1.1.1 等腰三角形的性质同步练习（含解析）

1.1等腰三角形的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?长春期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
2．（2020秋?建华区期末）下列四个说法：
①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
②等腰三角形的两腰上的中线长相等；
③等媵三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2 C．3 D．4
3．（2020秋?喀什地区期末）下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
4．（2020秋?香坊区期末）等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
5．（2020秋?武都区期末）已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（　　）
A．65°，65° B．80°，50°
C．65°，65°或80°，50° D．不确定
6．（2020秋?肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
7．（2020秋?崆峒区期末）如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54° B．60° C．72° D．76°
8．（2020秋?松桃县月考）若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（　　）
A．40° 100° B．70° 70°
C．40° 100°或70° 70° D．以上都不对
9．（2020秋?西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的大小为（　　）
A．α B．34α C．23α D．12α
10．（2020秋?江州区期中）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（　　）
A．5cm B．10cm C．11cm D．5cm或11cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?沙河口区期末）等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是　 　．
12．（2020秋?南关区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C的大小为　 　度．
13．（2020秋?讷河市期末）已知等腰三角形的一个外角等于130?，则它的顶角等于　 　．
14．（2020秋?宽城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC的大小为　 　度．
15．（2020秋?香坊区期末）如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠PAC的度数为　 　°．
16．（2020秋?绿园区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是　 　．
17．（2020秋?二道区期末）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　 　度．
18．（2020秋?定西期末）如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θn＝　 　．（用含α的式子表示）
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?南关区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠BAD的大小．
20．（2020秋?莫旗期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
21．（2020秋?船营区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
22．（2020秋?乐亭县期末）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0
（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．
23．（2020秋?萧山区月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD＝4，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求∠B的度数；
（2）求三角形BDE的面积．
24．（2020秋?朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为　 　；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．
故选：C．
2．【解析】如图1，∵在△ABD中，∠BDA＝90°，则AC＝AB≥BD，
∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；
如图2，∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．
在△BDC和△CEB中，
BC=BC∠BCD=∠CBECD=BE，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD＝CE，故②正确；
∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；
∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，
∴只能三边是10，10，5，
∴它的周长是25，故④错误．
故选：A．
3．【解析】A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；
C.
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OM＝ON＝OQ，
即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；
D.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．【解析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
5．【解析】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠A）＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：C．
6．【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+12x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+14x，
依题意有12.5°+14x+x+130°＝180°，
解得x＝30°．
故选：D．
7．【解析】∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
8．【解析】①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；
综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．
故选：C．
9．【解析】∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，
则x+z=αx=z+2y，
解得y+z=12α，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE=12α；
故选：D．
10．【解析】设腰长为xcm，
根据题意得x﹣8＝3或8﹣x＝3，
解得x＝11或x＝5，
当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，
当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．
综上所述，腰长为5cm或11cm．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．
故答案为：12cm．
12．【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝40°，
∴∠B＝∠ADC=12（180°﹣40°）＝70°，
∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C，
又∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C=12×70°＝35°，
故答案为：35．
13．【解析】∵等腰三角形的一个外角等于130?，
∴与其相邻的内角为50°．
当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；
当50°为底角时，其他两角为50°、80°．
所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．
故答案为：50°或80°．
14．【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故答案为：72．
15．【解析】∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠PAC＝∠PAQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，
故答案为：90．
16．【解析】∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
17．【解析】∵k＝2，∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
18．【解析】设∠A1B1O＝x，
则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，
∴θ1=180°+α2，
设∠A2B2B1＝y，
则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，
∴θ2=180°+θ12=(22-1)?180°+α22，
…
θn=(2n-1)?180°+α2n．
故答案为：(2n-1)?180°+α2n．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；
（2）∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°．
20．【解析】∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
21．【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE=12（180°﹣∠DAE）=12×（180°﹣28°）＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．
22．【解析】（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3 b＝4，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴1＜c＜7；
（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20＝180，
解得x＝50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20＝180，
解得x＝44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得
x＝2x﹣20，
解得x＝20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
23．【解析】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝45°；
（2）∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵点E是AB的中点，
∴S△AED＝S△BED=12S△ABD=12×12AD?BD=12×12×4×4＝4．
24．【解析】（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠2＝22.5°；
故答案为：22.5°．
（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．