云南省昆明市昆一中2021届高三上学期1月第五次复习检测数学（理）试题 Word版含答案

机密★启用前 【考试时间：1月20日 15:00-17:00】
昆明市第一中学2021届高中新课标高三第五次二轮复习检测
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数z的共轭复数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．根据铭文不但可以直接测得各容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比周三径一的古率已有所进步，则上面4个数与祖冲之给出的约率false、密率false，这6个数字的中位数（精确到万分位）与极差分别为（ ）
A．3.1498，0.0484 B．3.1547，0.0484 C．3.1429，0.0615 D．3.1523，0.0615
4．为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了100个学生，看其是否知道刘徽的《九章算术注》、祖冲之的《大明历》赵爽的《周髀算经》和杨辉的《田亩比类乘除捷法》．经统计，其中知道《九章算术注》或《大明历》的有80人，知道《九章算术注》的有60人，知道《九章算术注》且知道《大明历》的有40人，用样本估计总体，则该校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．已知一个等比数列的公比false，且前5项和为false，则false（ ）
A．2 B．24 C．8 D．4
6．若函数false在false上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．函数false的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥false的侧棱长与底面边长之比为false，如果E，F分别为侧棱false，底边false的中点，那么异面直线false与false所成的角等于（ ）
A．90° B．30° C．45° D．60°
9．执行如图所示的程序框图，则输出的false（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知双曲线false上存在两点M，N关于直线false对称，且false的中点在抛物线false上，则实数b的值为（ ）
A．0或false B．0 C．false D．false
11．设函数false，其中false，若false对一切false恒成立，则以下结论：①函数false的图象关于false对称；②函数false的单调递增区间是，false；③函数false既不是奇函数也不是偶函数；④函数false的图象关false对称．其中正确的说法是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④
12．已知false是定义在false上的单调函数，false是false上的单调减函数，且false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false，若false，则实数false_______．
14．记false为等差数列false的前n项和，若false，且false，则false_______．
15．点P是椭圆false上的一点，false是椭圆的两个焦点，且false的内切圆半径为1．当点P在第一象限时，它的纵坐标为_____________．
16．已知一个半径为1的硬质小球在一个内壁棱长为5的正方体密闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”．某日，学校工
会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数（单位：千步，且均在false内），按步数分组，得到频率分布直方图如右图所示．
（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数（每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数）．
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数false服从正态分布false，其中，false为（1）中求得的平均数标准差false的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数false的人数（结果四舍五入保留整数）．
（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望．
附：若随机变量false服从正态分布false，则false，false，false．
18．（12分）
已知false的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且false．
（1）求false；
（2）若false，且D为false的中点，求false的最大值．
19．（12分）
如图甲，四边形false是边长为2的正方形，点E是false的中点．现将正方形false沿false与false折起，使点C与点D重合（记为点P），得到如图乙的四面体false．
（1）证明：平面false平面false；
（2）求锐二面角false的大小．
20．（12分）
已知函数false．
（1）求曲线false在点false处的切线方程；
（2）若不等式false对任意false恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）
已知点P是抛物线false上的动点，且位于第一象限．圆false，点P处的切线l与圆O交于不同两点A，B，线段false的中点为D，直线false与过点P且垂直于x轴的直线交于点M．
（1）求证：点M在定直线上；
（2）设点F为抛物线C的焦点，切线l与y轴交于点N，求false与false面积比的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系false中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点Q的极坐标为false，动点P的极坐标为false．
（1）若false，求点P的直角坐标及false的面积；
（2）在false中，若false，求顶点P的轨迹的极坐标方程．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数false．
（1）求不等式false的解集；
（2）若不等式false的解集为空集，求实数m的取值范围．
昆明市第一中学2021届5次联考
参考答案（理科数学）
命题、审题组教师 杨昆华 凹婷波 彭力 刘皖明 李文清 王在方 毛孝宗 王佳文 李露 陈泳序 崔锦
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
C
D
A
D
B
A
D
B
1．解析：集合false表示直线false，集合false表示直线false，则false表示直线false与直线false交点的集合，所以false，选C．
2．解析：因为false，所以false，所以false．选A．
3．解析：因为false，所以这6个数据的中位数是false，极差为false，选D．
