1.1.2 等边三角形的性质同步练习（含解析）

1.2等边三角形的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?丰南区期中）等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．90°
2．（2020秋?覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（　　）
A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°
3．（2020秋?沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（　　）
A．90° B．70° C．45° D．30°
4．（2020秋?香坊区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，边长为6，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于D，交AC于E，则△ADE的周长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2020秋?浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2020春?富平县期末）如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（2020春?瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（2019秋?濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（　　）
A．12 B．8 C．4 D．3
9．（2019秋?张家港市期末）如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE的长为（　　）
A．32 B．3 C．52 D．5
10．（2019秋?余姚市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为（5x﹣20）°，则x的值可能是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?浦东新区期末）边长为6cm的等边三角形的面积是　 　．
12．（2020秋?集贤县期末）如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　 　cm．
13．（2020秋?松桃县月考）如图，等边△ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点F，则∠BFC度数为　 　．
14．（2020秋?泰兴市期中）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝　 　°．
15．（2020秋?石阡县月考）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2020这个数在　 　个第三角形的　 　顶点处（第二空填：上，左下，右下）．
16．（2020秋?淮滨县月考）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的周长为　 　．
17．（2020秋?朝阳区校级期中）如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝　 　．
18．（2020秋?铁东区期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点P为AB边上一点，EF垂直平分
线段BP，EF与线段AD交于F，连接CF、PF，以下结论：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正确的有　 　．（填序号即可）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?晋安区期中）如图，在△ABC中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数．
20．（2020春?广丰区期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
21．（2020春?和平区期末）如图，△ABC是一个边长为6的等边三角形，BD是△ABC的高，求BD的长．
22．（2019秋?永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．
23．（2019秋?和平区期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为　 　；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
24．（2019秋?辛集市期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BO、CO是两个内角的平分线，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．
故选：C．
2．【解析】∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴AB＝AC，CD=12AC，
∴CD=12AB，
∵CE＝CD，
∴CE=12AB，A选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D是AC边的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC=12∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴BD＝ED，B选项结论正确，不符合题意；
∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝120°，
∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，
∴∠BDE＝∠DCE，C选项结论正确，不符合题意；
∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D选项错误，符合题意；
故选：D．
3．【解析】如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，
故选：B．
4．【解析】∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴AB＝AC＝6．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC＝∠DBF，∠EFC＝∠FCB＝∠ECF，
∴DB＝DF，EC＝EF，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝12．
故选：D．
5．【解析】如图，连接AO，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，
∴12BC×2=12AB?OE+12AC?OF，即12×2=12(OE+OF)，
∴OE+OF＝2；
故选：D．
6．【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故选：A．
7．【解析】∵△PDC为等边三角形；
∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，
∵AB＝BC＝CD，
∴AB＝CP，
∵∠BCD＝80°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，
∵∠ABC＝160°，
∴∠ABC+∠BCP＝180°，
∴PC∥AB，
∵AB＝CP，
∴四边形ABCP为平行四边形，
∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，
∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，
∴∠PDA＝∠PAD=180°-∠APD2=20°，
∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，
故选：C．
8．【解析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=13×12＝4，
故选：C．
9．【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC=12∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB，
∴∠E＝30°＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵BD是AC中线，CD＝1，
∴AD＝DC＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=22-12=3，
即DE＝BD=3，
故选：B．
10．【解析】∵△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，∠ADC的度数为（5x﹣20）°，
∴60≤5x﹣20≤120，
解得：16≤x≤28，
∴只有20适合，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】如图，等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB＝6cm，
∴BD＝3cm，
∴AD=AB2-BD2=33，
∴等边△ABC的面积=12BC?AD=12×6×33=93（cm2）．
故答案为：93cm2．
12．【解析】∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD=12AC＝3cm．
故填3．
13．【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BE和CD分别是AC和AB边上的高，
∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠BFC＝∠BEC+∠ACD＝90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
14．【解析】∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，
∴∠1＝36°．
故答案为36．
15．【解析】∵2020÷3＝673……1，673+1＝674，
∴2020这个数在第674个三角形上，且所在的位置与1所在的位置相同，
∴2020这个数在第674个第三角形的上顶点处．
故答案为：第674；上．
16．【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
∴△A5B5A6的周长为48，
故答案为：48．
17．【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝CD=12AC，∠DBC=12∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，
∴CE=12AC＝3，
∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．
故答案为：9．
18．【解析】如图，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，
∴FB＝FC，∠5＝30°，
∵EF垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴FP＝FC，所以①正确；
∵FP＝FB，FB＝FC，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，
∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，
∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②正确；
∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正确；
∵∠4＝∠5+∠AFP，
∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，
∵∠DCF＝∠1，
而∠1+∠3＝60°，
∴只有当∠3＝45°，∠1＝15°，∠PFA＝∠DCF，所以④错误．
故答案为①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
在△CBA与△CDA中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△CBA≌△CDA（SAS），
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°．
20．【解析】（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣30°
＝90°；
（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣15°
＝105°；
（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD
＝60°+60°+10°
＝130°；
（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．
21．【解析】∵△ABC是一个边长为6的等边三角形，BD是△ABC的高，
∴AD＝DC=12AC＝3，
在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=62-32=33．
22．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
23．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵EA＝EC，∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．
故答案为90°．
（2）结论：AF∥EC．
理由：∵AB＝AC，BF＝CF，
∴AF⊥BC，
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC，
∴AF∥EC．
24．【解析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t=103，
∴点M、N运动103秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y=403．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为403秒．