1.2排列
一、选择题
1.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人坐下，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是(
)
A.234
B.346
C.350
D.363
2.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有(
)
A.24种
B.36种
C.48种
D.60种
3.有5名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学不能相邻，则不同的站法有(
)
A.8种
B.16种
C.32种
D.48种
4.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(
)
A.60种
B.48种
C.30种
D.24种
5.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(
)
A.12
B.24
C.30
D.36
6.中国古代的五音一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，那么不同音序的排列种数为(
)
A.120
B.90
C.80
D.60
7.某班星期三上午要上语文、数学、物理、历史、外语这五门课，若数学必须排在历史前面，则五门课程不同的排法有(
)
A.60种
B.30种
C.120种
D.24种
8.五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(可以不相邻)，那么不同的排法有(
)
A.24种
B.60种
C.90种
D.120种
二、填空题
9.某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有______________种.（用数字作答）
10.化简_________________.
11.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有_______________种.
三、解答题
12.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，男，女各不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(4)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.
参考答案
1.答案：B
解析：易知一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.故选B.
2.答案：A
解析：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
丙、丁两本书必须相邻，将其视为整体与另外两本书全排列，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，不同的摆放方法有种.
3.答案：B
解析：首先将甲排在中间，因为乙、丙两名同学不能相邻，所以两人必须站在甲的两侧，
选出一人排在左侧，有种方法，
另外一人排在右侧，有种方法，
余下两人排在余下的两个空中，有种方法，
所以不同的站法有种.
故选B.
4.答案：B
解析：因为A必须坐最北面的椅子，所以A的位置固定.
B、C两人只能选择相邻的两个座位，且二人的位置可以互换，有种排法，其余三人坐剩余的三把椅子，有种排法，根据分步乘法计数原理，可得六人按要求排列的不同座次有种.故选B.
5.答案：C
解析：将六个圆从左到右依次标序号为1，2，3，4，5，6，因为每种颜色只能涂两个圆，所以只有五种涂法：；；；；.每种涂法中分配颜色有种方法，故不同的涂色方案的种数是，故选C.
6.答案：C
解析：若“角”在两端，则“宫、羽”一定在“角”的同侧，此时有种排法；
若“角”在第二或第四个位置，则有种排法；
若“角”在第三个位置，则有种排法.
故可排成种不同音序.故选C.
7.答案：A
解析：因为数学必须排在历史前面，所以不用考虑数学、历史的顺序，
故五门课程不同的排法共有种.
故选A.
8.答案：B
解析：B在A的左边和右边是对称的（只要一个站位后，交换位置就可左右交换），因此所求排法为种，故选B.
9.答案：72
解析：先排甲、乙之外的3人，有种排法，然后将甲、乙插入到这3人形成的4个空中，有种方法，所以不同的安排方案有种.
10.答案：1
解析：.
11.答案：20
解析：分三类：若甲在周一，则乙，丙有种排法；若甲在周二，则乙，丙有种排法；若甲在周三，则乙，丙有种排法.所以不同的安排方法共有种.
12.答案：（1）捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他4名女生进行全排列，共有种.
（2）插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的4个空位，共有种.
（3）位置分析法.先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种，但应剔除甲不在最左边，乙在最右边的排法有种.则符合条件的排法共有种.
（4）定序排列.第一步，设固定甲，乙，丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲，乙，丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此，则，则共有840种排法.1.4简单计数问题
一、选择题
1.《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究性学习小组有三人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种，则不同的分配方法有(
)
A.种
B.种
C.种
D.种
2.2019年4月25日至27日，北京召开第二届“一带一路”国际合作高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同提问方式的种数为(
)
A.198
B.268
C.306
D.378
3.某学校从2019年实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在物、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照北大高考招生选考科目要求物、化必选，现为该生安排课表（上午四节、下午四节，其中上午第四节和下午第一节不算相邻），若该生某天最后两节为自习课，且数学不排在下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表的不同排法有(
)
A.444种
B.1
776种
C.1
440种
D.1
560种
4.某学生寝室6个人在“五一国际劳动节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
5.如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，那么称这个三位数为“凸数”(如132).现从集合中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
6.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(
)
A.300
B.216
C.180
D.162
7.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(
)
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
8.有5所不同的高校来某校进行招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有1所是相同的，则不同的选法共有(
)
A.330种
B.420种
C.510种
D.600种
二、填空题
9.如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种.（用数字作答）
10.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有3种不同的植物可供选择，则有_____________种栽种方案.
