
∴∠BAM＝∠PAM，∠DCM＝∠PCM，
∴∠BAM+∠DCM＝180°-12∠P，
∴∠BCA+∠DCA＝180°-12∠P+12∠P=180°，
∴AB∥CD．
17．【解析】（1）证明：∵∠AFC+∠AFD＝180°，∠AFC+α＝180°，
∴∠AFD＝α＝∠CDE，
∴AB∥DE；
（2）解：①如图即为补齐的图形，
∵∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P，
∴∠FDG＝2∠FDP＝2∠GDP，∠DGB＝2∠DGQ＝2∠BGQ，
由（1）知AB∥DE，
∴∠DFB＝180°﹣α＝180°﹣50°＝130°，
∵∠DGB＝∠FDG+∠DFG，
∴2∠DGQ＝2∠GDP+130°，
∴∠DGQ＝∠GDP+65°，
∵∠DGQ＝∠GDP+∠DPG，
∴∠DPG＝65°；
②由①知∠DPG=12∠DFB=12（180°﹣α）＝90°-12α．
故答案为：90°-12α．
18．【解析】（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP，
∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，
∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，
∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，
即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB=12∠EAB，
∵FH是∠CFG的平分线，
∴∠CFH＝∠HFG=12∠CFG，
∵CD∥AB，
∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，
设∠FAB＝α，∠CFH＝β，
∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，
∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB∥CD，
∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，
∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，
∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，
∴∠ECF＝∠CFG，
由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，
∴∠AEC＝2∠AFH，
∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，
∴∠AFH＝20°，
由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM＝90°，
∴∠GHM＝90°﹣β，
过点M作MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，
∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，
由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，
∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，
∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，
∴∠EAF+∠GMH＝70°．
19．【解析】（1）DE∥BC．
理由：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝63°，
∴∠DEC＝117°．
20．【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x°）＝90°-12x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90-12x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．