4．解析：由题意知该学校知道《大明历》的人数为60人，则该学校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为false，选B．
5．解析：由false得false化简得false，整理得
false得false或false（舍），得false，所以false，
所以false，false．选C．
6．解析：因为false，所以false；又因为false在false上单调递增，所以false在false上恒成立，即false在false上恒成立．因为false时，false，所以false，选D．
7．解析：因为false，所以false为奇函数，排除C，D；又因为false时false，排除B，选A．
8．解析：取false的中点为D，连接false，则false即为所求．易证false，从而false．设false，则false，由中位线得false，false．又因为三角形false为直角三角形，所以false，即为异面直线false与false所成的角，选D．
解析：依题意，false，
false，输出，
此时false，选B．
10．解析：设false，false，false的中点false，因为false，所以false；又因为false，所以false；又因为M，N关于直线false对称，所以false，即false；又因为点false在直线false上，所以false；由false可得false，所以false，即false或false，选A．
11．解析：false，由false恒成立，得false，所以false，取false，从而false，由false得①正确，由false得false，所以函数的增区间为false，②不正确，③显然正确，由false，得对称轴为false，④正确，选D．
12．解析：由已知得false，则false，
所以false，false，false，
所以false，则false，
false，则false，
所以false
又因为false是false上的单调减函数，所以false，选B．
二、填空题
13．解析：因为向量false，false，false，所以false，false，又false，所以false，解得false．
14．解析：因为是等差数列，所以false，
又因为false，所以false，所以false．
15．解析：因为false，所以false；又因为false，所以false．
16．解析：由题意，小球在正方体容器的每个面内接触不到的面积相同，且如图所示，每个面接触不到的面积为false，正方体有6个面，则小球接触不到的面积共为false．
三、解答题
（一）必考题
17．解：（1）依题意得
false 4分
（2）因为false，
所以false，
所以走路步数false的总人数为false． 8分
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1．
由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400．
false；false；
false；false；
false．
所以X的分布列为
X
0
100
200
300
400
P
0.0004
0.0352
0.7784
0.176
0.01
false 12分
18．解：（1）由正弦定理得：false， ①
又因为false， ②
由①②得：false，而false，所以false，
又因为false，所以false． 6分
（2）因为false，所以false
所以false，由余弦定理得：false，
所以false，所以false，
而false（当且仅当false时，取“=”），
所以false，即：false，
所以false（当且仅当false时，取“=”），
所以false的最大值为false． 12分
而false，所以false平面false．因为false平面false，
所以平面false平面false． 6分
（2）【法一】如图，取false的中点O，连接false，false．
因为三角形false为边长为2的正三角形，
所以false，false．
在false中，false，所以false是等腰三角形，此时false，false．
因为平面false平面false，
所以false为二面角false的平面角．
由（1）知false平面false，
所以false为直角三角形，
所以false，即false．
所以锐二面角false的大小为false．
【法二】由（1）知false平面false．如图，
以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系．
此时false，false，false，false，
所以false，false．
设锐二面角false的大小为false，
平面false的法向量为false，平面false的法向量为false．
因为false平面false，所以取false．
因为false，所以false．
所以false，所以锐二面角false的大小为false． 12分
20．解：（1）依题意，false
false，false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false，即false． 4分
（2）令false，
则false．
令false，则false，
当false时，false，false，
所以false，函数false在false上是增函数．
所以false，所以false．
①当false时，false，所以函数false在false上是增函数，
所以false，即对任意false不等式false恒成立．
②当false时，false，由false，得false．
false．
当false时，false，即false，
函数false在false上是减函数，
所以false，即false，不合题意．
综上，所以实数a的取值范围是false． 12分
21．解：（1）设false，其中false，显然切线的斜率存在且不为零，
由false，求导得：false，所以切线l的斜率为m，
因为D是弦false的中点，所以false，所以直线false方程：false，
联立方程false，得false，
所以点M在定直线false上． 5分
（2）由（1）知切线l的方程：false，化简得：false，
令false，得false，又false，false，
联立方程false，得false，
而false，false，
所以false，令false，得false，
则false，
所以false与false面积比的取值范围为false． 12分
（二）选考题：第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．解：（1）当false，false时，false，false，
所以，点P的直角坐标为false，
false． 5分
（2）由题意，false，false，
在false中，由正弦定理得false，
即false，化简得false，false． 10分
23．解：（1）由不等式false可得：false，
可化为：false或false或false，
解得：false或false或false，
所以，不等式的解集为false． 5分
（2）因为false，当且仅当false时，等号成立，
所以，false，
由不等式false的解集为空集，得false，
所以，false，解得false或false，
所以，实数m的取值范围为false． 10分