11.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6支小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方案有_______________种.（用数字作答）
三、解答题
12.某地有10个著名景点，其中8个为日游景点，2个为夜游景点.某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点，第二天上午、下午各一个景点.
(1)甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种?
(2)甲、乙两个日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?
(3)甲、乙两个日游景点不同时被选，共有多少种不同排法?
参考答案
1.答案：A
解析：先将14种计算方法分为三组，有种，再分配给三个人，共有种，故选A.
2.答案：A
解析：分两种情况：若选两个国内媒体团、一个国外媒体团，有种不同提问方式；若选两个国外媒体团、一个国内媒体团，有种不同提问方式，所以共有种不同提问方式.故选A.
3.答案：B
解析：首先在物、化、生、史、地、政中六选三，且物、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有种选法，然后对所选六科课程进行排列，分两类讨论，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课的任意一节，剩下的四科全排列，共种排法；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有种排法，语文和外语可都安排在上午，可以是上午一、三节，上午一、四节，上午二、四节，共3种情况，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有种情况，其他三科可以全排列，则共有种排法.所以该生该天的课表的不同排法共有种.
4.答案：A
解析：由题意得，6份礼物分给6个人，共有种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有种情况，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率，故选A.
5.答案：B
解析：从集合中任取3个互不相同的数字，排成一个三位数，有种排法，
从集合中任取3个互不相同的数字，将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百位、个位上，有种排法，则所得三位数是“凸数”的概率是.故选B.
6.答案：C
解析：根据题意，分两类：当偶数取2,4时，组成的四位数有个；当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故组成的四位数有个.
因此共有个没有重复数字的四位数.故选C.
7.答案：C
解析：从6名男医生中选出2名男医生有种选法，从5名女医生中选出1名女医生有种选法，所以不同的选法有种，故选C.
8.答案：A
解析：（1）甲1，乙1，丙1，则方法数为；（2）甲2，乙1，丙1或甲1，乙2，丙1或甲1，乙1，丙2，则方法数为；（3）甲2，乙2，丙1或甲1，乙2，丙2或甲2，乙1，丙2，则方法数为，故总的方法数为，故选A.
9.答案：96
解析：由题意知本题是一个分步计数问题.第一步，涂区域1，有4种方法；第二步，涂区域2，有3种方法；第三步，涂区域4，有2种方法（此时，前三步已经用去三种颜色）；第四步，涂区域3，分两类：第一类，区域3与区域1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与区域1不同色，则区域3涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.所以不同的涂色方法有种.
10.答案：66
解析：根据题意，分3种情况讨论：
①当A、C、E种同一种植物，此时共有种栽种方案；
②当A、C、E种两种植物，此时共有种栽种方案；
③当A、C、E种三种植物，此时共有种栽种方案.
则一共有种不同的栽种方案.
故答案为66.
11.答案：540
解析：若按照1,1,4进行分配，有种方案；
若按照1,2,3进行分配，有种方案；
若按照2,2,2进行分配，有种方案.
由分类加法计数原理得，共有种不同的分配方案.
12.答案：（1）甲、乙两个日游景点选1个有种，甲、乙两个日游景点都选有种，夜游景点的选法为种，所以有种不同排法.
（2）甲、乙两个日游景点在同一天游玩：排在第一天或第二天有种，安排在上、下午有种，剩下的两个景点从除去甲、乙外的6个里选有种，共种不同排法.
（3）不受限制的排法为种，甲、乙两个日游景点都选有种，所以甲、乙两个日游景点不同时被选，共有种不同排法.1.5二项式定理
一、选择题
1.展开式中的系数为( )
A.15
B.20
C.30
D.35
2.若的展开式中的系数为78，则整数a的值为(
)
A.-3
B.-2
C.2
D.3
3.已知在的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式的有理项的项数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
4.若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(???)
