1.1.4 等边三角形的判定同步练习（含解析）

1.4等边三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?南岗区校级月考）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
2．（2020秋?覃塘区期中）下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
3．（2019秋?尚志市期末）若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2019秋?辛集市期末）如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
5．（2019秋?睢宁县期中）如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形
6．（2019秋?岳麓区校级月考）下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
7．（2019春?文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
8．（2019秋?费县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．（2019春?福山区期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2018秋?思明区校级期中）如图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形如图2，那么在Rt△ABC中，若BC＝6，则AB＝（　　）
A．3 B．63 C．12 D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋?长春期中）下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有　 　（填序号）．
12．（2019?金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是　 　（只要写出一个即可）．
13．（2018秋?襄州区期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　 　．
14．（2018秋?确山县期中）在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　 　．
15．（2016秋?临城县期末）如图已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝　 　时，△AOP为等边三角形．
16．（2020秋?射洪市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　 　．
17．（2013秋?船山区校级期末）如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是　 　三角形．
18．（2008秋?江岸区期中）如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　 　三角形．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?铁东区期中）已知，如图，∠B＝60°，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．
20．（2020秋?惠州期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．
求证：（1）∠B＝∠C；
（2）△ABC是等边三角形．
21．（2020秋?赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
22．（2019秋?越秀区校级期中）如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
23．（2018秋?威海期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
24．（2018秋?越秀区校级期中）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．【解析】因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
3．【解析】∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
故选：B．
4．【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
5．【解析】∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴选项A不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴选项B、选项C不符合题意；
当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
6．【解析】A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；
故选：D．
7．【解析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠POF＝60°，
∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，
∴∠EPM＝∠OPN，
在△PEM和△PON中，
∠PEM=∠PONPE=PO∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
8．【解析】①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
AC=CADC=EA，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
9．【解析】（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
10．【解析】∵Rt△ABC纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，
∴AB＝2BC＝12，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．
12．【解析】在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等边三角形，
故答案为：∠A＝60°．
13．【解析】∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
14．【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，
∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．
故答案为：此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．
15．【解析】∵AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
16．【解析】由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
17．【解析】
由基本作图可知所作直线为线段AB的垂直平分线，
所以AD＝BD，即△ABD是等腰三角形，
且∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形．
18．【解析】过D作AC的平行线交AB于P
∴△BDP为等边三角形，BD＝BP，
∴AP＝CD，
∵∠BPD为△ADP的外角，
∴∠ADP+∠DAP＝∠BPD＝60°
而∠ADP+∠EDC＝180°﹣∠BDP﹣∠ADE＝60°
∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠EDC＝60°
∴∠DAP＝∠EDC，
在△ADP和△DEC中，
∵∠DAP=∠EDCAP=DC∠APD=∠DCE，
∴△ADP≌△DEC（ASA），
∴AD＝DE
∵∠ADE＝60°
∴△ADE是等边三角形．
故答案为：等边．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】证明：∵AB∥DE，
∴∠DEC＝∠B＝60°，
∵EC＝ED，
∴△DEC为等边三角形．
20．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
AD=CDDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴∠A＝∠C，
由（1）知，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
21．【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE=12CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD=12CE＝DE，
∴AD＝DE＝DE，
∴△ADE是等边三角形．
22．【解析】（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵∠ECB＝∠CED+∠EDC，
∴∠EDC＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EBC＝∠EDC＝30°．
（2）证明∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴AB＝BC．
∴△ABC是等边三角形．
23．【解析】（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
24．【解析】△BPQ是等边三角形，
当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，
∴BQ＝BP，
又∵∠B＝60°，
∴△BPQ是等边三角形．