第2章 相交线与平行线单元测试卷（培优）（含解析）

第2章相交线与平行线单元测试（培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?玉田县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC的度数为（　　）
A．43° B．34° C．56° D．50°
2．（2020秋?鄂州期末）如图所示，点O在直线AB上，OE平分∠AOC，∠EOF＝90°，则∠COF与∠AOE的关系是（　　）
A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定
3．（2020秋?新宾县期末）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．150°
4．（2020秋?长春期末）如图，∠B的内错角是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
5．（2020春?威县期末）如图，把河AB中的水引到C，拟修水渠中最短的是（　　）
A．CM B．CN C．CP D．CQ
6．（2020秋?铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝42°，则∠AOM等于（　　）
A．138° B．148° C．159° D．169°
7．（2020秋?龙岗区期末）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．两点之间，线段最短
C．互补的两个角不一定相等
D．同位角相等
8．（2020春?兴国县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（2019秋?昌平区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）
A．60°和135° B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45° D．以上都有可能
10．（2020秋?邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?肇源县期末）两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有　 　．
12．（2020秋?香坊区期末）两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角中较小角的度数为　 　°．
13．（2020秋?德惠市期末）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝　 　．
14．（2020?安徽一模）如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是　 　．
15．（2020春?巴南区期末）小张同学观察如图1所示的北斗七星图，小张同学把北斗七星：摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢按图2分别标为点A，B，C，D，E，F，G，然后将点A，B，C，D，E，F，G顺次首尾连接，发现AG恰好经过点C，且∠B﹣∠DCG＝115°，∠B﹣∠D＝10°，若AG∥EF，则∠E＝m°，这里的m＝　 　．
16．（2019春?下城区期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是　 　（填序号）．
17．（2020春?定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有　 　．（填序号）
18．（2015春?南京校级期中）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是30°，则这两个角的度数分别是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春?南开区校级月考）填空：已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．
证明：∵∠2＝∠E
∴　 　（内错角相等，两直线平?）
∴∠3＝　 　（两直线平?，内错角相等）
∵∠3＝∠4
∴∠4＝∠DAC（　 　）
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，（　 　）
即∠BAF＝　 　
∴∠4＝∠BAF
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平?）
20．（2020秋?中山市期末）如图，直线ED上有一点O，∠AOC＝∠BOD＝90°，射线OP是∠AOD的平分线，
（1）说明射线OP是∠COB的平分线；
（2）写出图中与∠COD互为余角的角．
21．（2020秋?武都区期末）已知∠1与∠2互为补角，且∠2的2倍比∠1大30°，求∠1的度数．
22．（2020秋?惠来县期末）如图，直线EF、CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF．
（1）若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE＝30°，请直接写出∠BOD的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由．
23．（2019秋?天桥区期末）如图所示，已知AD∥BC，BE平分∠ABC，∠A＝110°．求∠ADB的度数．
24．（2020秋?台儿庄区期末）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
25．（2020秋?南岗区期末）已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
26．（2020春?汉阳区校级期中）如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点．
（1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数；
（2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP．
①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数；
②试探究∠CDA与∠B的关系．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°
则∠BOC＝360°﹣2×90°﹣146°＝34°
则∠BOC＝34°．
故选：B．
2．【解析】∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠COF＝90°，∠AOE+∠BOF＝180°﹣∠EOF＝90°，
∴∠AOE和∠BOF互余，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∴∠COF＝∠BOF，
∠COF和∠AOE互余，
故选：B．
3．【解析】∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
4．【解析】A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；
B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；
C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；
D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；
故选：A．
5．【解析】如图，CP⊥AB，垂足为P，
在P处开水渠，则水渠最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
故选：C．
6．【解析】∵OM平分∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠BOM=12∠BOD=12×42°＝21°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝159°，
故选：C．
7．【解析】A、对顶角相等，是真命题；
B、两点之间，线段最短，是真命题；
C、互补的两个角不一定相等，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题；
故选：D．
8．【解析】①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