A.10?????????
B.20?????????
C.30?????????
D.120
5.在的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(
)
A.第15项
B.第16项
C.第17项
D.第18项
6.的展开式的项数是(
)
A.
B.
C.
D.
7.的展开式中的系数为(
)
A.72
B.60
C.48
D.36
8.若的展开式的常数项为48，则(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
二、填空题
9.的展开式中常数项是____________________(用数字作答).
10.已知的展开式中没有常数项，，且，则___________.
11.的展开式中，若x的奇数次幂的项的系数之和为32，则__________.
三、解答题
12.若，且.
（1）求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的值
参考答案
1.答案：C
解析：对于，若要得到含的项，可以在中选取1，此时中要选取含的项，则系数为；当在中选取时，中要选取含的项，则系数为，所以展开式中的系数为，故选C.
2.答案：A
解析：的通项为，
由题意得，即，
解得或，
因为a为整数，所以，
故选A.
3.答案：C
解析：的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，，
，其展开式的通项为，
当时，为有理项，
且符合要求，
∴有理项有3项，分别为第5,11,17项.
故选C.
4.答案：B
解析：，
，
∴该式为，其展开式的通项为，
令，得，
∴常数项为，
故选B.
5.答案：B
解析：第6项的二项式系数为，又，所以第6项与第16项的二项式系数相同，故选B.
6.答案：B
解析：根据二项式定理可知，展开式共有项.
7.答案：C
解析：的展开式的通项公式为.令，得；令，得，舍去；令，得.故的展开式中的系数为，故选C.
8.答案：C
解析：的展开式的常数项为，
，即，所以.故选C.
9.答案：240
解析：展开式的通项为，令，解得，故常数项为.
10.答案：5
解析：由题意知的展开式中没有常数项，没有含的项，没有含的项，的展开式的通项为不能取0，-1，-2.
若，则可以为0，
若或，则可以为-1，
若或，则可以为-2，
只有当时，不能取0，-1，-2，故.
11.答案：3
解析：因为，所以的展开式中含x的奇数次幂的项分别为，其系数之和为，解得.
12.答案：1.
2.
解析：1.因为，且，
所以，解得或（舍），
故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为；
2.令，可知，
令，得，
所以，
故2.1离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1.若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
0.2
m
已知随机变量，且，则a与b的值为(
)
A.
B.
C.
D.
2.一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(
)
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到1个红球
D.至少取到1个红球或1个黑球
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则等于(
)
A.0
B.
C.
D.
4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是(
)
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
5.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(
)
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
6.投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么表示的随机试验结果是(
)。
A.一枚是3点，一枚是1点
B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
7.随机变量的分布列为：
1
2
4
0.4
0.3
0.3
那么等于(
)
A．15
B．11
C．2.2
D．2.3
8.若随机变量的分布列如下：
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当时，实数x的取值范围是(
)
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
二、填空题
9.已知随机变量X的分布列如表所示,则_____________.
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
b
0.2
0.1
10.下列随机变量中不是离散型随机变量的有_____________.(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
11.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.
三、解答题
12.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
参考答案
1.答案：C
解析：由随机变量X的分布列可知，，
，，
，，
，，，故选C.
2.答案：B
解析：A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量.C和D叙述的结果也是确定的，故不是随机变量.
3.答案：C
解析：设失败率为p，则成功率为，由表示“试验失败”，表示“试验成功”，则X的分布列为
X
0
1
P
p
由，得，即.
4.答案：D
解析：B,C中表示的随机试验的结果，随机变量的取值均为4，而D是代表的所有试验结果.故选D.
5.答案：A
解析：∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，∴出现7点的次数不能作为随机变量.
6.答案：B
解析：投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点。故选B。
7.答案：A
解析：由分布列可得出.
于是可得.
故选A.
8.答案：C
解析：由离散型随机变量的概率分布列知：
，
则当时，实数x的取值范围是.
