2020——2021学年北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习（word解析版）

1.1等腰三角形 同步练习
一．选择题
1．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°．则∠B的度数不可能为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（　　）
A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm
3．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如果一个等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么这个等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．以上都不是
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．7
6．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（　　）
A．25° B．20° C．15° D．10°
7．如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若点B的坐标是（4，0），则点A的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（2，2） C．（2，2） D．（1，2）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D．设∠ADB＝α，∠CAD＝β，则下列结论正确的是（　　）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
10．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
二．填空题
11．若等腰三角形的一条边长为5cm，另一条边长为10cm，则此三角形第三条边长为　 　cm．
12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
13．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，且BC＝CD，连结AD，作CE∥AB交AD于点E，若AB＝4cm，则ED＝　 　cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
15．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BD＝BC，试求∠A的度数．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
参考答案
一．选择题
1．解：当∠A为顶角，
∴∠B＝＝50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
故选：B．
2．解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），
∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；
②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．
则腰长为6.5cm．
故选：B．
3．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
4．解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．
故选：B．
5．解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE＝60°，
∠DEC＝∠BAC＝120°，
∴∠AED＝60°，
∴∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝3，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
故选：B．
6．解：∵AD是等腰△ABC的底边上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝55°﹣45°＝10°，
故选：D．
7．解：如图，在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．
故选：D．
8．解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB，OC＝BC，∠AOB＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴OA＝4，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝＝＝2，
∴A（2，2）．
故选：B．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∵∠ADB＝α，
∴∠B＝∠C＝90°﹣α，
∵∠CAD＝β，
∴α＝β+90°﹣α，
∴2α﹣β＝90°．
故选：D．
10．解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB＝∠ACB＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．
二．填空题
11．解：当5cm为底时，其它两边都为10cm，
则5cm、10cm、10cm可以构成三角形；
当5cm为腰时，其它两边为5cm和10cm，因为5+5＝10，所以不能构成三角形，故舍去．
所以三角形三边长只能是5cm、10cm、10cm，所以第三边是10cm．
故答案为：10．
12．解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
13．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠BAC＝60°，
∵BC＝CD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+30°＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BAD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴CE＝CD＝2cm，
∴ED＝2（cm）．
故答案为：2．
14．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
15．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
三．解答题
16．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．
17．解：设∠EBD＝a，
∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB，
∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC＝∠ABC，
∵∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD，
∴∠A＝2∠EBD＝2a，
∵∠BDC＝∠A+∠EBD＝3∠EBD＝3a，
∴∠C＝3∠EBD＝3a，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴2a+3a+3a＝180°，
∴a＝22.5°．
∴∠A＝2a＝45°．
18．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．