9．【解析】如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．
10．【解析】2条直线相交最多有1个交点，1=12×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2=12×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3=12×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4=12×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：12n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：12n（n﹣1）=12×20×19＝190．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】两条直线相交所构成的四个角，
①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；
③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；
④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；
故答案为：①③④．
12．【解析】∵一个角的12等于另一个角的13，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为12x°÷13=32x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+32x＝180，
解得：x＝72，
即较小角的度数是72°，
故选：72．
13．【解析】∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
故答案是40°．
14．【解析】过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，
∵∠2＝95°，∠3＝150°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，
故答案为：115°．
15．【解析】延长ED交AG于点H，
∵AG∥EF，
∴∠E＝∠CHD，
∴∠CHD＝∠CDE﹣∠DCG，
∵∠B﹣∠DCG＝115°，∠B﹣∠CDE＝10°，
∴∠CDE＝∠B﹣10°，∠DCG＝∠B﹣115°，
∴∠E＝∠CHD＝∠B﹣10°﹣（∠B﹣115°）＝105°，
故答案为：105．
16．【解析】①由∠1＝∠2，可以判定AB∥CD．
②由∠C+∠ABC＝180°，可以判定AB∥CD．
③由∠C＝∠CDE，可以判定BC∥AD．
④由∠3＝∠4，可以判定BC∥AD．
故答案为①②．
17．【解析】①∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
∴①正确．
②∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE．
∴②正确．
③∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵∠B＝45°，
∴BC不平行于AD．
∴③错误．
④由②得AC∥DE．
∴∠4＝∠C．
∴④正确．
故答案为：①②④．
18．【解析】∵一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，
∴这两个角相等或互补．
又∵这两个角的差是30°，
∴这两个角互补．
设一个角为x，则另一个角为x+30°，
根据题意可知：x+x+30°＝180°．
解得：x＝75°，x+30°＝75°+30°＝105°．
故答案为：75°、105°．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】证明：∵∠2＝∠E，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠DAC（等量代换），
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质），
即∠BAF＝∠DAC，
∴∠4＝∠BAF，
∴AB∥CD（同位?相等，两直线平行）．
故答案为：AD∥BC，∠DAC，等量代换，等式性质，∠DAC．
20．【解析】（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠AOC＝∠AOD﹣90°＝∠AOD﹣∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB，
∵射线OP是∠AOD的平分线；
∴∠POA＝∠POD，
∴∠POA﹣∠AOB＝∠POD﹣∠COD，
∴∠POB＝∠POC，
∴射线OP是∠COB的平分线；
（2）∵∠COD＝∠AOB，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOE＝∠BOC，
∵∠COD+∠BOC＝90°，
∴图中与∠COD互为余角的角有∠BOC和∠AOE．
21．【解析】由∠1与∠2互为补角，得∠2＝180°﹣∠1，
由∠2的2倍比∠1大30°，得2（180°﹣∠1）＝∠1+30°，
解得∠1＝110°．
22．【解析】（1）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=12∠AOF=12×140°＝70°
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣70°﹣90°＝20°
（2）方法同（1）可得，若∠AOE＝30°，则∠BOD＝15°
（3）猜想：∠BOD=12∠AOE，
理由如下：
∵OC平分∠AOF
∴∠AOC=12∠AOF
∵∠AOE+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE
∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∠AOB＝90°
∴∠BOD+90°+12∠AOF＝180°，
∴∠BOD＝90°-12∠AOF＝90°﹣90°+12∠AOE=12∠AOE．
23．【解析】如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADB＝∠CBD，
又∵∠A＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC
∴∠CBD=12×70°＝35°
∴∠ADB＝35°．
24．【解析】（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
25．【解答】（1）证明：∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
26．【解析】（1）如图1，过点B作BF∥MN，
则∠BAM＝∠ABF＝30°，
∵MN∥PQ，
∴PQ∥BF，
∴∠CBF＝∠QCB＝20°，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°；
（2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，
当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°，
∴∠BCQ＝180°﹣2y°，
由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ，
∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45，
如图2，延长DA交PQ于点G，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGC＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
＝﹣（x﹣y）°
＝45°；
②n∠CDA+∠ABC＝180°，
设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°，
∴∠BCQ＝180°﹣ny°，
由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°，
∴y°﹣x°=180°-∠ABCn，
∵MN∥PQ，
∴∠MAE＝∠DGP＝x°，
则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC
＝y°﹣x°
=180°-∠ABCn，
即n∠CDA+∠ABC＝180°．