故选：C.
9.答案：1
解析：因为，所以.
所以，
所以.
10.答案：②
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
11.答案：
解析：∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵人选修A课程,另外人选修B课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:
,故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.
12.答案：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
，
则.
因此随机变量X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率.
②随机变量Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
，
，
.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P2.2超几何分布
一、选择题
1.一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了
个白球，下列概率等于的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则(??
)
A.
B.
C.
D.
3.有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下变量:
①表示取出的最大号码;
②表示取出的最小号码;
③?取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,
表示取出的4个球的总得分;
④表示取出的黑球个数.
以上四种变量中服从超几何分布的是(?
?)
A.①②???????B.③④???????C.①②④?????D.①②③④
4.一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知,随机变量的分布列如下所示.
0
当增大时,
(
)
A.增大,先减小后增大
B.减小,增大
C.增大,先增大后减小
D.减小,减小
6.某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记,则的数学期望为(?
?)
A.100????????B.200????????C.300????????D.400
7.已知为随机变量，则下列说法错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
8.若X是离散型随机变量，，，且.又已知，，则的值为( )
A.
B.
C.3
D.
二、填空题
9.已知
服从超几何分布且，则________．
10.已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是_________；随机变量期望是__________
11.已知随机变量,则________,_____________.
三、解答题
12.某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，某人只能答对10道题目中的6道，试求：
（1）他能答对抽到题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率.
参考答案
1.答案：D
解析：由超几何分布知
2.答案：D
解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以，故选D.
3.答案：B
解析：由超几何分布的特征可知①②不服从超几何分布,
③④服从超几何分布,故选B
4.答案：D
解析：
由题意得:取到红球的概率;
停止时共取了12次球,其中前11次红球出现9次,第12次为红球;
由二项分布公式，所以==.
本题选择D选项.
5.答案：C
解析：解法一
易知,所以当增大时，增大.
又易知
，所以当在内增大时，先增大后减小，故选C.
解法二
易知,所以当增大时，增大.由随机变量的分布列得到随机变量的分布列，如下所示.
0
1
所以，
所以
，所以当在内增大时，先增大后减小，故选C.
6.答案：B
解析：1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1.
∴不发芽的种子数,
∴1000粒种子中不发芽的种子数的数学期望
(粒),
又每粒不发芽的种子需补种2粒,
∴需补种的种子数的数学期望
(粒).
7.答案：B
解析：对于A故A正确.
对于B，取特殊值，则
，故B错误
对于C，，C正确
对于D，，D正确
8.答案：C
解析：
9.答案：
解析：根据，可知服从超几何分布，
且，
则.
故答案为.
10.答案：
解析：根据题意知,
；
；
；
所以.
故答案为：.
11.答案：3；
解析：因为随机变量,所以,.
12.答案：（1）设随机抽出的3道题目他能答对的道数为X，则服从超几何分布，X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
即
X
0
1
2
3
P
（2）要至少答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对其中2道和答对3道，这两种情况是互斥的，根据（1）的计算可得.2.3条件概率与独立事件
一、选择题
1.将3颗骰子各掷一次，记事件A表示为“三个点数都不同”，事件B表示为“至少出现一个1点”，则条件概率和分别为(
)
A.
B.
C.
D.
2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
3.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是(
)
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
4.已知，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
5.某学校甲、乙等10位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该服务队中的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
6.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40％，血压异常者占15％，两者都有的占8％今任选一人进行健康检查，已知此人体重超重，他血压异常的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为，若甲先投，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
8.位于直角坐标系原点的质点按以下规则移动:①每次移动一个单位,②向左移动的概率为，向右移动的概率为.移动5次后落点在的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
9.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为__________.
10.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人.从中任选3名班干部参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则_____________.
11.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________.
三、解答题
12.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
1.设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
2.玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
3.玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
参考答案
1.答案：C
解析：由题意知，条件概率表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，即，同理，.
2.答案：A
解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为.故选A.
3.答案：D
解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则，，所以，故选D.
4.答案：C
解析：由乘法公式得，故选C.
5.答案：C
解析：设甲同学收到李老师的信息为事件,收到张老师的信息为事件,事件相互独立.易知,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.故选C.
6.答案：A
解析：记事件A表示体重超重，事件B表示血压异常.则故选A.
7.答案：B
解析：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，
甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次投中篮球，而乙前次没有投中，
根据相互独立事件同时发生的概率得到；故选B．
8.答案：A
解析：根据题意，质点移动5次后位于点，其中向左移动了3次，向右移动了2次，其中向左平移的3次有种情况，剩下的2次向右平移，则其概率为，故选A
9.答案：
解析：根据题意,甲获得冠军的概率为，其中,比赛进行了3局的概率为，所以在甲获得冠军的条件下,比赛进行了3局的概率.
10.答案：
解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为，事件“男生甲被选中”发生的概率为..
11.答案：0.128
解析：设选手所需要答出的5道试题分别为,,,,,并记选手正确回答出某题为事件,答错为.因为恰好回答了四个问题晋级下一轮,故第三、四个问题回答正确,
第二个问题回错误,第一个问题回答正确错误都可,则选手回答4个问题的可能为,,
,或,,,.选手晋级下一轮的概率为.
12.答案：1.X可能的取值为：10,20,100，－200.
根据题意，有
，
，
，
所以的分布列为
X
10
20
100
－200
P
2.设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件，则
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
3.X的数学期望为.
这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．2.4二项分布
一、选择题
1.某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
2.某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，则其中恰有1次通过的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
3.设随机变量，若，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(???)
A.0.648??????
B.0.432??????
C.0.36???????
D.0.312
5.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则(
)
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
6.设随机变量，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7.设随机变量，若，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
8.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点移动五次后位于点的概率是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9.若，则_______________.
10.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________.
11.在10个球中,有4个红球和6个白球,每次从中取一个球,然后放回,连续取4次,恰有1个红球的概率为__________
三、解答题
12.学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
1.求在1次游戏中,
①摸出3个白球的概率;
②获奖的概率;
2.求在2次游戏中获奖次数的分布列.
参考答案
1.答案：B
解析：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有2次连续命中目标的概率为，
故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.故选B.
2.答案：C
解析：某人通过普通话二级测试的概率是，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率.故选C.
3.答案：B
解析：∵随机变量，
∴，
∴，
解得.
故选：B.
4.答案：A
解析：该同学通过测试的概率为,
故选A.
5.答案：B
解析：由题意可知x服从二项分布
则或
又
所以
故答案为：B
6.答案：B
解析：，
7.答案：B
解析：由得，解得或(舍去).因此.故选B
8.答案：D
解析：依题意得,质点移动五次后位于点,
则这五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,
因此所求的概率等于.
9.答案：
解析：由题意得，，.
10.答案：0.128
解析：设选手所需要答出的5道试题分别为,,,,,并记选手正确回答出某题为事件,答错为.因为恰好回答了四个问题晋级下一轮,故第三、四个问题回答正确,
第二个问题回错误,第一个问题回答正确错误都可,则选手回答4个问题的可能为,,
,或,,,.选手晋级下一轮的概率为.
11.答案：
解析：这是4次独立重复试验,每次取一个红球的概率为,每次取一个白球的概率为,连续取4次,恰有1个红球的概率为.
12.答案：
1.①设“在1次游戏中摸出个白球”为事件,则.
②设“在1次游戏中获奖”为事件,则,又,
且互斥,所以.
2.由题意可知的所有可能取值为0,1,2.
,
,
.
所以的分布列是
0
1
22.5离散型随机变量均值与方差
一、选择题
1.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则(
)
A.
B.
C.3
D.
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为.由此可以估计(
)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3.若随机变量X的分布列如表所示，且，则(
)
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.
B.7
C.5.61
D.6.61
4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则等于(
)
A.0
B.
C.
D.
5.—个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取1球，设摸得白球的个数为,若，则(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知某离散型随机变量的分布列为
0
1
2
3
则的数学期望(
)
A．
B．1
C．
D．2
7.已知随机变量有三个不同的取值,且其分布如下:
4
P
m
则的数学期望的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知离散型随机变量X的分布列为
X
a
2
6
P
b
若,则(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
9.盒中有4个球，其中
1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则
，
.
10.随机变量，变量，则______．
11.将3个不同的小球随机投入编号分别为1,2,3,4的4个盒子中(每个盒子容纳的小球的个数不限),则1号盒子中有2个小球的概率为_________,2号盒子中小球的个数的数学期望为_________.
三、解答题
12.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
参考答案
1.答案：D
解析：因为，所以，则.
2.答案：B
解析：乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
3.答案：C
解析：由题可得，解得.
又由，解得，
所以方差，故选C.
4.答案：C
解析：设失败率为p，则成功率为，由表示“试验失败”，表示“试验成功”，则X的分布列为
X
0
1
P
p
由，得，即.
5.答案：B
解析：设每次随机摸取1球，摸得白球的概率为，由题意，知.∵,∴，∴.故选B
6.答案：B
解析：由题意可得：.
可得.
.
故选：B.
7.答案：D
解析：由分布列的性质知,所以,所以,令,则,当且仅当时等号成立,故的最大值为,选D
8.答案：D
解析：由分布列的性质知,解得,所以
故,所以,故选D
9.答案：；1
解析：
由题意知，，(或)，所以.
10.答案：35
解析：随机变量，，∵变量，
故答案为：35．
11.答案：;
解析：由于每个小球投入每个盒子是可能的,故每个人小球放入1
号盒子的概率为,不放入1号盒子的概率为,故1号盒子中有2个小球个概率,同理,每个小球放入2号盒子的概率为,不放入2号盒子的概率为,将3个小球投放到4个盒子中,2号盒子中小球的个数,故
12.答案：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为
方案二中的日收费y与x的函数关系式为
.
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
X
190
200
210
220
230
P
0.1
0.4
0.1
0.2
0.2
所以（元）
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
Y
200
220
240
P
0.6
0.2
0.2
（元）
所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.2.6正态分布
一、选择题
1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X且.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.则的值约为(
)
（参考数据：若，有，，?）
A.0.972
5
B.0.683
C.0.977
D.0.954
2.已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为(
)
A.0.85
B.0.819
2
C.0.86
D.0.75
3.某工厂生产的零件外直径(单位：)服从正态分布，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为(
)
A.上午生产情况异常，下午生产情况正常
B.上午生产情况正常，下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
4.某校有1
000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(
)
A.150
B.
200
C.300
D.400
5.随机变量服从正态分布，则(
)
A.0.7
B.0.4
C.0.2
D.0.15
6.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为(
)
A.1
B.
C.2
D.4
7.已知随机变量服从正态分布,若,则(
)
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
8.设随机变量服从正态分布，若，则实数等于(
)
A.7
B.6
C.5
D.
4
二、填空题
9.设随机变量服从正态分布,若，则___________.
10.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则均值______________.(结果用最简分数表示)
11.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知，则______________.
三、解答题
12.某公司开发了一种产品,有一项质量指标为“长度”（记为l,单位:cm),先从中随机抽取100件,测量发现全部介于
85
cm和155
cm之间，得到如下频数分布表：
分组
频数
2
9
22
33
24
8
2
已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)求
(2)公司规定:当时,产品为正品:当时,产品为次品,公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利90元;若是次品,则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：
若,则,,
参考答案
1.答案：C
解析：∵随机变量X服从正态分布，，根据正态曲线的对称性可得，故选C.
2.答案：B
解析：设运动员射击4次，击中目标的次数为X，则.
3.答案：B
解析：由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布，
根据原则可得，即，即生产的零件外直径在内是正常的.
又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，
所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.
4.答案：C
解析：.
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为.故选C.
5.答案：C
解析：由题意，随机变量服从正态分布，
∴正态曲线的对称轴是直线.
又，
，故选
C.
6.答案：A
解析：随机变量X服从正态分布，
.由，可知.
7.答案：C
解析：由题意可知,正态曲线关于直线对称,,根据对称性可知,,故.故选C.
8.答案：B
解析：由题意知，正态曲线关于直线对称，∴，∴
9.答案：2
解析：∵，
，
∴，
解得，
故答案为：2.
10.答案：
解析：用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，X的所有可能取值为0,1,2.
，
..
11.答案：0.3
解析：∵某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态曲线的对称轴为直线.
.
12.答案：(1)
抽取产品质量指标值的样本平均数
抽取产品质盈指标值的方差
所以,又
所以
所以
(2)
由频数分布表得,
随机变量的取值为90,-30且
则随机变量的分布列为:
90
-30
P
0.67
0.33
所以.1.3组合
一、选择题
1.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种(
)
A.60
B.90
C.120
D.150
2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(
)
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
3.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(
)
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
4.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数为(
)
A.24
B.28
C.32
D.36
5.某地区甲、乙、丙三家公司进行招聘,其中甲公司招聘2名,乙公司招聘2名,丙公司招聘1名,并且甲公司至少要招聘1名男生,现有3男3女参加三家公司的招聘(这6人全部被录取),则不同的录取方案种数为(
)
A.36
B.72
C.108
D.144
6.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
7.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(
)
A.15
B.30
C.35
D.42
8.为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（
）
A.30
B.90
C.150
D.210
二、填空题
9.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.
10.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手.现要求：若男生甲入选，则女生乙必须入选.则不同的组队形式有________________种.
11.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_______________.
三、解答题
12.有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法?
(1)分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(2)分成三组，一组4本，另外两组各1本；
(3)甲得1本，乙得1本，丙得4本.
参考答案
1.答案：D
解析：根据题意，分两步进行分析：
第一步，将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，则有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，则有种分组方法，
则将5项工作分成3组，有种分组方法；
第二步，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，
则由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安排方式.
故选D.
2.答案：C
解析：从6名男医生中选出2名男医生有种选法，从5名女医生中选出1名女医生有种选法，所以不同的选法有种，故选C.
3.答案：D
解析：因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必须有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有(种),再分配给3个人,有(种),所以不同的安排方式共有(种).
4.答案：B
解析：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得本，有种；第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，剩下的3人各得一本，有种；第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有种，根据分类加法计数原理可得共有种方法，故选B.
5.答案：D
解析：根据题意,分3步进行分析:
①甲公司在6人中任选2人,要求至少招聘1名男生,有种情况,
②乙公司在剩下的4人中任选2人,有种情况,
③丙公司在剩下的2人中任选1人,有种情况.
则不同的录取方案有(种).
6.答案：B
解析：依题意得所求的概率,故选B.
7.答案：B
解析：解法一
甲企业有2人,其余5家企业各有1人,共有7人,所以从7人中任选3人共有种情况,发言的3人来自2家企业的情况有种,所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有(种),故选B.
解法二
发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有(种);发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有(种).所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有(种),故选B.
8.答案：C
解析：根据题意,分2步进行分析:?
①、将5户贫困户分成3组,若分成2、2、1的三组,有种分组方法,?
若分成3、1、1的三组,有种分组方法,?
则有种分组方法,?
②、将分好的三组全排列,对应派出的3人,有种情况,?
则有种不同的包扶方案,?
所以C选项是正确的.
9.答案：36
解析：因为每个小区至少安排1名同学，所以4名同学的分组方案只能为1,1,2，所以不同的安排方法共有种.
10.答案：930
解析：若甲、乙都入选，则从其余6人中选出2人，有种选法，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种组队形式，故共有种组队形式；
若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有种选法，女生乙不适合担任四辩手，则有种组队形式，故共有种组队形式；
若甲、乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有种选法，全排列，有种组队形式，故共有种组队形式.
综上所述，共有种组队形式.
11.答案：112
解析：由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有种.
12.答案：（1）先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，
再将3组分配给甲、乙、丙3人有种，故共有种.
（2）只需从6本中选4本一组，其余2本为两组，共有种.
（3）分步处理，先从6本中选4本给丙，其余2本分给甲、乙各一本，有种.
